主题行星运动三定律及万有引力定律

1、主題：行星運動三定律及萬有引力定律一 . 行星運動三定律1. 第一定律 (軌道定律 )：太陽系所有行星軌道均為橢圓，且太陽位於橢圓的一個焦點 (O)上。2. 第二定律 (等面積定律 ) ：A1 r 2=常數t 2A. 在近日點與遠日點兩處r近 v近r遠 v 遠B. 此公式為公轉過程中角動量守恆的必然結果。3. 第三定律 (週期定律 )：2T行星繞太陽公轉週期 T 的平方，與其軌道平均半徑 R 的三次方之比值 (即 R 3 )，對所有行星均相同。近日點距離遠日點距離A. 平均半徑 R：橢圓長軸之一半 (稱為半長軸 )。即2B. 亦適用於繞地球公轉之人造衛星及月球。二 . 萬有引力定律：宇宙中任兩

2、質點間均有相互作用之吸引力Gm 1m 2F12F21r 2其中 G 6.672 10 11公尺 32 稱為重力常數， r 為兩質點間的距公斤秒離。1. 質量均勻分布的實心球對外之萬有引力如同質量集中在球心的質點。2. 質量均勻分布球殼之萬有引力。 (1 次)A. 對球殼外質點所施萬有引力之合力就如同球殼全部質量集中在球心。B. 對球殼內的質點所施萬有引力之合力為零。三 . 重力與重力加速度1.重力加速度：物體在某處僅受重力作用時所產生的加速度稱為該處之重力加速度。(以符號g 表示 )，即物體所受重力F即 F mg重力加速度 g物體質量 m四. 雙星運動：兩星球皆以質心為圓心作等速圓周運動。因為

3、系統未受外力作用，質心位置不動，因此1.若 m 作圓周運動，則M 亦會做同轉向的圓周運動。12. M 、m、質心三者在同一直線上，故週期必相同。五 . 系統角動量守恆定律：由L 可得，當0 時， L 為常數，稱為角動量守恆。t例如：行星繞太陽公轉過程，由太陽看行星因r 與 F 夾 180o，故角動量守恆。六 . 算此處的題目，常用到公轉過程中，恆星與行星組成的系統力學能(動能及重力位能 )守恆的觀念2一、一人造衛星以橢圓軌道繞地球運行。設A 、 B 分別為衛星距地球最遠及最近的位置 (如右圖 )。若忽略其他星體的影響，則下列敘述何者正確？ (A) 衛星在 A 處的動能最小，在 B 處的動能最大

4、(B) 若 K A、K B 各表衛星在 A、 B 處的動能， RA、RB 各表地球質心至A、B 處的距離，則 K A/K B=RB/RA (C)若衛星在 A 、 B 處的角動量之量值各為 L A 、L B，則 LA =LB (D) 衛星在軌道上任何位置的動量之量值均相等 (E)在同一軌道上衛星繞地球的週期隨衛星的質量增加而增長。 (79 年聯考 )AC二、設一星球為密度均勻之球體，如一質點在此星球表面的重量為 W ，則此質點在此星球球心位置的重量為 (A)0(B)0.5W(C)W(D)2W(E) 無窮大。 (82 年聯考 )A三、已知土星繞太陽運轉之平均距離約為地球繞太陽運轉平均距離的l0 倍

5、，則土星繞太陽一周需時年。 (83 年聯考 )10 10四、設有二星球其質量均為m，在相互吸引之重力作用下同時以半徑r 對此二星球之質量中心做圓周運動，如圖所示，則至少需多少能量， 才能將此二星球拆散成相距無限遠？ (G 為重力常數 ) (A)2G m 2r (B) G m 2r (C) G m2 2 r (D) G m2 4 r (E) G m2 8 r。 (84 年聯考 )mmD解析：設二星球質量各為m1 及m2，二者相距，距質心之距離（即軌道半徑）分別為r1 及2。(1)dr r1：r2m2：m1，且 r1r2 dm2m1r1( m1 m2)d，r2( m1m2)d(2)m1 繞質心做圓

6、周運動，以兩者間之萬有引力做向心力。mv2F11 1 Gm2 m1r1d 21Gm1m2 r1Gm1m2m2Ek12 m1v12 2dd2d( m1 m2)12Gm1m2r2Gm1m2m1同理 Ek22 m2v 22dd2d( m1 m2)(3)(A) 系統總動能 Ek Ek1Ek2 Gm1m22d(B)系統總位能 UG Gm1m2d(C)系統總力學能 EEk UG Gm1m22d(D)將二星球拆散成相距，至少做功W（即束縛能）3W Gm1m20E2d依題意： m1m2m，d2rW Gm2。4r五、一衛星環繞一行星做橢圓軌道之運動，設此衛星至行星最遠距離與最近距離之比為2：1，則相應的角速度之

7、比為。(84年聯考 )1： 4六、 甲、乙兩衛星分別環繞地球做等速率圓周運動，已知兩者的週期比值為T1/T2=8，則兩者的速率比值 V /V為： (A)4 (B)2 (C)1 (D)1/2 (E)1/4 。 (85 年聯考 )12D七、海爾 -波普彗星的週期約為 2500 年，則其與太陽的平均距離，約為地球與太陽平均距離的多少倍？ (86 年聯考 )(A) 2500 (B) 1665 (C) 615 (D) 185 (E) 50。D八、一人造衛星質量為 m，以橢圓軌道繞地球運行；衛星離地球中心最近的距離為 R，離地心最遠的距離為 3R。設地球之質量為 M ，重力常數為 G，試求 (1)衛星在離

8、地心最近和最遠處之動能比。(2)衛星在離地心最近和最遠處之動能差。(86 年聯考 )9：1、 2GMm3R解析：(1)設衛星在近地點及遠地點之速率分別為v1 及 v2 ，由克卜勒第二定律知：1Rv1 1(3R)v2v1：v23： 122動能 Ek1：Ek2 1mv12： 1mv229：122(2)因衛星僅受重力做功，故在軌道上力學能守恆。Ek1( GMm )Ek2( GMm )R3R動能差 EkEk1Ek2 GMm GMm 2 GMmR3R3 R九、在完成登月任務後， 登月艇自月球表面升空與母船會合。母船與登月艇會合後一起繞月球作圓周運動，其速率為 v。母船與登月艇的質量均為m，月球的質量為

9、M ，重力常數為 G，求母船與登月艇繞月球軌道運動的(a)週期 (b)軌道半徑。 (c)在啟動歸程時，船上火箭作一短時間的噴射（噴出廢氣的質量及動量均可忽略） ，使登月艇與母船分離，且分離方向與速度方向平行。若分離後母船恰能完全脫離月球的引力，求在剛分離後登月艇的速率？(d)母船與登月艇在火4箭噴射的過程中共獲得的力學能？(所有答案以 G、M 、m 與 v 表示之 )(88 年聯考 )2 GMGM2v3、 v 2 、(22 )v、(32 2 )mv十、 一質量為 m 的小星球，在離太陽無窮遠處的速率為v，位能為零。假設小星球不受太陽引力之影響，而沿直線運動，則與太陽的質心最近距離為b。在太陽的

10、引力作用下，小星球的軌道是一條以太陽為焦點的雙曲線。設太陽質量為M，位置固定；小星球離太陽的質心最短距離為 d（d 大於太陽之半徑），重力常數為 G。則下列有關小星球之敘述，何者為正確？(A) 對太陽質心的角動量之量值為mvb。 (B) 總力學能為 1 mv2。 (C)在離太陽最近處之加速度量值為GM2d 2。 (D)對太陽的最大速率為 v。 (E)d (GM2)2b2 GM2 。(89 年聯考 )vvABCE解析：(A) 由角動量 L r P 得在最近處之 L bmvsin90o=bmv。又由於太陽對小星球的萬有引力造成的力矩為 0，所以整個過程，角動量守恆，皆為bmv。(B) 公轉過程中，

11、太陽及小星球組成的系統力學能守恆，因此在無窮遠處之力學能等於其他地方的力學能，即E=E 無窮遠 = 1 mv2+0= 1 mv2。22FGMmGM(C)小行星僅受萬有引力作用 ，由牛頓第二運動定律得ad 2mmd2。(D) 因為力學能守恆，所以星球在距太陽最近處，位能最小，動能最大 (速率最大 )；距太陽無窮遠處，位能最大，動能最小 (速率最小 )。(E)角動量守恆： bmv dmv (1)力學能守恆： 1 mv2 1 mv 2 GMm (2)，22d(1)(2)式聯立解得： d(GM2 )2 b2 GM2 。vv十一、設有兩相距甚遠之恆星A 與 B，其平均密度比為A ：B 1： 2，質量比為

12、 M A：M B 4：1。如果兩恆星旁各有一質量同為m 的小行星分別以圓軌道繞A 、B 運動，假設繞行軌道半徑相同，則 (a)此兩恆星表面之重力加速度比gA： gB 為何？ (b)兩行星之週期比TA ：TB 為何？ (c)兩恆星系統之位能比UA：UB 為何 (以無限遠為位能零點 )(d)兩行星之動能比K A：K B 為何？(90年聯考 )(a)1：1(b)1：2(c)4：1(d)4： 1十二、 一質量為 m 的行星沿橢圓形軌道環繞太陽運動，已知此行星離太陽的最大和最小距離分別為5R 和 r；行星的最小速率為 v。此行星在近日點的動能減去在遠日點的動能，其差值為何？ (92 年聯考 )(A) 0

13、(B) m( R r )v2(C) m(rR)v2(D) m(R 2r 2 ) v2(E) m(r 2R2 )v22r2R2r 22R2D十三、 如圖 9 所示，甲、乙兩人造衛星以圓形軌道繞地球運轉，假設運行的軌道在同一平面上，且運行的方向相反。甲衛星發現每隔1/9 週期會與乙衛星相遇（即甲、乙兩衛星與地球恰在一直線上且在地球同側），若忽略甲、乙兩衛星間的作用力，則甲、乙兩衛星軌道半徑之比為何？(A)1:4(B) 1:2(C)地球1:1(D) 2:1(E) 4:1(95 年聯考 )E圖 9十四、將萬有引力常數當作已知，則從下面哪些選項中的兩個數據，就可以估計出地球的質量 ?(A) 地球與同步衛

14、星間的距離，地球的自轉周期(B) 人造衛星的運動速率，人造衛星的周期(C) 人造衛星與地球間的距離，人造衛星的周期(D) 地球繞太陽運轉的周期，地球與太陽間的距離(E) 月球繞地球運轉的周期，月球與地球間的距離ABCE十 五 、 若有一行星繞著恆星 S 作橢圓軌道運動，則下列有關行星在圖1 所示各點的加速度量值的敘述，何者正確？ (98聯考 )(A) 所有點都一樣大(B)點 A 處最大(C)點 B 與點 F 處最大(D)點 C 與點 E 處最大(E)點 D 處最大圖 1B十六、設人造衛星以半徑 r 繞地心作圓軌道運動，令地球的質量為M，萬有引力常數為 G，則人造衛星與地心的連線，在單位時間內所掃過的面積為下列哪一項？(98 聯考 )(A)1 GMr(B)1 GMr(C) GMr(D) 2GMr(E)4GMr42A十七、甲行星的質量是乙行星的25 倍，兩衛星分別以半徑為R甲 、 R乙 的圓軌道繞行甲、乙兩行星。若R甲/R乙4 ，則兩衛星分別繞行甲、乙兩行星的週期之比值T甲 / T乙 為何？ (99 指考 )(A) 6.25(B) 2.5 (C) 1.6(D) 0.4(E) 0.16C6十八、已知月球表面的重力加速度為地球表面重力加速度 g 的六分之一 。在月球的水平面上有一質量為 m 的物