学习部资源第1章习题

1、高等数学练习册 A班级姓名学号 第一章习题三函数的连续性一. 选择题1设函数 f (x) 在点 x0 处右连续且 f (x0 ) > 0 ，则下列结论不正确的是（ C）（A）在某个x0 , b) 上有 f (x) > 0 ；（C）在某个U (x0 ) 上有 f (x) > 0 ；2下列结论正确的是（ B）（B）在某个x0 , b) 上 f (x) 有界；（D）在某个x0 , b 上 f (x) 有界（A） 若 f (x) 在点 x0 处有定义且极限存在，则 f (x) 在 x0 处必连续；（B） 若 f (x) 在点 x0 处连续， g(x) 在点 x0 处不连续，则 f (

2、x) + g(x) 在点 x0 处必不连续；（C） 若 f (x) 与 g(x) 点 x0 处都不连续，则 f (x) + g(x) 在点 x0 处必不连续；（D） 若 f (x) 在点 x0 处连续， g(x) 在点 x0 处不连续，则 f (x) × g(x) 在点 x0 处必不连续ì -1x-1 ,3函数 f (x) = ïex ¹ 1x = 1在 x = 1处（C）íïî0,（A）连续； （B）左连续；（C）右连续；（D）左右都不连续4 x = 0 是函数2 的（B）（A）连续点； （B）可去间断点；（C）无穷间断点

3、；（D）振荡间断点x - x3sin p x5函数 f (x) =（A）1的可去间断点的个数为（ C）（B）2（C）3（D）426函数 f (的无穷间断点的个数为（ B）2（A）0（B）11（C）2（D）3(e + e) tan xx在 -p,p 上的第一类间断点是（ A ）7函数 f (x) =1x(ex - e)p（D） x = p2（A） x = 0（B） x = 1（C） x =- 2x - 2)8函数 f（A） (-1, 0)在下列哪个区间有界：（ A ）- 2)2（B） (0,1)（C） (1, 2)（D） (2, 3)二填空题1高等数学练习册 A班级姓名学号 ) ，要使 f (x

4、) 在 x = 0 处连续，则需补充定义 f (0) =-11设 f (ì 1- etan xx , x > 0ï2设函数 f (x) = íarcsin在 x = 0 处连续，则 a =-22ïïîae2x , x £ 03 limcos(sin p x + 2ln(1+x2 )+ x -1) =-1xx®01+ x2sin x-1) =4 limln( 0+x®0f (x) - 2 = 1，则5若 f (x) 在 x = 1处连续，且limf (1) =2x -1x®11- cosxf

5、 (x)2(ex -1) f (x)= 1，则 f (0) =6已知函数 f (x) 连续，且lim2x®07函数 f (x) =- 6,0,1的全部间断点共有 3个，它们是x 2 + 5x - 6sin p x8函数 f (x) = lim2.的间断点的个数为n®¥ 1+ (2x)2n9设 f (x) = lim (n -1)x ，则 f (x) 的间断点为 x =0。nx2 +1n®¥三计算题æö1ç 2 +exsin x ÷+1求lim4x®0ç÷è 1+ e

6、xø11解： lim sin x = 1, lim sin x = -1而 lim 2 + e = 0, lim 2 + e = 2xx。所以41+ ex41+ exx®0+x®0-x®0+x®0-æöæö11+ + sin x ÷ = lim ç 2 + ex + sin x ÷ = 1lim ç 2ex4ex4x®0+ çx®0- ç÷÷è 1+è 1+ exøø

7、2已知：ìï(113B, x = 0f (x) = ï问 A, B 取何值时， f (x) 在 x = 0 连续。íï，sï0î2xxxxxlnx高等数学练习册 A班级姓名学号 1Asin 3x解：因为 lim f (x) = lim (1+ 3x) x = e3, lim f (x) = lim= 3A ，所以 f (x) 在 x = 0 连续等价x0+x®0+x®0-x®0+于e3 = 3A = B ，即 A = 1 e3, B = e3 。31 x 3指出 f (x) =的间断点的类型。1

8、- ex-1解：使 f (x) 无定义的点为： x = 0, x = 1。又因为111=¥ ，= ，所以 x = 0 是无穷型间断点， x = 1 是可去型间断limx1- ex-1x®01- ex-11- ex-1点。1+ x4讨论函数 f (x) = lim的连续性，指出其连续区间、间断点及其类型n®¥ 1+ x2nx £ -1- 1 < x < 1x = 1x > 1ìì1 + x,| x |< 10,ï1 + x,1 + xï1 + xï解： f (x) = li

9、m= í,| x |= 1 = ín®¥ 1 + x2n21,0,ïïîï0,| x |> 1ïî可能的间断点有 x = -1和 x = 1显然， f (x) 在点 x = -1左连续Q f (-1 + 0) =(1 + x) = 0 = f (0) ，limx®-1+0 f (x) 在点 x = -1右连续； f (x) 在点 x = -1连续Q f (1 - 0) = lim (1 + x) = 2 ¹ f (1) ， f (x) 在点 x = 1不左连续；x

10、74;1-0同理， f (x) 在点 x = 1不右连续 f (x) 的连续区间为(-¥,1) 、(1,+¥) ，间断点为 x = 1，是跳跃间断点 x)sin t -sin x ，求sin t5设函数 f (x) = lim(f (x) 的间断点，并指出其类型。sin xt ®xsin t -sin xsin xxx sin t×解 ： f (x) = lim(= l+)sin t -sin x sin x = esin x)sin t -sin xsin x。的 零 点 ：sin xsin xt ®xt ®xxxlimx = 0,

11、 x = kp , k Îx= ex®0 sin x= e， 而f (x)lim esin x即 为的间 断 点。 又 因 为x®0xlim esin x (k = ±1, ±2,)均 不 存 在 ， 所 以 x = 0 是 第 一 类 中 的 可 去 间 断 点 ，limesin x ,x®kp +x®kp -3高等数学练习册 A班级姓名学号 x = kp (k = ±1, ±2,四证明题1证明方程 x - a sin x = b 至少存在根x Î (0, a + b，其中常数 a, b 满足

12、0 < a < 1,b > 0 证：令函数 f (x) = x - a sin x - b ，则 f (x) 在闭区间0, a + b 上连续，且) 是第二类间断点。f (0) = -b < 0 , f (a + b) = a1- sin(a + b) ³ 0当 f (a + b) = 0 时，则x = a + b 是 f (x) 在(0, a + b 上的一个零点，从而原方程在(0, a + b 上有根；当 f (a + b) > 0 时，则由闭区间上连续函数的零点定理知， f (x) 在(0, a + b) 内有零点，从而原方程在开区间(0, a +

13、 b) 内有根. 证毕.2求证：方程 x3 - 9x -1 = 0 恰有三个实根。证明： 令 f= x3 - 9x -1 。因为 f (-3) = -1 ， f (-2) = 9 ， f (0) = -1 ， f (4) = 27 ，所以 f (x) (-3, -2),(-2, 0),(0, 4) 各区间内至少有一个零点，即方程 x3 - 9x -1 = 0 至少有三个实根。又因为三次方程最多有三个根，所以该方程根的个数恰好为 3。3 已知函数 f (x) 在0,2a 上连续，且 f (0) = f (2a) ，证明：在0, a 上至少存在一点 x ，使f (x) = f (x + a) 证：

14、令 F (x) = f (x) - f (x + a) ，则 F (x) 在0, a 上连续，且F (0) = f (0) - f (a) ， F (a) = f (a) - f (2a) = f (a) - f (0) = -F (0) （1）若 F (0) =f (0) -f (0) =f (0 + a) ，命题成立；f (a) =0，则有（2）若 F (0) = f (0) - f (a) ¹ 0 ，则有 F (0) × F (a) < 0 ，由零点定理可得，$x Î (0, a) ，' F (x) = 0 ，即 f (x) = f (x +

15、a) 证毕n Îa, bf (x)在 a, b 上 连 续 ， 求 证 ： 对 任 意 实 数 ：4 设 函 数， 任 意 正 数l1, l2 , ln : l1 + l2 + ln = 1 ，必存在x Îa, b，使得f (x ) = l1 f (x1 ) + l2 f (x2 ) + ln f (xn ) 。证明：因为 f (x) 在a, b 上连续，所以 f (x) 在a, b 上有界，所以它一定可以取到最大值、最小值，分别记为 M , m 。易见m = l1m + l2m + lnm £ l1 f (x1 ) + l2 f (x2 ) + ln f (xn ) £ l1M + l2 M +4+ ln M = M高等数学练习册 A班级姓名学号 根据介值定理， 既然 l1 f (x1 ) + l2 f (x2 ) + ln f (xn ) 介于 M , m 之间， 则必有 x Îa, b ，使得l1 f (x1 ) + l2 f (x2 ) + ln f (xn ) = f (x ) 。x上的连续函数，且满足 f (x) = f ( ) ，求证： f (x) 为常值函数。25已知 f (x) 是定义在实数集f &