精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)(2024095243)

1、初中数学竞赛专题讲解最短路径问题【问题概述】 最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图由结点和路径组成的中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括： 确定起点的最短路径问题 -即起始结点，求最短路径的问题. 确定终点的最短路径问题 -与确定起点的问题相反，该问题是终结结点，求最短路径的问题. 确定起点终点的最短路径问题-即起点和终点，求两结点之间的最短路径. 全局最短路径问题 -求图中所有的最短路径.【问题原型】“将军饮马，“造桥选址，“费马点.【涉及知识】“两点之间线段最短，“垂线段最短，“三角形三边关系，“轴对称，“平移 【出题背景】 角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、

2、坐标轴、抛物线等.【解题思路】 找对称点实现“折转“直，近两年出现“三折线转“直等变式问题考查.【十二个根本问题】【问题1】作法图形原理AAl连AB,与丨交点即为P.><Pl两点之间线段最短. lbXFA + PB最小值为AB.在直线丨上求一点 P，使BPA+PB值最小.【问题2】“将军饮马作法图形原理AABl作B关于丨的对称点B/两点之间线段最短.连A B /,与丨交点即为P .lPA+PB最小值为A B，.在直线丨上求一点 P，使PB'PA+PB值最小.【问题3】作法图形原理liP'll/-/ 1/分别作点 P关于两直线/两点之间线段最短./P的对称点P /和P

3、 ，连P /Zl/PPM +MN + PN的最小值为l2P与两直线交点即为M ,z_vLl线段PP，的长.在直线11、l2上分别求点N.上！l2N ，:M、N,使厶PMN的周长最p"小.【问题4】作法图形原理liQ' / *分别作点Q、P关于直/ Q/*P两点之间线段最短.Zl线li、I2的对称点Q，和Zp四边形PQMN周长的最小l2P/连Q/巴 与两直线交点Zl2值为线段PP/的长.在直线li、12上分别求点即为M , N .N :M、N,使四边形PQMN的P'周长取小.【问题5】“造桥选址作法图形原理AM1m将点A向下平移MN的长AS、1nA'*,M两点之

4、间线段最短.N度单位得A /,连A/B,交nBmAM +MN + BN的最小值为于点N，过N作NM丄mn直线m / n，在m、n ,上AB+MN.于M .B分别求点M、N，使MN丄m ,且AM+MN+BN的值最小.【问题6】作法图形原理AAA'B将点A向右平移a个长度 单位得A/,作A，关于1两点之间线段最短.M a Nyl的对称点A ，连A B，交M ： NAM +MN + BN的最小值为在直线1上求两点M、NM直线1于点N，将N点向-,8 0AB+MN .在左，使MN a，并使左平移a个单位得M .A"AM + MN + NB的值最小.【问题7】作法图形原理li/P.li

5、 /P作点P关于11的对称点/j>P点到直线，垂线段最短./ |p/,作PB丄丨2于B,交丨2PA+AB的最小值为线段 P12于A.B的长.在11上求点A，在l2上求点Bl2B，使PA+AB值最小.【问题8】作法图形原理B' a F.a i'1: - l2作点A关于12的对称点 /h liMBA，作点B关于li的对两点之间线段最短.%工称点B /连A，B，交a于AM +MN + NB 的最小值为 线段A，B，的长.A为li上一定点，B为l2上疋点，在12上求点 M，M,交li于N .jMB l2在li上求点 N，A'使AM + MN + NB的值最小.【问题9】作

6、法图形原理A.A,垂直平分上的点到线段两+B连AB,作AB的中垂线与 直线l的交点即为P .*B端点的距离相等. 11 1:P|pa pb| = o.在直线l上求一点 P，使pA PB|的值最小.【问题10】作法图形原理AA三角形任意两边之差小于B l作直线AB,与直线l的交 点即为P.7一 i第三边.PA PB< AB .在直线丨上求一点P，使PPA PB的最大值=AB .pA PB的值最大.【问题11】作法图形原理AA三角形任意两边之差小于 l作B关于l的对称点B / 作直线A B/,与l交点即为P.B'*B:r- i第三边.PA PB< AB /.在直线丨上求一点P，

7、使 PBPA PB最大值=ABZ.pA PB的值最大.【问题12】“费马点作法图形原理A所求点为“费马点，即满DN-./足/ APB = Z BPC = Z厶2APC = 120 ° 以 AB、ACiAExE两点之间线段最短B C为边向外作等边厶ABD、 ACE，连 CD、BE 相交PA+PB+PC最小值=CD . ABC中每一内角都小于BC120 °,在厶ABC内求一点 P，使FA+PB + PC值最小.于P，点P即为所求.、根底过关1. 如下列图，是一个圆柱体，底面周长为10,高为6, 只蚂蚁要从外壁的 A处到内壁的B处吃一食物，求蚂蚁所走的最短程2. 如右图是一个长方

8、体木块， AB 3,BC 4,CD 2，假设一只蚂蚁在点 A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，那么蚂蚁爬行的最短路径是 。3. 正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM 2，N是AC上的一动点， DN MN的最小值为。4. 在菱形ABCD中，AB 2， BAD 60°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，那么 PE PB的最小值为5. 如图，在 ABC中，AC BC 2， ACB 90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，那么EC ED的最小值为 6. AB是。O的直径,第2题D'B图AB 2 , OC是OO的半径，OC AB，点D在AC上,等分点，

9、点P是半径OC上的一个动点，那么 AP PD的最小值为 7. 如图，点P关于OA 0B的对称点分别为 C、D,连接CD交0A于M交0B于N,假设CD= 18cm，那么PMN勺周长为8. 如图，/ AOB= 30°,点 M N分别在边 OA OB上，且 OM= 1, ON= 3，点P、Q分别在边 OB OA上，贝UM邱P3 QN的最小值是9.如图，在锐角厶 ABC中, AB= 4 2，/ BAC= 45°,/ BAC的平分线交 BC于点D, M N分别是 AD和AB上的动点，贝U BM+MN勺最小值是C图第7题二、例题讲解例1:：直线1与y轴交于A,与x轴交于D,抛物线ybx

10、 c与直线交于A、E两点，与x轴交于B C两点，且B点坐标为 1, 0.1求抛物线的解析式；2动点P在x轴上移动，当 PAE是直角三角形且以 P为直角顶点时，求点 P的坐标. 3在抛物线的对称轴上找一点M使|AM MC |的值最大，求出点 M的坐标.例2：如图，抛物线y ax2bx c的顶点P的坐标为1,4.33，交x轴于A、B两点，交y轴于点Co,3 1求抛物线的表达式.2把厶ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形 ADBC 判断四边形ADBC勺形状，并说明理由.3试问在线段 AC上是否存在一点 F,使得 FBD的周长最小, 假设存在，请写出点 F的坐标；假设不存在，请说明理

11、由.例3:如图，在平面直角坐标系中，矩形轴上，OA=3 OB=4 D为边OB的中点.1点D的坐标为;2假设E为边OA上的一个动点，当OACB的顶点O在坐标原点，顶点 A、B分别在x轴、y轴的正半CDE的周长最小时，求点 E的坐标.例4:如图，在直角坐标系中有四个点，A(-8,3),B(-4,5)C(0n),D(m,0),当四边形ABCD周长最短时，求m。n例5 :有一圆形油罐底面圆的周长为24m高为6m 一只老鼠从距底面 1m的A处爬行到对角B处吃食物,它爬行的最短路线长为多少？练习1 :桌上有一个圆柱形玻璃杯无盖，高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口 3厘米的 A处有一滴蜜糖，一

12、只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。练习2 :如图，在一个长为 2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且AD木块的正视图是边长为 0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米.精确到0.01米练习3 :如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的外表爬到对角顶点C处三条棱长如下图，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？1.占八、A.2.3 B. 2.6 C. 3D. . 6如图，在边长为 2的菱形ABCDK/ ABC= 60°

13、;,假设将 ACD绕点A旋转，当AC、AD分别与BC 尸，那么厶CEF的周长的最小值为2.CD交于点EA.C.D. 4四边形ABCDL/ B=/ / AMN/ ANM勺度数为A. 120°B . 1303.4.如图，三角形厶ABC中, ZD= 90°,/ C= 70°,在BC CD上分别找一点 M汕使厶AMN勺周长最小时, OC平分/ AOB点M在OC的延长线上，点 N为边OA上的点，贝y MAF MN的最小值是三、课后提升如下列图，正方形 ABCD勺面积为12, ABE是等边三角形，点 E在正方形 ABCD，在对角线 AC上有 P,使Pt+PE的和最小，那么这个

14、最小值为5A 2, 4、B4, 2. C在y轴上，D在x轴上，那么四边形 此时C、D两点的坐标分别为 ABCD勺周长最小值为y*一 B6. A 1, 1、B4, 2.1P为x轴上一动点，求 PA+PB的最小值和此时 P点的坐标;ylA*BaOx2P为x轴上一动点，求 PA PB的值最大时P点的坐标;y*A3CD为x轴上一条动线段，D在C点右边且CD= 1,求当A&CD-DB的最小值和此时 C点的坐标;yA/ /B /OC Dx7.点 C 为/ AOB 点.1在OA求作点D, OB上求作点 己，使厶CDE勺周长最小，请画出图形；2在1的条件下，假设/ AOB= 30°, OC= 10，求 CDE周长的最小值和此时/ DCE勺度数.8.