等比数列的前n项和公式的几种推导方法

1、赏析等比数列的前n项和公式的几种推导方法(省莱州五中261423 )等比数列的前n项和公式是学习等比数列知识中的重点容之一，其公式：当q 1时，snai(1或Sn 旦刎1 q1 q当 q=1 时，Sn na1本身不仅蕴涵着分类讨论的数学思想，而且用以推导等比数列前n项和公式的方法-错位相减法，更是在历年高考题目中频繁出现。本文变换视野、转换思维，从不同的角度加以推导，以加深对公式的理解与应用，希望能起到抛砖引玉的效果。一般地，设等比数列 ai,a2,氏,-an它的前n项和是Sn a1a2a3an公式的推导方法一:当q 1时，由Snana a 2n 1a3anSn a1 a1q 得qSn2a23

2、a1qa1qn 1ag1nag(1 q)Sn a1 aen当q 1时，Sn 也或Sna1 a*q 1 q当 q=1 时，Sn na1当a1, q,n时常用公式；当 a1, q,a.时，常用公式拓展延伸：假设 an是等差数列,bn是等比数列，对形如a/bn的数列，可以用错位相减法求和。例题 数列an的前n项和Sn n (n 1) 2 (n 2)222 2n 22n 1，那么Sn的表达式为().A Sn2n 12n n2B.Sn2* 1n2C Sn2n n 2D.Sn2* 1n2解析：由 Sn n (n1) 2(n 2)22L J22n2J 12 ，可得 2Sn 2n(n1)22(n 2) 222

3、n 12n，得 Sn2222n 12n n 21耳n 2n 1n 2 ,应选(D) 1 2点评：这个脱胎于课本中等比数列前 n项公式推导方法的求和法，是高考中命题率很高的地 方，应予以高度的重视。公式的推导方法二：当q 1时，由等比数列的定义得,a2a3ana1a2an根据等比的性质，有a?aanSna11 qa：an 1Snan即 Sn a1 q(1 q)Sna1anqSnan当q 1时,Sna1(1 qn)或s，na1 anq1 q1 q当q=1时，Snna1该推导方法围绕根本概念，从等比数列的定义出发，运用等比的性质，导出了公式, 给我们以耳目一新的另类感觉。导后反思：定义是根底，深刻理

4、解定义，灵活地运用好定义，往往能得到一些很有价值的 结论和规律。例如等比数列的一个常用性质：数列an是等比数列(q1)， Sn是其前n项的和，那么Sq S2k Sk, SkS2k ,，(2)当1 时，氏 31.1 q ,S2k1 q2ka 1 q1 q3k印1 q1 qS2kSk2kC 1 q1 qk , k6q 1 q1 qS3kS2k3k印1 q1 q2ka 1 q1 q2S2kSk2 2kagqk2(1 q)2Sk (S3kS2k)k2kkai 1 qag1 q仍成等比数列。其推导过程可有以下两种常见的证明过程:证明一：(1)当q=1时，结论显然成立；2 2kai qqk2(1 q)2(

5、S3kS2k )Sk, S?k Sk, S3k S?k成等比数列这一过程也可如下证明:证明：S2k Sk = (ai a2a3a2k) (aia2a?aQak 1 ak 2ak 3a2k = qk(aia2a3ak)=q"Sk同理，S3k S2k =a2k 1a2k 2 a2k 3a3k = q2kSk- Sk, S2k Sk, S3k S2k 成等比数列。比照以上两种证明过程， 我们不难看出，利用好定义在解决某些问题的过程中可以收到 很简捷的效果。公式的推导方法三：Sna1a2a3an = a1q(a1a 2a3an 1)a1 qSn 1 = a1q (Sn an )(1 q)Sna1 a.q当 q 1 时，Sna1(1 qn)1 q或Sn当 q=1 时，Sn na1“方程在代数课程里占有重要的地位，是应用十分广泛的一种数学思想，在数列一章 的公式考察中常利用方程思想构造方程或方程组，在量和未知量之间搭起桥梁，来求解根本量，使问题得到解决。这种推导方是运用了该思想，使我们的思维不拘泥于书本。.以上三种推导方法，从不同的思维角度切入等比数列前n项和的表达式，着眼点不同，侧重点各异，从而在推导方法的运用上也各有千秋，推导方法一注重补因子后错位相减；推导方法二那么侧重于前 n项的和式与定义式的联系；而推导方法