第3章-集合(2024142608)

1、3.132集合的概念及其运算教学重点集合的概念及表示，集合的运算，集合的定律 教学目的1、深刻理解子集、空集、全集、集合表示、集合相等、幕集等根本概念。2、熟练掌握集合的并、交、补、运算；能用文氏图表示集合运算。3、 熟练掌握集合运算的根本定律，能熟练地应用这些定律证明集合恒等式。教学准备教学方法讲述法课时安排二课时 教学过程讲述：前面我们已经讲述了数理逻辑局部，其中我们用到了一些根本概念，真值函数、全功 能集、个体域等等，这些概念中用到了函数、集合等等我们并没有定义的概念。从这章开 始，我们将仔细研究分析这个概念及应用。显然，集合、函数等概念应该在逻辑理论介绍之前给出的，显见这些概念是一个根

2、底 性的东西。其中集合是现代数学的根底，所以我们将从最为根本的概念一一集合开始。阐 述集合论的概念及理论。板书一集合根本概念1集合的概念一个集合是一些有定义的事物组成的整体。这些事物是此集合的元素或成员。 元素可以是任意的、但必须是确定的。2集合的表示(1) 枚举法：列出集合的全体元素。1,2,3,4;3,2,1,4;a,b,c;a,b,b,b,c,c,c,c讲述：各元素的先后次序并不重要，而重复那么通常可以忽略。 板书：(2) 描述法常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来。x| p(x) x为该集合的元素的一般形式，p(x)为这个集合的元素的共同属性讲述：如：

3、小于n的正实数组成的集合表示为：x|0<x< n x|1<x<3; x|x 是自然数注意对于所有的x, p(x)应或真或假。如果存在元素y,使得p(x)既不真也不假，那么x|p(x)不能表示集合，这正是元素确实定性所在。板书：元素确定性：任意的 x, p(x)应或真或假。板书:Venn图为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线或者说圆圈，用它的内部表示一个集合。板书：3集合内的关系：(1) 元素与集合： 讲述：如果一个事物是组成一个集合的元素，那么为属于，否那么为不属于，分别用 和 表示,如3 N。板书：属于、不属于(2) 集合与集合：板书：i) 属于和不属于不同层次

4、的集合 ii) 包含和不包含B Ax(x B x A)BAx(x B x A)x(x B x A)例：a a，a，a a，a4空集和幕集1空集是任何集合的子集2空集是唯一的 讲述：问题：3个元素的集合a,b,c有多少个子集。,a,b,c,a,b,b,c,a,c,a,b,c,8 个，23 个 板书：如果给定集合A的元素个数为n,那么其子集共有2n个。集合A的所有子集组成的集合称为集合A的幕集，记为P(A),或者2A、(A)板书：幕集： P (A)=x | x A例如：女口： P( )=，P(a,b,c)=,a,b,c,a,b,b,c,a,c,a,b,c板书：5全集和补集U :全集，在具体问题中，

5、所有涉及的集合都是全集的子集，这是一个相对概念。A :补集，由所有属于 U但不属于A的所有元素组成的集合，这是绝对补集，简 称补集。课外知识讲述：用构造法表示一个集合时，对谓词P(x)没有限制，所以1902年罗素构造如下一个集合：板书：A= x| x x针对这个集合，存在这样一个问题：集合A是否它自己的元素？根据集合的性质，如果A是A的元素，那么A应满足A A，即A又不是A的元素；如果如果A不是A的 元素，即满足A A，那么A又是A的元素。由此得出相互矛盾的结果，这就是著名的罗 素悖论。二集合运算(1)并集：所有元素构成的集合A B = x | x A x B 例如：A=1,2, 3, 5,

6、B=1,4, 6;A B=1,2, 3, 5, 1,4, 6=1,2, 3, 5, 4, 6;板书：求法：所有集合的元素集中到一个集合，然后将重复的元素去掉 板书：(2) 交集：公共元素集合A B = x | x A x B 。求法：一一考察其中一个集合的元素，在其它集合都出现，那么是交集的元素 板书：(3) 差集A -B :是A的但不是B的元素A -B = x | x A x B ; (AB)注意定义中并没有限定 B A。求法：一一考察 A的元素，在B不出现，那么是差集的元素性质：文氏图分别为:A -B = AB = A -(A B)A -BA板书：(4)对称差：A、B的非共冋兀素集合AB

7、= (AB)(B A) = (A B) (A B)A BAB讲述:板书:集合定律1)等幂律:1a) AA =A；1b) AA = A2)结合律:2a) (AB)C=A(BC)；2b) (AB) C=A (B C)2c) (AB)C =A(BC)3)交换律:3a) AB =BA；3b) AB =B A;3c) AB = B A4)分配律:4a) A(BC)=(AB)(AC)4b) A(BC)=(AB)(AC)5)同一律：5a) A=A; 5b) AU =A; 5c) A=A; 5d)A=A6)零律：6a) AU =U6b) A=7)排中律：AA=U8)矛盾律：AICa=9)吸收律:9a) A(A

8、B)=A9b) A (AB) = A10)德？摩根律10a) A(BC):=(AB)(AC)10b) A(BC):=(AB)(AC)10c)(AB)=AB10d)(AB)=AB11) A A =12) A (B A)=13) A (B A) = B讲述：可利用逻辑理论来证明。禾U用这些集合定律，可以进行集合的恒等运算，以及在某些证明中实现恒等替换。可以看到许多定律与命题逻辑中等值式模式相对应，实际上两者运算有许多相似之 处，由此我们也可以沿用命题逻辑的中许多概念，如香农定理、对偶、展开定律、范式的 概念，其中对应的运算符是，板书：证明集合恒等的方法：A逻辑理论B集合定律，恒等变换例5.3AB=

9、 AC，A B= A C,证明 B=C。证明：B= B(AB)=B(AC)=(BA)(BC)=(CA)(BC)=C(AB)=C(AC)=C作业:集合中元素的计数 教学重点 容斥原理应用，卡氏集及其性质 教学目的 1：使学生理解并应用容斥原理于有限集的计数问题。 2：理解卡氏集的含义及其性质。3：进一步熟练运用证明方法。 教学准备 教学方法 讲述法 课时安排 二课时。 教学过程 讲述： 前面讨论集合的概念及其运算的概念，这里我们主要讨论集合的一个简单运用，即讨 论集合元素个数计数问题。板书有限集合计数设集合A是有限集，|A|表示A中元素的个数。根据集合运算的定义，显然以下各式成立。 max(|A

10、|, |B|) wi|AB| w |A|+|B| |A n mwA, |B|)(3) |A|-|B| w-|BA|w|A|(4) |A B|=|A|+|B|-2|A n B|容斥原理 包含排斥原理 ：设Ai、A为有限集合，其元素个数分别为|Ai|、|A2|，贝U|Ai U A2|=|A 1|+|A 2|-|A inA2 |证明： 推广三个元素：|AiU A2U A3| =|Ai|+|A2|+|A3|-|AinA2|-|AinA3|-|A2nA3|+|AinA2nA3|M 个元素：|AiA2Am |mmi| Ai |AiAj|AiAjAk|(i)mi| AiA2ii ii j mii j k m

11、例 假设某班有 20 名学生，其中有 i0 人英语成绩为优，有 8人数学成绩为优，又知 有 6 人英语和数学成绩都为优。问两门课都不为优的学生有几名？解 设英语成绩是优的学生组成的集合是A,数学成绩是优的学生组成的集合是B,因6 此两门课成绩都是优的学生组成的集合是An b。由题意可知|A|= 10|B|= 8|A n B| = 6由包含排斥原理可得：|A U B| = |A|+|B|-|A n B|=10+8-6 = 12所以，两门课都不是优的学生数为：20-|A U B| = &复习讲述：本章要点集合：明确区分的一些对象所构成的一个整体；元素：集合里含有的对象或客体； 集合表示：枚

12、举法、构造法、递归定义法、特定字母法； 空集 ：不含任何元素的集合； 元素与集合的关系：属于、不属于； 集合与集合的关系： 1) 属于、不属于， 2)子集关系， 3) 相等； B A: B是A的子集， x (x B x A);空集是任何集合的子集； BA: B 是 A 的真子集，x (x B x A) A x(x A A x B; 证明子集常用方法：要证明 B A,只需证对任意的 x, x B x A; B=A: B、A具有相同元素； 幂集 (A)： A 的所有子集的集合， x | x A；补集 A: x| x A A x U；并集 A B : x | x AVx B；交集 A B : x | x AA x B；差集 A -B : x | x AA x B； 对称差集 A B: (A -B) (B ) = (A B) -(A B)；广义并 A: x | B(B AA x B；广义交 A: x | B