空间点阵空间点阵到底有多少种排列形式？按照每个阵点的周围环境

1、-空间点阵空间点阵到底有多少种排列形式？按照“每个阵点的周围环境相同的要求, 在这样一个限定条件下，法国晶体学家布拉菲(A. Bravais )曾在1848年首先用数学方法证明，空间点阵只有14种类型。这14种空间点阵以后就被称为布拉菲点阵。空间点阵是一个三维空间的无限图形，为了研究方便，可以在空间点阵中取 一个具有代表性的根本小单元，这个根本小单元通常是一个平行六面体， 整个点 阵可以看作是由这样一个平行六面体在空间堆砌而成，我们称此平行六面体为单 胞。当要研究某一类型的空间点阵时， 只需选取其中一个单胞来研究即可。 在同 一空间点阵中，可以选取多种不同形状和大小的平行六面体作为单胞，如图1

2、-8所示。一般情况下单胞的选取有以图1-8空间点阵及晶胞的不同取法图1-9面心立方阵胞中的固体物理原胞图 1-10 晶体学选取晶胞的原那么下两种选取方式：1固体物理选法在固体物理学中， 一般选取空间点阵中体积最小的平行六面体作为单胞， 这 样的单胞只能反映其空间点阵的周期性， 但不能反映其对称性。 如面心立方点阵 的固体物理单胞并不反映面心立方的特征，如图 1-9 所示。2 晶体学选法由于固体物理单胞只能反映晶体结构的周期性， 不能反映其对称性， 所以在 晶体学中，规定了选取单胞要满足以下几点原那么如图 1-10 所示： 要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性； 在满足的根底上，单胞要具有尽

3、可能多的直角； 在满足、的根底上，所选取单胞的体积要最小。根据以上原那么，所选出的 14 种布拉菲点阵的单胞见图 1-12 可以分为两 大类。一类为简单单胞，即只在平行六面体的 8 个顶点上有结点，而每个顶点 处的结点又分属于 8 个相邻单胞，故一个简单单胞只含有一个结点。另一类为 复合单胞 或称复杂单胞 ，除在平行六面体顶点位置含有结点之外，尚在体心、 面心、底心等位置上存在结点，整个单胞含有一个以上的结点。 14 种布拉菲点 阵中包括 7 个简单单胞， 7 个复合单胞。图1-11单晶胞及晶格常数根据单胞所反映出的对称性，可以选定适宜的坐标系，一般以单胞中某一顶 点为坐标原点，相交于原点的三

4、个棱边为 X、Y、Z三个坐标轴，定义X、丫轴之 间夹角为丫，丫、Z之间夹角为a，Z、X轴之间夹角为B，如图1-11所示。单 胞的三个棱边长度a、b、C和它们之间夹角a、B、丫称为点阵常数或晶格参数。 六个点阵常数，或者说三个点阵矢量 a、b、c描述了单胞的形状和大小，且确定 了这些矢量的平移而形成的整个点阵。也就是说空间点阵中的任何一个阵点都可 以借矢量a、b、c由位于坐标原点的阵点进行重复平移而产生。每种点阵所含的平移矢量为：简单点阵：a、b、c底心点阵：a、b、c、 (a + b) /2体心点阵：a、b、c、(a + b + c) /2面心点阵：a、b、c、 (a + b) /2、(b +

5、 c)/2、(a + c) /2所以布拉菲点阵也称为平移点阵(8)(11)(12)(13)(14)图1-12 14种布拉菲点阵晶体根据其对称程度的上下和对称特点可以分为七大晶系，所有晶体均可归纳在这七个晶系中，而晶体的七大晶系是和14种布拉菲点阵相对应的，如图1-12和表1-2所表1-2七大晶系和十四种布拉菲点阵A*林号阵A ft H|对戕标号p1C 0 Qa：bct a 3 x y(H)简隼車斡在心鼻斡pC1I0 0 00 Q 0« *Z Zo»y« wxfl(1：)(n)伙方p1C 0 0(7)謎单三角10 4 0打-3-y>o*(e)馨方1简单亞交I面

6、心it交eF11240 0 00 0 0 * 丄"» 丄12 10 Q 0、丄丄03 2ft 0 01 0oi 212e丄A2 2(14)(»)(H)間E网方PI:q a g1 ii000 i2 22a b-c« a fl V so(4 )(O瞬越立方it心立方pIF440 0 0A 1110 o o» “ . v2 110 * D £ £ 刍 0I 2I2Q丄丄t 2atf-ff-y*so*CD(：)(1)示。所有空间点阵类型均包括在这14种之中，不存在这14种布拉菲点阵外的其 它任何形式的空间点阵。例如在图1-12中未列

7、出底心四方点阵，从图1-13可以 看出，底心正方点阵可以用简单正方点阵来表示， 面心正方可以用体心正方来表 示。如果在单胞的结点位置上放置一个结构基元，那么此平行六面体就成为晶体结 构中的一个根本单元，称之为晶胞。在实际应用中我们常将单胞与晶胞的概念混淆起来用而没有加以细致的区分§1-2常见的晶体结构及其原胞、晶胞1简单晶体的简单立方simple cubic, sc它所构成的晶格为布喇菲格子。例如氧、硫固体。基元为单一原子结构的晶体叫简单晶 体。其特点有:三个基矢互相垂直；_"_.，重复间距相等， 为a，亦称晶格常数。其晶胞二原胞；体积二/ ；配位数第一近邻数=6 见图1-

8、7图1-7简单立方堆积与简单立方结构单元2) 简单晶体的体心立方 (body-ce ntered cubic, bcc ),例如，Li , K, Na, Rb, Cs, a Fe, Cr, Mq W Ta, Ba等。其特点有：晶胞基矢-F ：,并且一丁乳 厂-启，其惯用原胞基矢由从一顶点指向另外三个体心点的矢量构成：见图1-9 b 坷=嗖(J +j +E); a2 二j +E);(1-2)其体积为，.：；配位数=8;1；一见图1-8图1-8体心立方堆积与体心立方结构单元kU.I心立方晶胞、惯用原胞b3简单晶体的面心立方 face-ce ntered cubic, fee ,例如，Cu, Ag,

9、 Au, Ni, Pd, Pt, Ne, Ar, Xe, Rn, Ca, Sr, Al 等。晶胞 基矢，并且八.' 每面中心有一格点其原胞基矢由从一顶点指向另外三个面心点的矢量构成见图1-10 b:可與0+F；禺 £+咼=丁+?(1-3)其体积二'宀；配位数=12。 宀一川，见图1-10图1-10面心立方结构晶胞a与面心立方惯用原胞b4) NaCI 结构(Sodium Chloride structure )，复式面心立方互为fcc ，配位数=6 图1-11 a表1-1 NaCl结构晶体的常数a (a(i)LiH4.08AgBr5.77MgO4.2PbS5.92MnO

10、4.43KC16.29NaCI5 63KBr5.595) CsCI 结构(Cesuim Chloride structure )，复式简单立方(互为sc)，配位数=8(图1-11 b )。表1-2 CsCI结构晶体的常数a (a)a U)BeCu2.7LiHg3.29A1N12.S8NH+C13. £7CuZn2.54TIBr3.57CuPd299Csd4.11CsCI结构NaCl结构图1-11 NaCI结构和CsCl结构6) 金刚石结构(Diamond structure ),两套fee格子相互沿对角线位移 1/4 处套合。如 C (a=3.567?), Si(5.431 ? ),

11、 Ge(5.657? ), Sn (6.46 ?);配位数=4;原胞=fcc布喇菲格子+两不等价的C原 子图 1-12a图1-12金刚石结构和闪锌矿结构7闪锌矿结构Cubic 乙nc Sulfide structure,在金刚石结构中，两套不等价的格子分别由不同的原子而非C原子占据图1-12b。见下表：表1-3闪锌矿结构物质的晶体常数a 黄A (A)CuF4.25AlAs5.66SiC4.35GaAs5.155CuCl5.41ZnS5.41A1P5.45CdS5.E2GaAs两个'及'晶面方向不等价，前者为As面而后者为Ga面；它们在许多物理、化学性能上都不一样例如，腐蚀速度就

12、六方密堆积结构S1-L3不一样。8六角密堆积hep，由一层层互错的原子层堆而成，重复周期为二层：ABABABAB;如 Mg, Ce, Co, Zr, Zn, Gd, Cd, Y, Ti,Be, Tl, Se, Te 等。其基矢.：.：_/,-:o fee 也是一种紧密堆积，不同的是，fee的重复周期为三层：ABCABCABCABG。配位数=12图 1-13 。,B'1'广ZnS有另一种结构，即纤维锌矿结构与hep很相似，其中A=Zn; B=S;其配位数也是12,所不同的 是，原子间距不全相等。0 0 Ba Ti图 1-14钙钛矿结构9) 钙钛矿(perovskite struc

13、ture )§1-3 14种布喇菲格子和7大晶系布喇菲格子代表晶体基元在空间周期排列的重复特征，这种微观的平移对称性可导致宏观上的其它对称性，包括转动、镜面、反演点对称性。1转动：宏观上，转动对称性具有一次、二次、三次、四次及六次轴对称性旋转对称性。角也必定与原格子重合。同理让转轴通过 B点，A点绕轴旋 转-9角后至A'点，格子也完全重合。二证明：在布喇菲格子中任选 两近邻点，A-B;让转轴通过A点，B点绕轴转9角后至B'点，整 个格子应完全与原来的重合。显然，转 -9平移对称性要求 AB/A'B', 并B'A'=mAB m为整数,故有

14、 B'A'二AB+2ABcosa 二AB1-2cos 9 , =180 ° 即 cos 9 =1-m/2; -ivcos 9 <1, m只能取-1, 0, 1, 2 及3,及180° ,这分别对应于 一次、六次、四次、三次及二次轴对称性。于是，9只能分别取360° 60° , 90 ° , 120 °2 以这些对称性为特征，可分出七类晶系其英文版见附录二：表1-4 7大晶系和14种布喇非格晶持征布喇菲格子点群国际符号a b c简单三斜无转轴1JTriclinica /S # 7既无对称轴也无对称命单斜a b c简

15、单单斜屋心单斜2,j?s,2/niMonoclinica=90ay一个二谀旋转轴，镜面对称直工h * £简单正交;底心正交,222F mm2 ,Orthorhombica = x =90°体心正交;面心正交三个互相垂直ffJ-ffc®转轴三角a = b = c三角3 , T, 32 ,3m fTl / mTrigonala = p = y 90°亍三次旋转轴四方a =方#疔简单四肓;体心四方4,耳*4 /耕,422#4初孤可刖2*4 ImmmTetragonala A =尸 90 J个四次旋转轴I A®a = b c六角6,66/%62乙个六茨旋转轴HEKagonala=jS= 90=120 9= i? = *简单立方;体心立方;23，刑 3 , 432 ，旷3 擁,m 3 m四个三次旋转轴Cubica = = 90°面心立方关于晶体对称性的操作见附录三。问题1:为什么没有底心四方和面心四方？因为这会构成另 一简单四方和体心四方问题2: 为什么体心立方不是三角点阵？提示，从对称 性考虑问题3： 为什么没有体心三角？因为这会构成另一套三 角