知识点2平面力系

1、知识点2:平面力系一、平面汇交力系的合成与平衡的几何法(i) 平面汇交力系的合成用力多边形法那么，合力的大小和方向由力多边形的封闭边来表示，其作用线通过各力的汇交点，即合力等于力系中各力的矢量和，即Fr = F1F2Fn 八 F(2) 平面汇交力系的平衡平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件是力多边形自行封闭。即二、平面汇交力系的合成与平衡的解析法1 .力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦，如图2-1所示，它是一标量，即Fx 二 Feos"Fy 二 coGFsiTi(2-1 )x图2-1图2-22. 力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分力是一矢量，其

2、合力与分力之间应满足力的平行四边形公理。如图2-2所示。力沿坐标轴分解的分力的大小为(2-2)F sin :sin( j -)由此可见，在一般情况下，力沿坐标轴分解的分力的大小不等于力在坐标轴上投 影的大小。图2-33合力投影定理合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和，即Rx八Fx ；(2-3)当投影轴x与y垂直时，其合力的大小与方向为FrfRx FRy，cos(FR,i)二学，cos(Fr, j4RxfRRy(2-4)4.平面汇交力系的合成当两坐标轴间的夹角为一时有2(2-5)Fr 二FRxFRy 二.厂Fx)L厂Fy)2Z FxZ Fycos(Fr, i)，cos(FR,j厂F

3、 rF r5.平面汇交力系的平衡由几何法知F r 7代入前面的代数表达式有Fr j FRxFRy = C Fx)2 - Fy)2' Fx =0 ；' Fy =0(2-6)平面汇交力系平衡的解析条件是力系中各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的 代数和均等于零。应用平面汇交力系的平衡方程可以求解两个未知量。三、力矩的概念和计算1 力对点之矩(力矩)力对点之矩(简称力矩)是力使物体绕矩心转动效应的度量，它在平面问题 中是一代数量，其绝对值等于力的大小与力的作用线到矩心的垂直距离的乘积。 其正负规定为：假设力使物体绕矩心逆时针转动时为正， 反之为负。如图2-4所示, 力矩可表示为：图2-

4、42 力矩的性质(1) 力对任一点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变。(2) 力的作用线如通过矩心，那么力矩为零；反之，如果一个力其大小不为 零，而它对某点之矩为零，那么此力的作用线必通过此点。(3) 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。3 合力矩定理合力对某点O之矩等于各分力对同一点之矩的代数和，即nmo F 八 mo Fi(2-7)i 三、力偶的概念和性质1 力偶的概念大小相等、方向相反、作用线平行的两个力称为力偶，记作(F , F')。力偶中两力作用线之间的距离d称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。力偶对物体的转动效应，可以用力偶中的两个力对其作用面内任一点之矩的 代数

5、和来度量，即力偶矩。其表达式为M F ,F' ；= Fd 或 M 二 Fd2 力偶的性质(1) 力偶在任何坐标轴上的投影等于零。(2) 力偶不能合成为一个力，或者说力偶没有合力，即力偶不能与力等效， 也不能被一个力平衡。(3) 力偶对物体不产生移动效应，只产生移动效应，即它可以而且也只能 改变物体的转动效应。只要保持力偶的转向和力偶矩的大小不变，力偶可以在其作用面内任意移动 和转动或者改变力和力偶臂的大小，而不改变它对刚体的作用效应。3. 平面力偶的等效定理作用在同一平面内的两个力偶彼此等效的充要条件是这两个力偶转向相同 和力偶矩的大小也相同。4. 两个推论推论1:力偶可以在其作用面内

6、任意移转而不改变它对刚体的转动效应。推论2:在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶中力 和力偶臂的大小而不改变力偶对刚体的转动效应。五、平面力偶系作用在物体上同一平面内的假设干力偶，总称为平面力偶系。1. 平面力偶系的合成平面力偶系的合成结果仍然为一力偶，合力偶矩等于力偶系中所有各力偶矩 的代数和。即nM =Mi M 2 M Mi(2-8)i2. 平面力偶系的平衡平面力偶系平衡的充要条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即' M = 0( 2-9)利用上述平面力偶系的平衡方程，可以求解一个未知量。六、平面一般力系向一点简化1. 力线平移定理作用在刚体上的力的作用线向刚

7、体上某点平移时，必须附加一力偶，该附加 力偶矩等于原力对该平移点之矩。2. 力系的主失和主矩根据力线平移定理，可将作用在刚体上的平面任意力系向力系所在的平面内 任一点0(简化中心)简化，得到一个作用在简化中心的平面共点力系和一平面 力偶系，进而可以合成为一个力和一个力偶。 该力矢等于原力系的主矢，该力偶 矩等于原力系对简化中心的主矩。力系中各力的矢量和称为力系的主矢，即nF R 八 F ii =1力系中各力对简化中心O的矩的代数和称为力系对简化中心 O的主矩。即nMo 八 Mo Fii =1在一般情况下，主矢不随简化中心改变而变化，而主矩将随简化中心的位置 改变而变化。3. 平面任意力系的简化

8、结果(1) FR =0，Mo =0。简化为一合力偶，此种情况下主矩与简化中心无关。(2) F r=0，Mo =0。简化为一合力。(3) F r=0，M°=0。此种情况可进一步简化为第2种情况。(4) F r =0，Mo = 0。简化为一平衡力系，此种情况为平面任意力系的平 衡条件七、平面任意力系的平衡方程1平衡方程的根本形式、Fx =0,'、Fy =0,- Mo F =0(2-10)2 平衡方程的二力矩形式' Fx =0, ' Ma F =0，' Mb F =0(2-11)其中A、B两点的连线不能与投影轴x垂直。3 平衡方程的三力矩形式Ma F =0,

9、 ' Mb F =0, ' Me F =0(2-12)其中a、b、e三点不能在同一直线上。八、平面平行力系假设各力的作用线在同一平面内且互相平行，这种力系称为平面平行力系 假设各力作用线与y轴相平行，那么力系的平衡方程为二 Ma F = 0，二 Fy = 0(2-13)或'Ma F =0, ' Mb F =0(2-14)矩心A、B的连线不能与各力作用线平行。九、难题解析【例1】图2-5 (a)所示正方形OABC，边长a = 2m受平面力系作用。: q =50N/m , F =400、.2N , M =150N m。试求力系合成的结果，并画在图上。(a)解：将力系

10、向O点简化，先求力系的主矢Frx = F cos45 二 400(N)FRy = F cos45 -qa 二 300(N)Fr =500(N)图2-5(FR,i)二 arccos(FRx Fr) =36 52a(FR, j) =arccos(FRy. Fr) =53 08求力系的主矩。对O点主矩为1M0 - -M -qa a - -250(N m)2可进一步合成为一个合力。合力的作用点至O点的距离d =M0/Fr =0.5(m),如图2-5 (b)所示【例2】杆AB及其两端滚子的整体重心在 G点，滚子搁置在倾斜的光滑刚性平面上，如图2-6所示，给定皿，试求平衡时的九G水平(a)图2-6解：此为三力汇交平衡问题，受力图如图2-6 (b)所示。在 AOG中:AO = I sin ：, AOG = 90 -OAG = 90 - ：， AGO -由正弦定理有_I sin ：_3I sin I esin( v -) sin(90J' sin( v ) 3cosv3sin : cos J - sin vcos w 'cos jsin :即1 2t