狭义相对论57737

1、狭义相对论习题解答6-1 S系中平面上一个静止的圆的面积为 12cm2在S 系测得该圆面积为多 少？S系在t =甘=0时与S系坐标轴重合，以-0.8c的速度沿公共轴x -x 运动。解：在s 系中观测此圆时，与平行方向上的线度将收缩为而与垂直方向上的线度不变，仍为2R，所以测得的面积为V 2丿椭圆面积：S = nab =兀 一 "丫 只=収21一化=7.2cm22丿Yic丿式中a、b分别表示椭圆的长半轴和短半轴6-2 S系中记录到两事件空间间隔.'x=600m，时间间隔-t = 8 10 J s，而s系中记录 r-0，求s系相对s系的速度。解：设相对速度为 v，在S系中记录到两

2、事件的时空坐标分别为x仆J 、x 2, t2 ； S系中记录到两事件的时空坐标分别捲出为及IIX2,t2。由洛仑兹变换得:* = 7 t _-X得:< c23v二t2 - ti - 一2 x2 - Xi-c根据题意得：=0jx =600mt =8 10JS0 二 t - -7 x = v - t =1.2 108m/s = 0.4C Ic2丿Z6-3 一根米尺静止在s'系中，和ox'轴成30角，如果S系中测得该米尺与ox轴成45角，s'系相对s系的速度是多少？ s系中测得米尺长度是多少？解：如图，由题意知，在 s'系中米尺在ox'及oy'方

3、向上的投影的长度为：lx =1 COS30lylsi n30其中r-1m设在S系中测得米尺长为I,那么米尺在ox,oy方向上的投影的长度为:lxlx = I cos45 I y = Is in 45即因为尺在oy方向上的投影长度不变即：ly = ly 于是有lx = ly Ty = l sin30 由S系测得尺在ox方向的投影的长度l'si n30=l cos30化2sin 30vCos3?j=0.8 1 C在S系中测得米尺的长度为:二 0.707ml x l sin 30 lcos 45 cos 456-4宇宙飞船相对于地面以速度 v作匀速直线飞行，某一时该飞船头部的宇 航员向飞船尾

4、部发出一个光讯号，经过 辻飞船上的钟时间后，被尾部 的接收器收到，那么飞船的固有长度是多少？解：飞船的固有长度就是相对于飞船静止的观察者测得的飞船长度。由题意知，飞船的固有长度为L = c t6-5 一立方体，沿其一棱的方向以速度v运动试证其体积和密度为V=V0： 1-和：二2m 0 / V0。式中m0、v 0为静止质量和体积，-v/c 二1,2证明：设立方体静止时的长、宽、高分别以x0、y0、z0表示；当立方体沿其一棱方向以速度 v相对于观察者测得立方体的长、宽、高分别为:相应的体积为:=xy z=x°y°zo. 1以v运动的立方体，其质量为m°于是密度:m&#

5、176;J-'2Vo J - -2V06-6 一火箭的固有长度L，相对于地面作匀速直线运动的速度为Vi，火箭有一个人从火箭的后端向火箭前端的一个靶子发射一颗相对于火箭的速度为V 2的子弹，问在火箭上测得子弹从射出到击中靶子的时间间隔是多少？解：由题意火箭上发射的子弹从发射到击中靶子所前进的距离为火箭的 固有长度L,于是子弹前进L距离所需时间就是所求的时间间隔即 氏二丄V26-7 一个0.8c速度运动的粒子，飞行了 3m后衰变，该粒子存在了多长时间？ 与该粒子一起运动的组系中来测量，这粒子衰变前存在了多长了时间？解：设与粒子一起运动的坐标系为S系，S 系相对于S系运动速度伪0.8C。由题

6、意知，该粒子存在的时间厶tS系中测量就是该粒子在 S系中飞行3m所需的时间。3£即 氏1.25 10 S 如果在S系中来测量，那么粒子衰变0.8C前存在的时间 也t'固有时间为：M=%：1-仗=7.5勺0Syic丿6-8在6000m的高层大气中产生了一个具有2 10 "s平均寿命的介子,该介子以0.998c的速度向地球运动，它衰变前能否到达地面?解：考虑相对论效应，以地球为参考系，介子的平均寿命:t。=2 10 S v =0.998C那么介子的平均飞行距离为：L =vt = 9.46km 所以介子的飞行距离大于高度60000m，它衰变以前能到达地面。6-9 一艘宇宙

7、飞船的船身固有长度为L 0 = 90m，相对于地面以v0 = 0.8cc为真空中光速的速度在一观测站的上空飞过。1观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少?2宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？解：1观测站测得飞船船身的长度为：那么所求的时间为固有时间也二=2.25 10V03宇航员测得船身通过观测站的时间间隔6-10在惯性系S中，有两事件发生于同一地点且第二事件比第一事件晚发 生t =2秒钟；而在另一惯性系 s中，观测第二事件比第一事件晚发生氏=3秒钟。那么在s系中发生两事件的地点之间的距离是多少?解：令S系与S系的相对速度为v，有那么在S係中测得两件事之间的距离为：xx2 -x

8、1由洛仑兹变换得:I _ ct YAt C28由此得 x6.70 10 m其中vY式中负号表示X2 : Xix2 - xi = 600m 和x=1公108呎6-11S惯性系中观测者记录到两事件的时间间隔分别是ti -t2 =8 10 Js，为了使两事件对相对于 s系沿正x方向匀速运动的s系 来说是同时发生的,s系必需相对于s系以多大的速度运动？证明：设两系的相对速度为 v，根据洛仑兹变换：由题意：336-12 一个粒子总能量为 6 10 MeV，动量为3 10 MeV /c它的静止能量 是多少？解：由相对论的动量与能量关系式：E2 =(m°c2 f +P2C2得：E。二m°

9、c2E2 - PC2 由此得 E0 = m0c2 = 5.20 汉 103 MeV6-13 一个电子从静止加速导 0.1c的速度需要作多少功？速度从0.9c加速到0.99c又要作多少功？解：根据功能原理，要作的功W = E根据相对论能量公式E = m2c2 m2根据相对论质量公式mom°V =0小2 =01C时2m°c_m°c2=4.12 10J2.58 10eV采用经典功能公式 W HmoV2 -0 =4.10 106J,现当v=0.1e时仍2可近似采用经典公式计算v1 = 0.9C, v2 = 0.99C(2 )当m1 =m°2时m°cm&

10、#176;c22136-3.93 10 J = 2.46 10 eV6-14设某微观粒子的总能量是它静止能量的k倍，问其运动速度的大小是多少？解：根据相对论的动量与能量关系：mc2=km 0 c22ck，k2 -1所以:由此得v = C K2 -1 K6-15 ( 1)在速度v满足什么条件下粒子的动量等于非相对论动量的两倍;(2)v满足什么条件的粒子的动能等于它的静止能量。由此得根据质能关系式：E =mc2 =moc2 Ek有2 2Ek 二 me m0c2由题意知：Ek =moC于是2 2 2m0c me -m0cmo由此得6-16在参照系S中，有两个静止质量都是mo的粒子A和B,分别以速度v沿同一直线相向运动， 相碰后合在一起成为一个粒子，求其静止质量 Mo？解：由动量守恒定律有：ImAvA -mBvB = Mv因为 mA =mB所以 v' =0 合成粒子是静止的即 M =M°由能量守恒定律得:M表示合成粒子的静止质量6-17 匀质矩形薄板，在它静止时测得其长为a，宽为b，质量为m°，由此可算出其面积密度为匹。假定该薄板沿其长度方向以接近光速的速度ab察者测得该板的长为mo作匀速直线运动，此时再测算该矩形薄板的面积密度那么为多少？解：当薄板以速度 v沿其长度方向匀速直线运动时，相对于板静止的观2v ''丨，宽b = b，此时板的