热传导方程的分离变量法

1、数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第三草热传导方程的别离变量法引 言上一章对弦振动方程为代表的双曲型方程进行了研究， 它的研究包括从方程 的导出到应用行波法。本章我们对抛物型方程 以热传导方程为代表进行研究。 复习：数理方程的导出步骤物理模型 定量化 数学模型i建坐标系ii选物理量uiii找物理规律iv 写表达式本章，我们先对热传导进行推导。3.1热传导方程热传导方程的导出1. 物理模型截面积为Z均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求热量的流动。2. 相关概念和定律i相关概念 热传导：由于温度分布不均匀产生的热传递现象

2、。设热量：Q 面积：S 体积：V时间：t密度： 温度：T，比热：单位物质，温度升高一度所需热量Q:VT热流密度：单位时间流过单位面积的热量Fourier实验定律 q =2 U，:导热率tScn热源强度：单位时间，单位体积放出的热量热源密度f二乂tVi用到的物理学规律Fourier实验定律热传导定律：当物体内存在温度差时，会产生热量的流动。热流强度热流密度q与温度的下降成正比。即q -一八u 0：热导系数热导率，不同物质山不同，.=. x,u。对均匀杆是常 数。负号表示温度下降的方向。分量形式：创cucuqx，qy 八，qz :excycz一维问题：cuq -on 热量守恒质量定律：物体内部温度

3、升高所吸收的热量浓度增加 所需要的质量，等于流入物体内部的净热量质量与物体内部的热源所 产生的热量质量之和。3分析研究的问题：热流流动是由温差造成，设u为温度.：C ,匚常数u=u x,t是一维问题4研究建立方程取X轴与细杆重合，u x,t表示在x点t时刻的温度考虑任一 X段在.：t时间热量情况流入x面:At流出X吠面: 热源产生：设有热源其密度为f x,t，杆内热源在x段产生的热量为Q3 = f x,t A x=t Cx段温度要升高u所吸收的热量QQ 二C A x u 二 C：x |u x,t =t -u x,t 根据能量守恒定律流入x段总热量与Ax段中热源产生的热量即 C -Ax u x,

4、t ： =t ；;u x,t 二. ux x ： =x,t ；-Ux x,t j|A. ：tfA. ：x：t两边同除以X,t . ：t U X,tAtUx X ：x,t -Ux x,tri.fAx当二x 0 ,Lt 0 时，C r Ut iUxxfUt 二 DUxx f，同理，二维热传导方程为Ut -D Uxx Uyy = f三维热传导方程为Ut -D Uxx Uyy Uzzf或q - D ： u = f或ut-au=f定解条件1初始条件u x,0 ：门ix2.边界条件提法有三种i第一类边界条件：直接给出物理量在边界上的数值边界上各点 的温度ou 0,t t , u l,t = tU点X x出

5、ii第二类边界条件：研究物理量在边界外法线方向上方向导数的数Ux(X,t)xd=Vi(t) ,Uxx=V( t通过细杆端点的热量，特殊情形 vt =0女口 Ux l,t =0绝 热条件。物理意义：把细杆端点x=l处的截面用一种定点绝热的物质包 裹起来，使得在端点x=l处，既无热量流出去，又无热量流进来。iii第三类边界条件：物理量与外法向导数的线性组合。杆端x =1与某种介质接触，它们之间按热传导中的牛顿实验定律进行热交换，相应的边界条件为Ux l,t u l,t -v t ，-:热导系数，:热交换系数介质通过边界按冷却定律散热：单位时间通过单位面积表 面和外界交换的热量与介质外表温度 U边界

6、和外界温度U :之差成正 比。设比例系数为a，那么-K =a(u边界-ujn边界_ unu 二 u - v t如在 x=l 处，-.ux l,t u l,t - j t3 .2混合问题的别离变量解定解问题有界杆的热传导现象L2ut a u“ =00 c x 0* u(0,t )=0 . u(l ,t )=00u(x,0 ) = (x)0x 兰丨其中x为函数。分析：求解：第一步：别离变量u x,t = X x T ti .设热导方程具有如下别离变量解(特解)IHii.将其代入泛定方程有1,T=-,其中是常数。于是有 a2 T X2X + 扎 x = 0 , T + ahT = 0iii由边界条件

7、有当 u 0,t =0，那么 X 0 =0 , 当 u l,t =0，那么 X I =0即本征值问题x x = 0X 0 =0 X I =0第二步：求解本征值问题上章已经证明只有当 .0时，证本征值问题有非零解。i . X x = Asin、x Bcos、xi.由 XWb=0.As“0X (I ) = 02 2 n :12, n = 1,2,3, 即特征值是人=1匕I , n= 1,2,3, I丿i .本征函数是 Xn x =sin Jx I第三步：求特解，并叠加出一般解又由 T a2 T =0，d InTnadt两边积分2t 亠 G = Tn = Cne其中G是积分常数。于是Un x,t =

8、Xn x Tn t 二 .n 二sin xI,n =1,2,3,故一般解cou X,t 八 Cnennjl? itt . n.J si xI第四步：确定叠加系数由初始条件 Cn sinn 4于是两端同乘以sinI逐次积分有/ x sin 牛 xdx二、CnSinn 二.m 二,xsin xdxIIoQ=、CnnI0sinoO八G.,n 分析解答由初始温度度分布的叠加。1 - cosxsin 叵xdx 2n 二I2x-dxsinEIl_2 2二 Cn 二了 ./ x sinn 二xdxIoOu X,t = Cnen =1naICntsin xdx， n 二 1,2,3,IIn： x sin |

9、xdx：x引起的温度分布u x,t可看作是由各个瞬间热源引起的温3.3初值问题的付氏解法引言：上节求解混合问题时，空间坐标x变动区间为0,1。如考虑无界杆的热传导, 如何？将f x,t等在I-l, l 上展成Fourier级数，再让区间l-l, l 无限扩大。结果：在一定条件下，Fourier级数变成一个积分形式，称为 Fourier积分。3.3.1 Fourier 积分设f x定义在-：,：内，且在任一有限区间l-l,l 1上分段光滑，那么f x可展开成Fourier级数f x 二生 an cos- bn sin2 心Il其中bnJsinnd，os d，I-d，In r: x 1 l .co

10、s.L f 匚 Jsinmn 二 xd sinll1 l.=27d 1 J cos2ln l _1 l J： 1 ln n二nfi - idf i - i cos cos x sin sin2l 7nd J _ lll:1 lcos llndn现设f x在：，：上这时可积,:1 ld fsinrsdlxd-oG!即厂.f (x )dx =有限值，那么当l =时,n :f x =l叩一 :cosx d-nIl- Hn ,n = n 1 一 n，那么上式写成1旳if x = limn f - icos n % -x d蘆兀n=丄d f cos -x d ，cos，-x它是关于的偶函数。1 : :2

11、 二可以证明：d f - jCoM - - x d 称为 f x 的 Fourier 积分f X及f X的连续点处，f X的付氏积分收敛于它在的函数值。Fourier积分还可写为qQ其中2 二B 亠:f sin df x 二 Acos，x BI|sin x d2热导方程的Cauchy问题定解问题-：x ： ： ： . t O其中、X为函数。分析：一无限长细杆在初始时刻的温度分布，求其以后的温度分布 别离变量法求解：人亠T +aT =0令u x,t；=T t X X，那么有 ，为常数。X +X =0有T tuei 0，将分布在整个一小段上的热量Q看作在极限情形只作用在x点，那么在x=x有瞬时点热源，强度为Q，这样的热源，在细杆上得到的温度分布为:lim由积分中值定理其中 x -疔.：xr，f - 0 时，二一0，那么limq i r 再e2C :a . -1 2 x r.Q1_C 2a C故v所代表的温度分布是当初始时刻t = 0时，细杆在x =处受到强度为Q =C 的瞬时点热源的作用而产生的对原问题的解：为在初始时刻要使细杆在x二处只有温度:，那么在此近邻一小单位d上需吸收的热量dQ 小i： - ：C = i： - id ，或在x =点有温度为dQ的瞬时点热源，所产