34直线与圆锥曲线

1、341.直线与圆锥曲线【例题精选】例1(1)(2)成角为、已知直线yaxb(a0)与圆x2y21问a,b满足什么条件，直线与圆有两个公共点？设这两个公共点为M、N,且OM、ON(。为原点)与x轴正方向所，求证：cos(+)-2-a1第(1)问是求直线与圆什么时候有两个公分析：共点，因直线与圆有两个公共点的充要条件是圆心到直线的距离小丁圆的半径，或者直线方程与圆的方程联立的方程组有两个实数解，这里我们用后面的条件求解。第(2)问(如图)中角可以看成是OM、ON的倾斜角，直接找较麻烦，但是由圆的性质，取MN中点P,连结OP,可以知道Lxop二，只tg的值，再根据三角公式，就可以计算2需求出OP的斜

2、率，也就可以得到出cos()与a的关系了。-yaxb:(1)由万程组22xy1x2(axb)2消去y,得1,即(1a2)x22abxb2104a2b24(1a2)(b21)4(1a2b2)1a2b20时，直线与圆有两个公共点.(2)、如图，取MN中点P,连结OP,贝U<xop2直线MN的斜率Kmna(a0),又opMN,1a直线OP的斜率kopoptg=由万能公式，得1cos()-112aa21a21例2已知椭圆中心为原点O,焦在坐标轴上，y=x+1与该椭圆相交于p、Q,J34I、EPQM,求椭圆方程。4分析：这个问题中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上没有给定，因此在设此椭圆方程时，可以设

3、为Ax2By21,线yx1上，因此坐标满足方程y2）的话，可推得PQJiI|x1x2,（我们称它为弦长公式,1k2xx2）.由已知OPOQ我们一方面可以知道OP与OQ的斜率乘积为-1（斜率存在的情况下），一方面也可以知道PQ中点到原点O的距离等丁|PQ的一半,因此本题可以得到以下两种一般解法.解法一：设椭圆方程为Ax2设PgyQQg,y2）Ax2由yBy21(A0,B0)By211消去y,得(AB)x22BxB10乂这个问题中涉及弦PQ的长，因为P、Q在直yx1,所以若P、Q坐标分别为（x,y）,（x2,股地为2B-一，xx2AB2Ay1y2,yABy2y1y2OPOQ,2xX2A1B1又PQ

4、1,即AB3441(B12(1)0时),11v(x1x2)24x1x2,3442-4J34(AB)2AB16将（1）代入，得B22B151605十3B-或B-44C222椭圆方程也也1或昼3y244442解法二：同解法一，得（AB）x2BxB2B2Ax1xy1y2ABAB设A1为所求10,B2(1)PQ中点M的坐标为（一,一）即（-,-）ABAB22OPOQ,OM(|)B2由(1)A2以下同解法12(登4)28PQ35AA解得4或453BB4417(2)例3求过点A(3,-1)被A平分的双曲线解法一：设过A点的直线方程为yix24y24的弦所在直线的方程.1k(x3)代入x24y24消去y,2

5、2.2.-2.-(14k)x(24k8k)x4(9k6k2)当14k20,且0时，设直线与双曲线的I24k28kx1x224k10两交点坐标分别为p(x,y),Q(x2,y2)PQ中点为A(3,1)24k28k4k26,k经验证k3满足14直线3x4y50为所求4k20且解法二：设直线与双曲线的两交点坐标分别为p(x1,y1),Q(x2,y2)则匕、4x24y2两式相减，得PQ中点为A代入上式，得(xi(3,Vix2)(x1x2)4(yy2)(yy2)01XX26,V1V22y2x1x2直线PQ3X4Y50说明：本题解法二过程简单，上是在承认了直线与双曲线存在两个交点的情况下去求解的,、3成A

6、(2,1)或A(32为所求在解题中是一种常用的方法，但是此法实际，题中点A坐标若改11),用此法可以得出相应的斜率2.3K-或K,从而得出直线x2y0或6x8y50,它们与双曲线都是设有交点的,4因此也是不合题意的。例4过点P(-2,1)的直线l交抛物线(x-)2y216y24x丁点B、C,交圆(x9)2y216于点A、D,若ABCD,试求直线l的方程2(交点顺序依次为A、B、C、D或B、A、D、C)。分析：由已知条件可以看出抛物线和圆都在Y轴左侧，且两线是相交的，点P(-2,0)在两线的内部，且在它们的对称轴上，因此直线x2是满足条件的一条直线，它是一条斜率不存在的直线，当直线l的斜率存在时

7、，可设出l的方程分别与抛物线方程，圆方程联立去求交点坐标，但是若直接计算|ABCD|的等式，会比较麻烦，由丁题中给出四个交点的顺序，所以可以将AB|CD的条件转化为BC与AD的中点是重合的去解，就会方便很多，但如果未给出交点顺序，应考虑四交点是否会出现如B、A、C、D的顺序，若能有此种顺序就不可以用中点重合的方法了。解：过P(-2,0)点的直线x+2=0交抛物线丁B(-2,2显)、C(2,2/2)交圆于A(2'乎、D(2'号ABCD直线x20为所求设直线l:yk(x2)代入y2k2x2(4k24)x4k20BC弦的中点M的坐标为xmABCD，且交点顺序为A、4x22k2272，

8、ymkB、C、D或B、A、D、C,点M也是AD的中点AD是圆的弦,圆心N(-,0)与M的连线垂直丁直线l,2ymxm2（0）kk2k229k22直线方程y2x1解得k24和y2x4也为所求例5已知直线ymxm与双曲线(x1)2a2y2a2(a0)(1) 实数m,a满足什么条件时，两线只有一个公共点？(2) 对任何实数m,两线总存在公共点，求实数a应满足什么条件？，一种是直线与分析：第(1)小题中，应注意两线只有一个公共点包括两种情况双曲线渐近线平行时的情况，一种是直线与双曲线相切的情况ymx解：(1)由2(x1)*2*22、(1am)xm22ay22(2am0时，x2)x2a消去y，得222a

9、ma0()直线与双曲线有一个公共点a20即m2(a2(2)当1即a2m44(a22mr2244am21)22a2224m1am1时直线与双曲线有一个公共点0时，令44a2m2a2a4m204m2100时,4)22am222224(1am)(1am42,am00a2)欲使此不等式对任何实数m都成立，只需a2240实数a应满足2a2且a0例6是否存在圆锥曲线C同时满足下列两个条件:(1)原点0和直线x-1为它的焦点和相应的准线；曲线C上两点P1，P2关丁直线x+y=0对称，且P1P22。2,若存在求出该曲线的方程，若不存在说明理由.分析：由条件(1)可知，如果能求出曲线C的离心率e,那么曲线C的方

10、程就存在，而由条件(2)可知，P1P2斜率应该为1,所以P1P2的方程可以设为b,这时此问题中出现两个待定的常数e与b,而根据对称点的性质及P1P22也，可以列出两个方程，如果能得出解即可.:设圆锥曲线C的离心率为e，则由圆锥曲线定义可得x2y2e2)x2y22e2xe20xb,代入上述方程，得b2e20()在e22,且0时，P1P2中点M的坐标xme2b厂,yM(1b)e2be22e2be22(1b)e2bQbe22此时()方程可化简为x22x0e22由IP1P222,得172E2七2出e2曲线C的方程为3x2y28x40,是双曲线方程.【综合练习】：1、已知椭圆1内一点P(2,1),过P作

11、一条直线交椭圆丁A、B,使94线段AB中点是点P,求出直线方程。2、m为何值时，直线ymx1与双曲线x24y21相交丁两点八点宥目切？相离？3、直线y(a1)x1与曲线y2ax恰有一个公共点，求实数a的值。4、在椭圆3x24y212上总有关丁直线y4xm对称的相异两点，求m的取值范围。5、已知定点A(-1,0),B(0,2),过点A且斜率为K的直线交曲线C,y侦8xx2丁P、Q两点，线段PQ中点为M,直线MB交x轴丁N点。(1) 当点N分别位丁A点的左侧、右侧时，求对应的K值。(2) 设曲线C的中心为D，当DPQ为等边三角形时，求对应的K的值。6、直线kx-y-10=0与双曲线会七1的两个交点

12、都在双曲线的右支上，求k的取值范围。【答案】1、提示：与例3类似可以用两种不同方法求解，对丁椭圆，点P在其内,用解法二不会有问题，直线方程8x9y250为所求。ymx12、由22消去y得x24(mx1)210x4y1即：(14m2)x28mx5064m220(14m2)2016m2551.、.1、m且m-时相父丁两点，m-时相父丁一点2222（这里不包括相切的情况）；m登时相切；m或m兰5时相离.2223、若a=0时，曲线变为y=0与直线y=x-1恰有一个公共点；若a=-1时,直线变为y=-1与曲线y2x恰有一个公共点；若a0,a1时，由y2y(a1)x1消去y,得ax(a1)y2aya0,令

13、a的值为o,1,45。，得a4.一，.-,此时两线恰有一个公共点.54、设相异的两对称点坐标为A(xi,yi),B(x2,y2)，则一22一3xi4yi12一22一3x4yi12yiy22两式相减，得3(xi2x22)4(yi2v2)0乂设AB中点坐标为p(x°,yo),则x°兰一，yo2yiy23x°ixix24yo4y。3x0(1)又y°4x0m,x°m,y°3m点p应在椭圆内部,3x2.2一04y012即3m222449m12,m13m的取值范围是空m至1313消去x,得(1k2)x22k2x8xk25、由yy-4点M(-18x

14、2x2k(x1)k25knJ)4y0,k0,且由砒0k,3设N(X0,0),B,M,N三点共线，5k八y01k2204k220xrx1kx2(k2)02k1令业21,得12k12令2(k2)k431,得。k-2k12N点分别位丁A点的左侧、右侧时，对应的K的值分别为1 ,4八：1k,0k-32乂当DPQ为等边三角形时，由点D(4,0)到PQ的距离为2j3,而求得K6、提示：注意题中要求直线与双曲线的两个交点都在双曲线的右支上,由ykx10,、22消去y得关丁x的二次方程。x24y2202一3913因此，在(14k2)x280kx4200,应使此方程在2,.5,一一1K的取值范围是12参数方程与

15、极坐标【例题精选】例1将下列参数方程化为普通方程2t34(t是参数)tx(1)y)，上有两个解，可求得1cossin(为参数)11cosx3（1）将方程变形y2xy10（除点（2,3）为所求x0-1,sin1cosSin-,Cos12(1)2两式平方相加，得宁%1八11即x2(y-)(y1）为所求另法:x1cossin1cos2一csc2212sin222/2yx1.n11_即x2（y-）（y一）为所求22说明：参数方程化为普通方程时，就是要消去参数，而消参数的方法很多，但是消去参数后，应注意变量x,y的取值范围，比如上面第（1）小题中x2,y3,第小题中x0,y-.2例2将下列极坐标方程化为

16、直角坐标方程.psin(解：(1)方程变形为sincoscossin133将siny,cosx代入，得y-3x20为所求方程变形为（3）-（3）0(-)030化为x2y29化为y-/3x3说明：极坐标方程与直角坐标方程的互化，是在两坐标系符合以下条件时,即极点与原点重合，数轴与x轴正半轴重合，长度单位一致，另外，以上两题中的取值没有限制.x1tsin6例3（1）求直线7（t为参数）的倾斜角；y2tcos7x22y（2）过点p（1,-2）的直线交椭圆8于A,B两点，若PA|PB分析求直线的倾斜角.x:直线参数方程tcos、（t为参数）中常数a如果在区间tsin0,x内，则角x。aty°

17、btx。yy。为过点（xo，y。）直线的倾斜角，若直线参数方程形式为（t为参数）时，则直线倾斜角的正切值为-（a0）,此a例第（1）小题最好用前者求直线倾斜角，在前一种形式参数方程中，参数t的几何意义是P0P的数量（其中P0（x0，y0），P（x，y）分别是直线上的定点和动点），此例第（2）小题应设直线的参数方程，利用t的几何意义去解。x解：（1）方程变形y1tsin()9cos1492tcos()2tsin714直线的倾斜角为；14设直线方程为x1tcos(t为参数)y2tsin代入x22y28,得2八2,2cos2sint2cos8sint10设两根为t2，t2则PA|pb|t1t2解得S

18、in12-2cos2sin2直线的倾斜解为45或135.例4已知曲线C:X2C0S（为参数），若A,B是C上关丁坐标轴不对称的ysin任意两点,求AB的垂直平分线l在x轴上截距的范围.:设点A(2cos,sin则AB的斜率为k直线l的斜率为k),点B(2cos,sin)sinsin.2cos2cos2(coscos)sinsin直线l的方程为yl与X轴的截距Xosinsin222sinsin4(coscos)2(coscos)r,x(cossinsincoscoscos)3,(coscos4cos1,13.2cos1,coscosXo即直线l在X轴上截距的范围是3Xo-22例5（1）求圆5w'3cos5sin的斗径及圆心的坐标。1（2）直线与圆2Ccos相切的充要条件是什么?asinbcos解：（1）方程变形为10cos（一）6圆的半径为5，圆心坐标为5,16另法：方程变为25、.3cos5sinX2y253x5y022明535”即xy2522圆的半径为5，圆心坐标为.3,即5,弋（注前者是在直角坐标系下的图心坐标）（2）将方程化为直角坐