圆方程知识点总结典型例题

1、资料圆与方程1.圆的标准方程:以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x_a)2y_b)2=r2.特例：圆心在坐标原点，半径为 r的圆的方程是：x2+y2=r2.2 .点与圆的位置关系：(1) .设点到圆心的距离为d,圆半径为r：c.点在圆外 Od>ra.点在圆内=>dvr； b.点在圆上 =>d=r；(2) . 给定点 M(x0,y0)及圆 C:(x-a)24(y-b)22. M 在圆 C 内=(x0-a)2+(y0-b)2<r2M M 在圆 C 上 u (x0 -a)2 4(y 0-b)2=r2M M 在圆 C 外u (x0-a)2+(y0-b)2>

2、r2(3)涉及最值:P ,讨论PB的最值PB = BN = BC -rminPB = BM = BC +rmaxP ,讨论PA的最值PA . = AN = r ACminPA = AM = r + ACmax思考：过此 A点作最短的弦？(此弦垂直 AC)3 .圆的一般方程：x2+y24Dx+Ey+F =0 . 当D2+E2YF A0时，方程表示一个圆,其中圆心1，一"!卜半径r =(2)当D2旺24F =0时，方程表示一个点LD, 一E i2 2 当D2+E24F <0时，方程不表示任何图形.注：方程 Ax2 +Bxy +Cy 2 +Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：

3、B=0且 A = C#0且D2 E2 4AF -0 .4.直线与圆的位置关系:直线 Ax +By +C =0与圆(x a)2 +(y -b)2 = r2圆心到直线的距离 d -lAaJBb tCI.一 A2 B21) d >r直线与圆相离u无交点；2) d =r之直线与圆相切u只有一个交点；3) d <ru直线与圆相交 二有两个交点；弦长|AB| =2 Jr2 -d2、 Ax + By+C =0还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组3 y求解，通过解22、x2 +y2 + Dx+Ey + F = 0的个数来判断：(1)当Aa0时，直线与圆有2个交点，直线与圆相交；(2)当4=0时，

4、直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；(3)当4<0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5.两圆的位置关系(1)设两圆 C-(xaj2+(y句)2=12与圆 C2：(xa2)2+(yb2)2 = r22,圆心距 d = (a1 -a2)2 (b -b2)2 d >1 +2 w 外离 u 4条公切线； d = r1 +r2 y 外切u 3条公切线； r1 -r2| <d <r1 +r2 U相交U 2条公切线； d =r1 r2 y内切u 1条公切线；外离(2)两圆公共弦所在直线方程22圆 C1： x + y +D1x + E1y + F1=0,22圆 C2 ： x +y +

5、 D2x + E2y + F2 =0 ,则3-D2 -1 -E2 W+g - F2尸0为两相交圆公共弦方程补充说明： 若C1与C2相切，则表示其中一条公切线方程； 若C1与C2相离，则表示连心线的中垂线方程 .（3）圆系问题过两圆 C1： x2+y2+D1x+E1y+F1 =0和 C2 ： x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0交点的圆系方程为 x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + 九（x2 + y2 + D2x + E2y + F2 ）= 0 （九 # 1 ）补充： 上述圆系不包括 C2;2）当儿=1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦） 过直线Ax+B/

6、C0与圆x2 + y2+Dx+Ey + F= 0交点的圆系方程为22x2 y2 Dx Ey F Ax By C =06 .过一点作圆的切线的方程:(1)过圆外一点的切线： k不存在，验证是否成立k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即y -yo=k(x1 -xo)b -yi -k(a _xi)R 二R2 1求解k,得到切线方程【一定两解】例1.经过点P(1 , 2)点作圆(x+1) 2+( y2)2=4的切线，则切线方程为 (2)过圆上一点的切线 方程：圆(xa)2+(yb)2=r2,圆上一点为(X0, y(o), 2则过此点的切线方程为 (x。一a)( xa) +(yob)( yb

7、) = r特别地，过圆x24y22上一点P(xo,y。)的切线方程为xox+yoy2. 22例2.经过点P(-4, 8)点作圆(x+7) +(y+8) =9的切线，则切线万程为 。7 .切点弦过OC： (xa)2+(yb)2=r2外一点P(x0,y。)作OC的两条切线，切点分别为A、B, 则切点弦AB所在直线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b) = r28 .切线长：若圆的方程为(x-a)2(y-b)2=r2 ,则过圆外一点 Rx°, y°)的切线长为d= J(x0 a) + (y0 b) r9 .圆心的三个重要几何性质：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

8、 圆心在某一条弦的中垂线上； 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。10 .两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法例.已知圆C： x2 + y2 -2x =0和圆Q： x2+ y2+4 y =0,试判断圆和位置关系，若相交，则设其交点为 A、B,试求出它们的公共弦 AB的方程及公共弦长。、求圆的方程例1 （06重庆卷文）以点（2,_1）为圆心且与直线3x_4y+5 = 0相切的圆的方程为（）2222(A) (x -2) (y 1) =3 (B) (x 2) (y -1) =3(C) (x -2)2(y 1)2 = 9(D) (x 2)2(y 1)2=9二、位置关系问题例2 (06

9、安徽卷文)直线x + y = 1与圆x2 + y2 _ 2ay = 0 (a A 0)没有公共点，则a的取值范 围是()(A) (0, ,2-1)(B)(, 2 -1, ,2 1)(C) (-,2 -1, ,2 - 1)(D)(0, , 2 1)三、切线问题22-5 一例3 （06重庆卷理）过坐标原点且与圆 x +y -4x + 2y + = 0相切的直线方程为(A) y = -3x 或 y(C) y = -3x 或 y1二一 x31=-x3(B)(D)y = 3x 或 y = 一y = 3x 或 y =1 x31四、弦长问题22.例4 （06天津卷理）B两点，且设直线 ax y + 3 =

10、0与圆(x -1)2 +(y -2)2 =4相交于 A、弦AB的长为2於，则a =五、夹角问题22例5 （06全国卷一又）从圆x -2x + y 2y +1 = 0外一点P（3,2）向这个圆作两条切线，则两 切线夹角的余弦值为（）（A） 1（B）3 （C）（D） 0252六、圆心角问题例6 （06全国卷二）过点（1, V2"）的直线l将圆（x 2）2 + y2 =4分成两段弧，当劣弧所对的圆心 角最小时，直线l的斜率k =.七、最值问题22例7 (06湖南卷又)圆x +y 4x 4y 10 =0上的点到直线x + y14 =0的最大距离与 最小距离的差是()(A) 30 (B) 18

11、 (C)6. 2(D)5, 2八、综合问题例8 (06湖南卷理)若圆x2 +y2 -4x -4y 10 =0上至少有三个不同的点到直线l : ax +by =0的距离为2近,则直线l的斜率k取值范围圆的方程1 .方程x2+y22 (t+3) x+2 (1-4t2) y+16t4+9=0 (t G R)表示圆方程，则t的取值范围是A. - 1<t <1 B. - 1<t < 1 C.- - <t <1D1< t<27272 . 一圆与y轴相切，圆心在直线 x 3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2日，求此圆的方程3 .方程x2+ y2+ Dx+

12、Ey+F=0 (D2+E24f>0)表示的曲线关于 x+y=0成轴对称图形，则()A.D+E=0B.B.D+F=0 C. E+F=0D.4. (2004年全国口，8)在坐标平面内，与点 共有()A.1 条 B.2 条 C.35. (2005年黄冈市调研题)圆x2+y2+xk=.D+E+F=0A (1, 2)距离为1,且与点B (3, 1)距离为2的直线条D4条6y+3=0上两点 P、Q关于直线 kx - y+4=0对称，则6 . (2004年全国卷W, 16)设P为圆x2+y2=1上的动点，则点 P到直线3x 4y10=0的距离的最小 值为.7 .已知实数x、y满足方程x2+y24x+1

13、=0.求(1) ?的最大值和最小值；(2) y x的最小值；x(3) x2+y2的最大值和最小值经过两已知圆的交点的圆系2222_例1.求经过两已知圆：X +y 4x6 = 0和x +y 4y6 = 0的交点且圆心的横坐标为的圆的方程。例2.设圆方程为：（九+4）x2 +（九+4）y2 +（2九+4）x+（12九+40）y48儿一164 = 0 其中九丰-4求证：不论九为何值，所给圆必经过两个定点。直线与圆的位置关系22例1:求由下列条件所决定圆 x + y = 4的圆的切线方程; 经过点P（於1）,经过点Q（3,0）,斜率为1直线和圆1 .自点（一3, 3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆2 2_.,x +y 4x-4y+7