圆锥曲线经典题目(含答案解析)

1、完美WORD格式圆锥曲线经典题型一.选择题（共10小题）21 .直线y=x-1与双曲线x2-=1 （b>0）有两个不同的交点，则此双曲线离 b2心率的范围是（）A. （1,也）B.（我，+oo） C. （1, +oo）D. （1,血）U （血，+oo）22 .已知M （xo, y。）是双曲线C:与_，=1上的一点，R, F2是C的左、右两个焦点，若MF；MF :<0,则y。的取值范围是（）223.设F1, F2分别是双曲线当了三二1 （a>0, b>0）的左、右焦点，若双曲线右 b2支上存在一点P,使得（而+而弓）弓？二0,其中O为坐标原点，且|万号|二3|市1，则该双

2、曲线的离心率为（）A.B. 1C.D.2222k4.过双曲线二-4=1 （a>0, b>0）的右焦点F作直线y=-x的垂线，垂足 / b2a为A,交双曲线左支于B点，若祚=2/，则该双曲线的离心率为（）A.三 B. 2 C.二 D.二225.若双曲线三上y=1 （a>0, b>0）的渐近线与圆（x-2） 2+y2=2相交，则此 a2 b双曲线的离心率的取值范围是（）A. （2, +oo）B. （1,2） C. （1, V2）D.（近，+oo）226.已知双曲线C:殳>0, b>0）的右焦点为F,以F为圆心和双曲线Jb2的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,

3、且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A.近 B .遥 C. & D. 22227.设点P是双曲线2匚=1 （a>0, b> 0）上的一点，Fi、F2分别是双曲线的2 L 2 a b左、右焦点，已知PFLPE,且|PFi|二2|PF2| ,则双曲线的一条渐近线方程是（A.:' B.：, C. y=2x D. y=4x228 .已知双曲线二可口的渐近线与圆x2+（y-2） 2=1相交，则该双曲线的离心 a2 b2率的取值范围是（）A. （Vs, +00） B. （1, V5） c （2. +oo）D. （1, 2）9 .如果双曲线经过点P （2,血），且它

4、的一条渐近线方程为 y=x,那么该双曲 线的方程是（）Q 2222222A. x,-=1 B. - - -=1 C. -=1 D. - - -=1 222362210 .已知F是双曲线C: x2- -=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直, ,-1点A的坐标是（A1, 3),C.3则4APF的面积为（D.2二.填空题（共2小题）211.过双曲线/号二1的左焦点Fi作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点，则4 PEQ的周长是.2212 .设Fi, F2分别是双曲线与4b>0）的左、右焦点，若双曲线右 a2 b2支上存在一点P,使（OP + OF?）邛？

5、记0 , O为坐标原点，且 西I阳配I，则该双曲线的离心率为.解答题（共4小题）213 .已知点Fi、F2为双曲线C: x2-二1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的 b?直线，在x轴上方交双曲线C于点M /MFF2=30° .(1)求双曲线C的方程；(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为Pi、P2,求 pf；? ppc的值.222214.已知曲线 C：4-2=1 (a>0, b>0)和曲线 G：二工二1有相同的焦 屋/5 3点，曲线G的离心率是曲线C2的离心率的巡倍.(I )求曲线G的方程；(n)设点A是曲线C的右支上一点，F为右焦点，连AF交

6、曲线G的右支于点 B,彳BC垂直于定直线l : x32,垂足为C,求证：直线AC恒过x轴上一定点.22215.已知双曲线r：芸b>0)的离心率e二正，双曲线r上任意 /b2一点到其右焦点的最小距离为 V3-1.(I)求双曲线r的方程；(H)过点P (1,1)是否存在直线i ,使直线i与双曲线r交于R t两点， 且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明 理由.2216.已知双曲线C:三-01(40, b>0)的离心率e=/5,且b=/. a2 b2(I )求双曲线C的方程；(H)若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F,且近？而二0,求4PE

7、F的面积.一.选择题（共10小题）1 .直线y=x-1与双曲线x2-=1 （b>0）有两个不同的交点，则此双曲线离 b2心率的范围是（）A. （1,而） B.（我，+8）C. （1, +8）D. （1,血）U （血，+oo）2【解答】解：二直线y=x-1与双曲线x2-4=1 （b>0）有两个不同的交点， b2 . 1>b>0或 b>1., e=71+b2> 1 且 ew血. a故选：D.2.已知M （xo, yo）是双曲线C:台-/=1上的一点，R, F2是C的左、右两个 焦点，若MF；M而<o,则yo的取值范围是（）A 手 W； B 二：C .9,=

8、;D., I【解答】解：由题意，MF；M=（-百-xo, yo） ?（近xo, yo） =xo2 3+yo2=3yo2 - 1 < 0,所以-零<y。晔. Jo故选：A.223.设Fi, F2分别是双曲线（a>0, b>0）的左、右焦点，若双曲线右 a2 b2支上存在一点P,使得（而+而;）9二0,其中。为坐标原点，且|呵|二3|可|，则该双曲线的离心率为（）A.二 B. 1C.D. 一22【解答】解：PF PE的中点A,则丽+丽隋二0，oaTp .O是F1F2的中点 ON PFi,PFXPR,|PFi|=3|PF2| , .2a=|PFi| - |PF2|=2|PF2

9、| ,|PFi| 2+|PF2|2=4c2,，一 22 . 10a=4c , e二二 e2故选C.22k4.过双曲线:-七=1（a>0, b>0）的右焦点F作直线y=-x的垂线，垂足 ”b2a为A,交双曲线左支于B点，若而=2曲，则该双曲线的离心率为（）A. T B. 2C.二 D. 一【解答】解：设F （c, 0）,则直线AB的方程为y4 （x-c）代入双曲线渐近线 b方程y= »X得A（S,-生）， ac c_ 2-2由而=2而，可得 B ( - c +2a , -2L), 3c 3c把B点坐标代入双曲线方程 £-£=1,2. 2即（/十学？2 J

10、l二i 整理可得c=/5a, 9c a 9c即离心、率e=S=/5. a故选：C.225.若双曲线与上=1 （a>0, b>0）的渐近线与圆（x-2） ?+y2=2相交，则此 2 l 2a b双曲线的离心率的取值范围是（）A. （2, +oo）B. （1, 2） C. （1,血） D. （V2, +0°）【解答】解：二,双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆（x - 2） 2+y2=2相交圆心到渐近线的距离小于半径，即11<-Va2 + b2b2<a2,c2=a2+b2< 2a2,e< V2 ; e>1 .1<e<故选C.2

11、26.已知双曲线C:3号1殳>0, b>0）的右焦点为F,以F为圆心和双曲线 / b2的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M,且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A.近B .企C.如D. 22【解答】解：设F （c, 0）,渐近线方程为y上x,可得F到渐近线的距离为=b, 即有圆F的半径为b,令x=c,可得y=± b=+Y _ ?/由题息可得=b,a即 a=b, c= ' ,-'= 丁a,即离心率e=V2, a故选C.227.设点P是双曲线与三=1 (a>0, b>0)上的一点，Fi、F2分别是双曲线的 a28.已知双曲线32T

12、=1的渐近线与圆x2+ (y-2) 2=1相交，则该双曲线的离心 a2 b2率的取值范围是()A.(娟，+8)B.(1,把)C.(2.+8)D.(1,2) b2左、右焦点，已知PFLPE,且|PFi|二2|PF2| ,则双曲线的一条渐近线方程是(A.工 B.工 C. y=2x D, y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PFi| -|PF2|=2a,又|PFi|二2|PF2| ,得|PF2|=2a, |PF1|=4a；在 RTAPFF2中，|FiF2|2=|PFi| 2+|PF2| 2,4c2=16a2+4a2,即 c2=5a2,贝 b2=4a2.即 b=2a,22双曲线与三二1 一条渐近线

13、方程：y=2x；1b故选：C.【解答】解：二,双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆xC: x2-三二1的右焦点F (2, 0),-1PF与 x 轴垂直，设(2, y), y >0,贝11 y=3,则 P (2, 3),+ （y-2） 2=1相交圆心到渐近线的距离小于半径，即 .3a2< b2,c2=a2+b2> 4a2,. . e=£>2 a故选：C.9.如果双曲线经过点 P （2, V2）,且它的一条渐近线方程为 y=x,那么该双曲线的方程是（Q 222A. x2- &-=1 B, 二-2_=1 C.2222222-=1 D. - - -=1

14、3622【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为 y=x,可设双曲线的方程为代入点P （2,花）,x2 - y2=入(入 w 0),可得专业知识分享入=4 2=2,可得双曲线的方程为x2-y2=2,2，/-=1.22故选：B.10.已知F是双曲线2C: x2-=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直, ,-1点A的坐标是（1, 3）,则4APF的面积为（A【解答】解：由双曲线D.2API PF,贝W AP I =1, I PF I =3,.APF的面积 S=X | AP I X | PF | 二 22同理当y<0时，则 APF的面积S=l, 2故选D.二.填空题（共2小题）211.过双

15、曲线 /膏二1的左焦点Fi作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点，则4 PEQ的周长是 20 .【解答】解：V |PFi|+|QFi|=|PQ|=8222双曲线x2-=1的通径为2b =2父2 =84a 1PQ=8一. PQ是双曲线的通径 PQLF1F2,且 PF=QF=PQ=42.由题意，|PF2| - |PF1|=2 , |QF2| - |QF1|=2 . |PF2|+|QF2|=|PF 1|+|QF1|+4=4+4+4=12 . PEQ的周长=|PF2|+|QF 2|+|PQ|=12+8=20 ,故答案为20.2212.设Fi, F2分别是双曲线与上于1殳

16、>0.b>0）的左、右焦点，若双曲线右 a2 b2支上存在一点p,使（而+至）用二0，0为坐标原点，且|所上 |田|，则该双曲线的离心率为_近+1_.【解答】解：PF PE的中点A,则（OP+OF）*FP = O， 2？二0,赢_1帝，.OA> PFFz的中位线，PFXPR, OA/PF.2由双曲线的定义得|PFi| - |PF2|=2a , |PFi|二加IPF2I , .|PF2|=_4J |PFi|=V包.V3-1V3-1 PFF2中，由勾股定理得 |PFi| 2+|PF2| 2=4c2,（普-）2+ （今&） 2=4c2,用TW3-1e=/3+l.故答案为：V

17、3+1.三.解答题（共4小题）213 .已知点Fi、F2为双曲线C: x2-。=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的 b2直线，在x轴上方交双曲线C于点M /MFF2=30° .（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为Pi、P2,求PP?项的值.【解答】解：（1）设F2, M的坐标分别为G/1+捻0）, di+b%因为点M在双曲线C上，所以l+b?/二1, BPy0=±b2,所以IMF?仁广， 在RtzXMFFi中，/MFF2=30° ,慌七 仁b2，所以|M群仁2b2（3分）由双曲线的定义可知：u./ -2故双曲

18、线C的方程为：二 （6分）2（2）由条件可知：两条渐近线分别为尸0； 1 2 ：灯上+y=0（8分）设双曲线C上的点Q（X。，y。），设两渐近线的夹角为9 ,则点 Q 到两条渐近线的距离分别为,IV2x0-y0|, IV2x0 + y0l /.八、|PP1|二一言工，|PP|二三口，（11分）因为Q（X。，y。）在双曲线C:二1上,所以如2/=幻又cos8=,_kIV2K0-y0所以.=I IV2k0+v0I分）G：鲁哈1有相同的焦2214 .已知曲线 C:三-4=1（a>0, b>0）和曲线 a2 /点，曲线G的离心率是曲线C2的离心率的泥倍.（I ）求曲线G的方程;（n）设点A

19、是曲线C的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B,彳BC垂直于定直线l : x=反，垂足为C,求证：直线AC恒过x轴上一定点.2【解答】（I）解：由题知：a2+b2=2,曲线Q的离心率为，!（2分）;曲线C的离心率是曲线G的离心率的加倍，三产！二%用乂,即a2=b2,（3分）.a=b=1,曲线G的方程为x2-y2=1;（4分）（H）证明：由直线 AB的斜率不能为零知可设直线 AB的方程为：x=ny+ （5分）与双曲线方程x2-y2=1联立，可得（n2-1） y2+2&ny+1=0设 A （xi, y1），B（X2, y2）,则 y+y2=一2乎口，yyJ,（7 分）n2-l n2-l由题可设点C （返，y2）,2（9分）由点斜式得直线AC的方程：y-y2言卫（x-返）2-盯七令 y=0,万一力野力+万町可得x=-2&n-2y 1（1-n2）（11 分）直线AC过定点（&0，0）.4（12 分）2215.已知双曲线r：b>o）的离心率e=正，双曲线r上任意a2 b2一点到其右焦点的最小距离为 Vs-1.（I）求双曲线r的方程；（H）过点P （1,1）是否存在直线1 ,使直线1与双曲线r交于R t两点， 且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明 理由.【解答】解：（I