抛物线经典性质的总结

1、实用标准文案抛物线抛 物 线y2 =2px (p>0)y2 = -2 px (P>0)x2 =2py (p>0)x2 = -2 py (p>0)yll口rIIly 1oHl F x7F-xF,K0xFl定义平向内与一个定点F和一条定直线l的跑离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫 做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。mmf点M到直线l的距离范围x 之 0, y w Rx W0” Rxe R, y >0xW R,y <0对称性关于x轴对称关于y轴对称隹百八、八、(r0)(-P,0)(0,9(0, -1)焦点在对称轴上顶点0(0,0)离心率e=1准线 方程x=-

2、2pxp =2T准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的跑离相等。顶点到准 线的距离_p2焦点到准 线的距离P焦半径A(xi, yi)AF = x1 + "p2AF =,x +卫 x12AF = y1 +上2AF = -y1 +2精彩文档焦点弦长AB(Xi X2) p-(Xi X2) p(yi y2) p-(y1 y2) p焦点弦AB |的几 条性质A(Xi, yjB(X2, y2)以AB为直径的圆必与准线l相切若AB的倾斜角为a ,则|AB =2p.2 一sin -若AB的倾斜角为a ,则|AB =2p2cos :2pX1X2 :411 AF BF AB 2+ - ，AF BF AF *B

3、F AF *BF p切线方程y°y =p(X X。)y°y = -p(X X。)XoX = p(y y。)x°x = p(y y。)1.直线与抛物线的位置关系直线上J=匕+b,抛物线C：二 20r,y = kx + b炉=2的，消y得：芥+2侬-»+必=0(1)当k=。时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；(2)当 kw。时，A。，直线l与抛物线相交，两个不同交点；A=。，直线l与抛物线相切，一个切点；A。，直线l与抛物线相离，无公共点。(3)若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定) (42.关于直线与抛物线的位置关系问题常

4、用处理方法直线l： y = kx + b 抛物线 = (p。)联立方程法:'y =kx +b2 2= k x +2(kb p)x+b =0y -2px设交点坐标为A(x1,y1), B(x2, y2),则有 > 0 ,以及x1+x2, x1x2,还可进一步求出y1y2 = kx1 b kx2 b ; k(x1 x2) 2b22y1y2 = (kx1 b)(kx2 b) = k x1x2 kb(x1x2) b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a.相交弦AB的弦长AB = V1 +k2 x1 -x2 = v'1 + k2 J(x1 +x2)2 -4x1 x

5、2 k2 a,b.a.AB1 = 11+Jyi -y2 = Ji+k1r7(yi +y2)2 -4yiy2 ;。彳中点 M(x0,y0), x0 =寸'y°=T点差法：设交点坐标为A(xi，yi), B(x2,y2),代入抛物线方程，得2 c2 cyi =2px1、2 =2px2将两式相减，可得(yi y2)(y1 y2) =2p(x x?)yi -y2 _ 2pxi -x2yiy2在涉及斜率问题时,kAB =2pyiy2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M (x0, y0),yi 72 _ 2p 2p p ,xi -x2 yi y2 2 y0y0即 kAB = &

6、quot;p , y。同理，对于抛物线 x2=2py(p*0),若直线l与抛物线相交于 A、B两点，点M(xo,y。)是弦AB的中点，则有kAB =已*=也=%2P 2p p(注意能用这个公式的条件：1)直线与抛物线有两个不同的交点，2)直线的斜 率存在，且不等于零)一、抛物线的定义及其应用例1、设P是抛物线y2=4x上的一个动点.(1)求点P到点A( -1,1)的距离与点P到直线x= 1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2),求| PB +| PF的最小化例2、(2011 山东高考)设M(x0, y0)为抛物线C： x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物

7、线C的准线相交，则y0的取值 范围是()A. (0,2)B. 0,2 C . (2, +oo) D . 2 ,二、抛物线的标准方程和几何性质例3、抛物线y2 = 2px(p>0)的焦点为F,准线为l ,经过F的直线与抛物线交于A、 B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AKal,垂足为K,若|Bq=2|BF|, 且|AF| =4,则4AKF的面积是()A. 4 B . 373C . 4v3D . 8例4、过抛物线y2= 2Px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点 A、B,交其准线l 于点C,若| BC = 2| BF ,且| AF| = 3则此抛物线的方程为()A. y2= 3x

8、B. y2 = 9xC . y2= |xD . y2=3x三、抛物线的综合问题例5、(2011 江西高考)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，斜率为2加的直线 交抛物线于 A(xi, yi) , B(x2, y2)( XL)两点，且 |AB=9.(1)求该抛物线的方程;(2)0为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC =A+ x QB,求人的值.例6、(2011 湖南高考)(13分)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程;B,过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线12与轨迹C相交于点d, E,求AD，EB11, 12,设11与轨

9、迹C相交于点A,的最小值例7、已知点M(1 , y)在抛物线C： y2 = 2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的1 一一 一一，距离为2,直线l : y= 2x+b与抛物线C父于A, B两点.(1)求抛物线C的方程；(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程.练习题1. 已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线 y2 x2=2的上焦点，则2.3.A. 1B. 4D. 16抛物线y= 4x2上的一点M到焦点的距离为1,17A.1615B.16C.716则点M的纵坐标是（15 D.16（2011 辽宁高考）已知F是抛物线y2 = x的焦点,A, B是该抛,物线上的两点,| AF

10、+| BF =3,则线段AB的中点至IJ y轴的距离为4.3A. 4已知抛物线）A.相离5B 1 C. 47D.4y2=2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是B.相交 C .相切D.不确定5.（2012 宜宾检测）已知F为抛物线y2=8x的焦点，过F且斜率为1的直线交物线于 A、B 两点，6.)A . 4 /在y = 2x2上有一点B. 8 C则 | FA. 8 2|FB| 的值等D. 16P,它到 A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是A. (2,1)B. (1,2) C. (2,1)7. （2011 陕西高考）设抛物线的顶点在原点，准线方程为D. (-1

11、,2)x= 2,则抛物线的方程是A . y2= - 8xB . y2= 8xC. y2= 4x D . y2=4x8 . （2012 永州模拟）以抛物线x2=16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切 的圆的方程为.9 .已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 y轴，抛物线上一点Q（-3, m）到焦点的距离是5,则抛物线的方程为 .10 .已知抛物线y2 = 4x与直线2x+y4= 0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F,那么| +| FB | =11 .过抛物线y2 = 4x的焦点作直线交抛物线于 A(X1, yl), B(x2, y2)两点,若x1 + x2 = 6,那么| AB等于12 .根据下列

12、条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线16x2 9y2=144的左顶点；(2)过点 P(2 , -4).13 .已知点A(1,0) , B(1 , 1),抛物线 C: y2=4x, O为坐标原点，过点 A 的动直线l交抛物线C于M, P两点，直线M眩抛物线C于另一点Q若向量OM 与OP的夹角为十，求POM勺面积.参考答案：一、抛物线的定义及其应用例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线是x=1.由抛物线的定义知：点P到直线x= 1的距离等于点P到焦点F的距离.于是，问题转化为：在曲线上求一点 P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到 F(1,0)的距离之和最小.显

13、然，连结AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF , 即为5. 如图，自点B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于点P1,则|P1Q=|P1F|.则有 | PB +| PF 引 P1B| +|P1Q =| BQ=4.即| PB +| PF 的最小值为 4.例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为 P,即p=4,根据已 知只要|FM>4即 可.根据抛物线定| FM =y0+2由y0+ 2>4,解得y0>2,故y0的取值范围是(2 , + °°).二、抛物线的标准方程和几何性质例3、设点A(xs y1),其中y1>0.由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为 B.则有 一

14、 | BB| 1| BF = | BB| ;又 | CB = 2| FB ,因此有 | CB =2| BB| , cos / CBB = . Dn/| BC 1 4sin = 2y3,因此 4AKF 的面积等于 J AK y1 =% x 4X 2/3=443. 22例4.分别过点A、B作AA、BB垂直于l ,且垂足分别为A、B,由已知条件| Bq =2| BF 得| BC =2| BB| , . ./BCB= 30°，又 | AA| = | AF| = 3,. .|AC=2|AA| =6, .|CF=|AC|AF=6 3 = 3, . F 为线段 AC 的中点.故 13点F到准线的距

15、离为p=2|AA|=2,故抛物线的方程为y =3x.三、抛物线的综合问题例5、(1)直线AB的方程是y = 242(x p),与y2 = 2px联立，从而有4x2- 5px + p2=0,所以：xI + x2= 5p,由抛物线定义得：| AB =x + x2+p=9,所以p = 4,从而抛物线方程是y2= 8x. 兀 .兀P .一CBB= 1 即直线AB与x轴的夹角为3.又| AF| =| AK =xi+2 = 4,因此y=（2）由 p = 4,4x2 5px+p2= 0 可简化为 x25x + 4 = 0,从而 x=1, X2= 4, y1= 2也，y2= 4也,从而 A（1 , 2淄），B

16、（4,4 也）;设 OC=（x3, 丫3）= （1, 2陋）+ 入（4,4 班）=（4 入+1,4小入2山）.又 y3=8x3,即2 5（2 入一1） 2 = 8（4 入 + 1）.即（2入- 1） 2= 4入+ 1.解得入=0,或入=2.例6、（1）设动点P的坐标为（x, y）,由题意有4一x-1 2+y2 |x|=1.化简得 y2= 2x + 2| x|.当 x>0 时，y2 = 4x；当 x<0 时，y=0.所以，动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x10）和y=0（x<0）.由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0,设为k,则l 1的方程为y = k（x y= k x 1

17、,得 k2x2(2k2+4)x+k2=0.(71),由 1 2y =4x4设A(Xi, y。，B(x2,均，则Xi, x2是上述万程的两个实根，于是 Xi + X2=2 + T2, kXiX2=1.(8分)因为ll2,所以12的斜率为一1.设D(X3, y3), E(X4, y4),则同理可得k2X3+ X4 = 2 + 4k, X3X4=1.=(Xi+ 1)( X2 + 1) + ( X3+ 1) , ( X4 + 1) X1X2 + ( X1 + X2) + 1 + X3X4 + ( X3+ X4) + 1(11分)422121=1 + (2+常+1 + 1 + (2 + 4/)+1 =

18、8 + 4(/ + ?)>8+4X2 /k2 0=16.当且仅当k2=*,即k=±1时，；D tB取最小值16.p例7、（1）抛物线y2 = 2px（p>0）的准线为x= 2,由抛物线定义和已知条件可知p p . 一一 . C| MF = 1 ( 2) = 1+2 = 2,解得p=2,故所求抛物线C的方程为y =4x.1 一联立卜2，2消去X并化简整理得y+8y 8b=0.2 人y =4x依题意应有 A =64+ 32b>0,解得 b> 2.设 A(Xi, y。，B(x2, y2),则 y-y?8, y1y2 = - 8b,设圆心 Q(xo, y°)

19、,则应用 x0= 2 , y0= 2 = - 4.因为以AB为直径的圆与x轴相切，所以圆的半径为r = |y°|=4.又 | AB = 7 xi X2 24- yi y2 2=« 1+4yi y2 2=aJ5yi+y2 2 4yiy2 =#5 64+ 32b所以 |AB=2r =、5 64+32b =8,解得 b= -8. 548所以 xi + x?=2b 2yi + 2b 2y2=4b+ 16 5 ,则圆心Q的坐标为(24, 4).故所求圆的方程为(x-24)2+ (y + 4)2=16. 55练习题：a 1. . C.解析：根据抛物线万程可得其焦点坐标为(0 , %),

20、双曲线的上焦点为(0,2),、.a 一依题意则有二=2解得a= 8.4 . c y12. B.解析：抛物线方程可化为x2= %其准线方程为丫 =布.设Mx% y。)，则 115 由抛物线的止乂，可知16 y0= 1 ? y0= 16.3. C.解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段 AB中点到y轴的距离 为：2(1 AF +1 BF) -4= 3-，=5.4. C.解析：设抛物线焦点弦为AB,中点为M准线l , A、B分别为A、B在直1线l上的射影，则|AA| =| AF , | BB| =| BF ,于是M到l的距离d=2(| AA| +| BB|) =2(| AFF +| BF) =

21、2| AB =半径，故相切.y x 25. C.解析：依题意F(2,0),所以直线方程为y = x 2由2 c，消去J =8xy 得 x2- 12x + 4 = 0.设 A(xb y。, B(x2, v2，则 II FA -| FB| =|( x-2) (x2 + 2)| =|x1 x2| =3(x1+x2)2 4x1x2 =214416 =872.6. B.解析：如图所示，直线l为抛物线y = 2x2的准线，F为其 焦点，PNJ_ l, AN，l,由抛物线的定义知，|PF =|PN, .|AP 十 |PF| =|AP+|PN引AN| ,当且仅当 A P、N三点共线时取 等号.一. P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1,则可排除A7. B.解析：由准线方程x= 2,可知抛物线为焦点在x轴正,半轴上的标准 方程，同时得p = 4,所以标准方程为y2 = 2px=8x8. 解析：抛物线的焦点为F(0,4),准线为y= 4,则圆心为(0,4),半径r =9. 所以，圆白方程为x2+(y 4)2=64.10. 析：设抛物线方程为x2=ay(aw0),则准线为y= 4.=Q 3, m)在抛物a线上，；9 = am而点Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离，丁. | mi-( 4)| =5.将m= 9代入，得|9