《高考调研》2012届高三数学第一轮复习 第六章《平面向量和复数》课件6-3

1、 1数量积的有关概念 两个非零向量a与b，过O点作a，b，则.叫做向量a与b的夹角；范围是. a与b的夹角为度时，叫ab 若a与b的夹角为，则ab|a|b|cos. 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab. a在b的方向上的投影为|a|cos.AOB0180 x1x2y1y2 3注意 两个向量的数量积是一个实数 0a0(实数)而0a0 数量积不满足给合律(ab)ca(bc) ab中的“”不能省略1(08陕西卷)关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：若abac，则bc.|ab|a|b|ab.ab|ab|ab|；|a|b|ac|bc|.非零向量a和b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为

2、60.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)答案 解析由数量积定义ab|a|b|cos，若abac 则|a|b|cos|a|c|cos，|b|cos|c|cos 即只要b和c在a上的投影相等， 则abac 中ab|a|b|cos ，由|ab|a|b|及a、b为非零向量可得|cos |1，0或，ab且以上各步均可逆，故命题是真命题 中当ab时，将向量a、b的起点确定在同一点，则以向量a、b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等即有|ab|ab|.反过来，若|ab|ab|，则以a、b为邻边的四边形为矩形，所以有ab，因此命题是真命题 中当|a|b|但a与c的夹角和

3、b与c的夹角不等时，就有|ac|bc|，反过来由|ac|bc|也推不出|a|b|.故命题是假命题 失分警示解决向量问题常常要数形结合，ab等于a乘以b在a方向上的投影，或等于b乘以a在b方向上的投影 答案B 3若(ab)(2ab)，(a2b)(2ab)，求非零向量a，b的夹角的正弦值 4(2010江西卷)已知向量a，b满足|b|2，a与b的夹角为60，则b在a上的投影是_ 答案1 解析b在a上的投影是|b|cosa，b2cos601. 5(2010湖南)若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)b0，则a与b的夹角为() A30 B60 C120 D150 答案C 题型一平面向量数量积的运算

4、例1(1)已知|a|2，|b|5，若：ab；ab；a与b的夹角为30，分别求ab. 【思路分析】根据非零向量数量积的定义直接求解即可，只需确定其夹角.【解析】当ab时，若a与b同向，则它们的夹角为0，ab|a|b|cos025110；若a与b反向，则它们的夹角为180，ab|a|b|cos18025(1)10.当ab时，它们的夹角为90，ab|a|b|cos902500. 探究1(1)求平面向量数量积的步骤是： 求a与b的夹角，0，180； 分别求|a|和|b|； 求数量积，即ab|a|b|cos，若知道向量的坐标a(x1，y1)，b(x2，y2)，则求数量积时用公式abx1x2y1y2计算

5、(2)注意共线时0或180，垂直时90，三种特殊情况 思考题1(1)(2010广东卷，文)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则x() A6B5 C4 D3 【解析】由题意可得8ab(6,3)，又(8ab)c30，c(3，x)， 183x30 x4. 【答案】C 题型二向量的夹角 思考题2已知|a|2，|b|1，a与b的夹角为60，求向量a2b与ab的夹角的余弦值 【解析】ab|a|b|cos1. |a2b|2a24b24ab12； |ab|2a2b22ab3； (a2b)(ab)a22b2ab3. 向量a2b与ab的夹角的余弦值 题型三向量的模 例3已知

6、向量a、b满足|a|6，|b|4，且a与b的夹角为60，求|ab|和|a3b|. 【分析】本例题介绍两种求向量模的方法： (1)利用|ab|2(ab)(ab)；(2)构造模型，利用向量的加法和减法求模 【答案】B 题型四垂直问题 例4(1)设向量a，b，c满足abc0，(ab)c，ab.若|a|1，则|a|2|b|2|c|2的值是_ 【分析】由垂直的充要条件，寻找|a|，|b|，|c|之间的关系 【解析】ab，bac， aba(ac)|a|2ac0， ac|a|21. 又(ab)c， (ab)c0，acbc1. abc， |a|2|b|2|c|22bc， |b|2|c|2|a|22bc3， |

7、a|2|b|2|c|24. 探究4垂直问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别若a(a1，a2)，b(b1，b2)，则aba1a2b1b20，aba1b2a2b10. (2)如图，在等腰直角三角形ABC中，ACB90，CACB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE2EB，求证：ADCE.思考题4(2011上海春季高考)若向量a(2,0)，b(1,1)，则下列结论正确的是()Aab1B|a|b|C(ab)b Dab 1记忆向量的数量积公式应从两个方面： 定义，向量积的坐标公式 2向量的数量积应用广泛，可用于求角、求长度、

8、证垂直等问题 3注意数形结合思想的应用，如加、减运算的几何意义，数量积的几何意义投影 1已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是_ 答案2 解析解法一如图所示，由题易得 3(08浙江)已知a是平面内的单位向量，若b满足b(ab)0，则|b|的取值范围是_ 答案0,1 1(2010山东卷，理)定义平面向量之间的一种运算“ ”如下：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令a bmqnp.下面说法错误的是() A若a与b共线，则a b0 Ba bb a C对任意的R，有(a) b(a b) D(a b)2(ab)2|a|2|b|2 答案B 解析根据题意可知若a，b共线，可得mqnp，所以abmqnp0，所以A