勾股定理综合难题附复习资料超好打印版

1、练习题1如图，圆柱的高为10 cm,底面半径为2 cm.，在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底 面上与A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少？2如图，长方体的高为3 cm，底面是边长为2 cm的正方形.现有一小虫从顶点A出发，沿长方 体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米？答案AB=5OBD3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B'点沿纸箱爬到D点，那么它所行的最短路线的长是4、如图，小红用一张长方形纸片 ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm,?长BC?为10cm.当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）.想一想，此时EC有多长？ ？5如图，将一个边长

2、分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠, 使C点与A点重合，则EB的长是（）.A. 3B. 4C.爼D. 56.已知：如图，在 ABC中，/ C=90°， 垂直平分线交BC于D，垂足为E，D=4cm. 求AC的长.7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8, 现将直角边AC沿直线AD折叠，使其落在斜边AB上，且 与AE重合，贝U CD的长为&如图，在矩形ABCD中，AB 6,将矩形ABCD折叠，使 点B与点D重合，C落在C处，若AE： BE 12，则折 痕EF的长为。AEB9、如图，已知：点E是正方形ABCD的BC边上的点，现将 DCE沿折痕DE向上翻折，使

3、DC落在对角线DB上，贝U EB : CE =.10、如图，AD是厶ABC的中线，/ ADC = 45°,把厶ADC沿AD对折，点C落在C'的位置，若 BC= 2,贝U BC =.C题5图1，有一块直角三角形纸片，两直角边11. 如图AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合,A.2cmB.3 cmC.4 cmAC = 6cm, BC = 8cm,现将直角边 AC沿直线 则CD等于（）D.5 cm图112、有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿/ CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边 AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗?E13、如

4、图，在 ABC 中，/ B=90 , AB=BC=6，把 ABC进行折叠，使点 A与点D重合，BD:DC=1:2，折痕为EF, 点E在AB上，点F在AC上，求EC的长。14. 已知，如图长方形 ABCD中，AB=3cm , AD=9cm，将此长方形折叠,B与点D重合，折痕为EF,UA ABE的面积为（）2 2 2 2A、6cmB、8cmC、10cmD、12cm15.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB = 3,AD = 9,求BE的长.B16、如图，每个小方格的边长都为 1 求图中格点四边形ABCD的面积17、如图，已知：在ABC中，ACB 90，分别以此直角三角形的三边

5、为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等.B18如图8,有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P: 能否使你的三角板两直角边分别通过点 B与点C?若能, 请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由. 再次移动三角板位置，使三角板顶点 P在AD上移动， 直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长 线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE = 2cm?若能， 请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.21 能.设 AP = x 米，由于 BP2= 16+x

6、2, CP2= 16+(10 x)2,而在 Rt PBC 中，有 BP2+ CP2= BC2, 即卩 16+x2+16+(10 x)2= 100,所以 x2 10x+16= 0,即(x 5)2= 9,所以 x 5=± 3, 所以x = 8, x= 2,即AP = 8或2,能.仿照可求得AP = 4.19. 如图 ABC 中，ACB20、直角三角形的面积为形周长为（）（A）、d2 S 2d（C）2 .厂S 2d90 ,AC 12,BC 5,AN AC,BM BC 则 MN=4S，斜边上的中线长为d，则这个三角(B) d2 S d(D)2 d2S dI解:设两直角边分别为a,b,斜边为c

7、,则c 2d,S如2 . 2 2由勾股定理，得a b c .所以2 2a 2ab bc2 4S 4d2 4S所以a b21.在ABC中,ABRC i1,2，L 2006 则 mi m2 L m2006 =Rt ABC 中，BAC 90 , AC AB, DAE 45，且 BDCE 4,求 DE 的长.23、如图，在 ABC中，AB=AC=6 , P为BC上任意一点，请用学过的知识试求 PC PB+PA2 的值。24、如图在RtAABC中,C 90 ,AC 4, BC 3，在ABC的外部拼接一个合适的直角三 角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图

8、不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的 三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形）25. 如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为 AC=1km , BD=3km , CD=3km，现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米, 请你在CD选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用 F。26. 已知：如图， ABC中，/ C = 90 ；点O ABC的三条角平分线的交点， OD丄BC，AC和BC的距离分别等于 cmOE丄AC，OF丄AB，点D、E、F分别是垂足，且 BC =

9、 8cm, CA = 6cm,则点O到三边AB，C第28题图27. （8分）如图，在 ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，请说明：AB2 AP2=PBX PC2 2 228、如图，已知： C 90，AM CM，MP AB于 P.求证：BP AP BC .小屋29. （本题满分6分）如图，一个牧童在小河的南 4km的A处牧马，而他正位于他的小屋 B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水， 然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?二二二 二二小河二二二二二二二牧童2.6m30. （本题满分6分）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是 长方形的仿古

10、通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.31 在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20米处的池塘的A处；另 一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这 棵树高多少米？32. 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面, 已知红莲移动的水平距离为 2米，求这里的水深是多少米？33. 长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端 沿墙面升咼了m.34. 已知：如图， ABC中，/ C = 9

11、0°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE丄 DF .求证：AE2+ BF2 = EF2.CB35. 已知：如图，在正方形 ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE= 4 ，求 证：AF丄FE.36. 已知 ABC中，a2 + b2+ c2= 10a+ 24b+ 26c 338,试判定 ABC的形状，并说明你的理由.6 / 2637. 已知a、b、c是厶ABC的三边，且a 与c的关系，并证明你的结论.解：若 ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2若厶ABC是钝角三角形，/ C为钝角，则有a2+b2<c2当厶ABC是锐角三角形时， 证明：过点A作A

12、D丄CB,垂足为D。设CD为x，则有DB=a xc2 b2c2= a根据勾股定理得b2 x2 = c2 (a x)2即b2 x2= c2a2 + 2axx 2二孑 + b2= c? + 2ax b4,试判断三角形的形状.38. 如图，长方体的底面边长分别为 1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点 A开始经过 四个侧面缠绕一圈到达点 B,那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过四个侧面缠绕n 圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？39、a、b为任意正数，且a>b，求证：边长为2ab、 a2 b2、aF+b2的三角形是直角三角形2 240. 三角形的三边长为（a b） c2ab，

13、则这个三角形是（）A（A）等边三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）锐角三角形41. （12分）如图，某沿海开放城市 A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从 B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形 区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离 才可脱离危险？42. （14分） ABC中，BC a，AC b，AB c，若/ C=90，如图（1），根据勾股定理，则B2 2 2 2 2a b c ,若厶ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3）

14、，请你类比勾股定理，试猜想a bI a>0, x>0 2ax>0a2+b2>c2 当厶ABC 是钝角三角形时,43. （10分）如图，A市气象站测得台风中心在 A市正东方向300千米的B处，以10 7千米/ 时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200?千米范围内是受台风影响的区域.（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？BC M44、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子 露在杯子外面的长度为hem，则h的取值范围是（）.A .

15、 h< 17cmB . h>8cm C. 15cm< h< 16cmD . 7cm< h< 16cm45如图，已知：一-匚，工-门：，Q匸于P.求证1-:'-，/ A=60 °，AB=4，CD=2。求：四46【变式2】已知：如图，/ B= / D=90 边形ABCD的面积。2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂,47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决.49、如图所示， ABC

16、是等腰直角三角形，AB=AC , D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、 AC边上的点，且 DE丄DF，若BE=12, CF=5.求线段EF的长。CCACAB=13,BC=14,A C=15，则 BC 边上的高 A D=50如图，在等腰厶ABC中，/ ACB=90 °，D、E为斜边AB上的点，且/ DCE=45° 求证：DE2=AD2+BE2。51如图，在 A BC中,52如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4,将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，则重叠部 分厶AFC的面积是。53在厶ABC中，AB=15 ,AC=20,BC边上的高A D=12，试求BC边的长.54在厶

17、A BC中,D是BC所在直线上一点，若AB=IO,BD=6,AD=8,AC=17，求 ABC的面积。55. 若厶ABC三边a b、c满足a2+ b2 + c2 + 338=10a+24b+26c ABC是直角三角形吗？为什 么？56. 在厶ABC中，BC=1997, AC=1998, AB 60. 如图，E是正方形ABCD的边CD的中点，延长 AB至U F,使BF= 4 AB，那么FE与FA相 等吗？为什么？=1997+1998,则厶ABC是否为直角三角形？为什么? 注意BC、AC、AB的大小关系。AB v BCvAC。AB2+BC2=1997+19972+1998=1997X( 1+1997

18、) +1998=1997X 1998+1998=19982= AC2。57. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点 A处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点 C1处，如图，已知长方形长6cm,宽5 cm,高3 cm。蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方形 的表面向上爬，它要从 A点爬到C1点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着 怎样的路线爬上去，所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？C19卷图58. 木箱的长、宽、高分别为 40dm、30dm和50dm,有一 70dm的木棒，能放进去吗？请说明理 由。59. 已知 ABC的三边a、b、c,且a+b=17, ab=60, c=13, ABC是否

19、是直角三角形？你能说 明理由吗？61.如图，/ A=60/ B=Z D=90°。若 BC=4, CD=6, 求 AB 的长。62.如图，/ xoy=60°, M是/xoy内的一点，它到ox的距离MA为2。它到oy的距离为11 求0M的长。带答案版的用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形图（1）中c2 -+4x2方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形広卄丄负=J= （fi- a）1 -+4x丄血图（2）中 12所示的两个形状相同在（3） 1中，甲的面积=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积）， 在（3） 2中，乙和丙的面

20、积和=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积）所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即-.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。，所以-'练习题1如图，圆柱的高为10 cm,底面半径为2 cm.，在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底 面上与A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少？2如图，长方体的高为3 cm，底面是边长为2 cm的正方形.现有一小虫从顶点A出发，沿长方答案AB=5体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米BCDOB12 / 263、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B'点沿纸箱爬到D点，那么它所行的最短路线的长是4、如图，小红用一张长方形纸片

21、 ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm,?长BC?为10cm.当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）.想一想，此时EC有多长？ ？5如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠, 使C点与A点重合，则EB的长是（）.A. 3B. 4C.忑D. 56.已知：如图，在 ABC中，/ C=90°， 垂直平分线交BC于D，垂足为E，D=4cm. 求AC的长.7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8, 现将直角边AC沿直线AD折叠，使其落在斜边AB上，且 与AE重合，贝U CD的长为&如图，在矩形ABCD中，AB 6,将矩形ABCD折叠

22、，使点B与点D重合，C落在C处，若AE： BE 12，则折 痕EF的长为。AEB9、如图，已知：点E是正方形ABCD的BC边上的点，现将 DCE沿折痕DE向上翻折，使 DC落在对角线DB上，贝U EB : CE =.10、如图，AD是厶ABC的中线，/ ADC = 45°，把厶ADC沿AD对折，点C落在C'的位置，若 BC= 2,贝U BC =.图1DC题5图11 如图1,有一块直角三角形纸片，两直角边 AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合,A.2cmB.3 cmC.4 cmAC = 6cm, BC = 8cm,现将直角边 AC沿直线 则CD等于（）D.5 cmE第11

23、题图沿/ CAB的角平分线12、有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边ACAD折叠，使它落在斜边 AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？13、如图，在 ABC 中，/ B=90 , AB=BC=6，把 ABC进行折叠，使点 A与点D重合，BD:DC=1:2，折痕为EF, 点E在AB上，点F在AC上，求EC的长。14. 已知，如图长方形 ABCD中，AB=3cm , AD=9cm，将此长方形折叠,B与点D重合，折痕为丘卩则厶ABE的面积为（）2 2 2 2A、6cmB、8cmC、10cmD、12cmAD = 9,求BE的长.15. 如图，将矩形ABCD沿EF折

24、叠，使点D与点B重合，已知AB = 3,DB16、如图，每个小方格的边长都为 1.求图中格点四边形ABCD的面积17、如图，已知：在ABC中，ACB 90，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等.所以ab 2 a2 2ab b2 c2 4S 4d2 4S所以ab 2 d2 S.所以 a b c 2d2 S 2d.故选(C)21.在ABC中,AB AC 1 BC边上有2006个不同的点 乩卩2丄卩2006记mi2AR BR RC i 1,2, L 2006 则 g m2 L m2o°6_解:设两直角边分别为久匕斜边为c,则c2d,S 2ab

25、.由勾股定理.得18如图8,有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P: 能否使你的三角板两直角边分别通过点 B与点C?若能, 请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由. 再次移动三角板位置，使三角板顶点 P在AD上移动， 直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长 线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE = 2cm?若能， 请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.21 能.设 AP = x 米，由于 BP2= 16+x2, CP2= 16+(10 x)2,而在 Rt

26、 PBC 中，有 BP2+ CP2= BC2, 即卩 16+x2+16+(10 x)2= 100,所以 x2 10x+16= 0,即(x 5)2= 9,所以 x 5=± 3, 所以x = 8, x= 2,即AP = 8或2,能.仿照可求得AP = 4.19.如图 ABC 中，ACB90 ,AC 12,BC5, AN AC, BM BC20、直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（、d2 S 2d(B)d2 S d(C)2 d2 S 2d(D)2d2 S d解:如图作AD BC于D,因为AB AC则BD CD由勾股定理,得AB2 AD22 2 2 2由勾股定理,得

27、DFBF BD 4 3 5 .所以DF 5.因为 DAE 45 ,所以 DAF DAB EAC 45 .所以 ADE ADF SAS.所以 DE DF 5.23、如图，在 ABC中，AB=AC=6 , P为BC上任意一点，请用学过的知识试求 PC PB+PA2的值。 BD2, AP2 AD2 PD2 所以AB2 AP2 BD2PD2BD PD BDPD BP PC所以 AP2 BP PC AB212.245，且 BD 3因此 mi m2 L m200612006200622 .如图所示，在 Rt ABC 中，BAC 90 ,AC AB, DAECE 4,求 DE 的长.解:如右图：因为 ABC

28、为等腰直角三角形，所以ABDC 45 .所以把AEC绕点A旋转到AFB,则AFBAEC.所以 BF EC 4, AF AE, ABFC 45连结DF.所以DBF为直角三角形BP24、如图在RtAABC中,C 9° ,AC 4, BC 3，在abc的外部拼接一个合适的直角三 角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的 三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形）解：要在RtAABC的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键 是腰与底边的

29、确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。下 图中的四种拼接方法供参考。CD=3km，现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米, 请你在CD选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F。B26. 已知：如图， ABC中，/ C = 90 ；点O ABC的三条角平分线的交点， OD丄BC，OE丄AC，OF丄AB，点D、E、F分别是垂足，且 BC = 8cm, CA = 6cm,则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于 cm17 / 26P第28题图27. （8分）如图，在 ABC中，AB=AC , P为BC上

30、任意一点，请说明：AB2 AP2=PBX PC2 2 228、如图，已知： C 90 , AM CM , MP AB于 P.求证：BP AP BC .29. （本题满分6分）如图，一个牧童在小河的南 4km的A处牧马，而他正位于他的小屋 B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水， 然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?小河A +牧童|IB小屋口30. （本题满分6分）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.（' 2.6m4m一-31. 在一棵

31、树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另 一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这 棵树高多少米？32. 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面， 已知红莲移动的水平距离为 2米，求这里的水深是多少米？33. 长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升咼了m.34. 已知：如图， ABC中，/ C = 90°, D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE丄 DF .求证：AE2+ BF2 =

32、 EF2.35.已知：如图，在正方形dBABCD中，F为DC的中点,E为CB的四等分点且1CBCE= 4，求证：AF丄FE.36. 已知 ABC中，a2 + b2+ c2= 10a+ 24b+ 26c 338,试判定 ABC的形状，并说明你的理由.37. 已知a、b、c是厶ABC的三边，且a2c2 b2c2= a4 b4,试判断三角形的形状.38. 如图，长方体的底面边长分别为 1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点 A开始经过 四个侧面缠绕一圈到达点 B,那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过四个侧面缠绕n 圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？19 / 2639、a、b为任意

33、正数，且a>b,求证：边长为2ab、a2 b2、a2+b2的三角形是直角三角形40.三角形的三边长为(a b)22ab，则这个三角形是()(A)等边三角形(B) 钝角三角形(C)直角三角形(D)锐角三角形.41.( 12分)如图，某沿海开放城市 向100km的B处有一台风中心，沿A接到台风警报，在该市正南方BC方向以20km/h的速度向D移C动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?42. (14分) ABC中，BC a，A

34、C b，AB c，若/ C=90，如图(1)，根据勾股定理，则a2 b22 2 2c，若 ABC不是直角三角形，如图(2)和图(3)，请你类比勾股定理，试猜想a b与c2的关系，并证明你的结论.解：若 ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2若厶ABC是钝角三角形，/C为钝角，则有X+bc2当厶ABC是锐角三角形时， 证明：过点A作AD丄CB， 根据勾股定理得b2 x2 =垂足为D。设CD为x，则有DB=a 2 2c2 (a X)2即b2 x2= c2a2 + 2axx 2二 a2 + b2= c? + 2axI a>0，x>02ax>0a2+b2>c2 当厶AB

35、C 是钝角三角形时,43. (10分)如图，A市气象站测得台风中心在 A市正东方向300千米的B处，以10 7千米/ 时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200?千米范围内是受台风影响的区域.(1) A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；(2) 如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？44、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子20 / 26D. 7em< h< 16emC nt A又（已知），在中，根据勾股定理有.丽=狀-G丽-+ AP2 .SM7-CM2 =妤.加=时十炉露在杯子外面的

36、长度为hem,则h的取值范围是（）.A . h< 17emB . h>8emC. 15em< h< 16em 45如图，已知：厂，丄工二-y，严匸于PB思路点拨：图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形因此，我们考虑 构造一个以BP为一边的直角三角形所以连结BM.这样，实际上就得到了 4个直角三角形.那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系 解析：连结BM，根据勾股定理，在中,血二 AM2- AP2而在4一中，则根据勾股定理有46【变式 2】已知：如图，/ B= / D=90°，Z A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形

37、 ABCD 的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简 单解析：延长AD、BC交于E。.AE=2AB=8 , CE=2CD=4,vZ A= / 60°,/ B=90°,./ E=30°.BE2=AE2-AB2=82-42=48, BE=；二'。v DE2= CE2-CD2=42-22=12,. DE=、 二1 1S四边形ABCD =S ABE-Sa cde = 二 AB -BE CD DE=47【变式】一辆装满货物的卡车，其

38、外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH 如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD ±AB, 解：OC = 1米（大门宽度一半）,=0.8米 （卡车宽度一半）Rt OCD中，由勾股定理得：= -防0护=0 .6 米，H=0 .6 + 2 .3 = 2 .9（米）2 . 5（米）.此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.OD在CDC因48、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN= 30°,点A处有一所中学，AP= 160m。

39、假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN上沿PN方向行 驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A，实质上是看A到公路的距离是否小于 100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段 AB并计算其长度。（2）要求 出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行 至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作AB丄MN，垂足为B。在 Rt ABP 中，/ ABP = 90&

40、#176;,/ APB = 30°, AP = 160，丄 AB = - AP= 80。（在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）点A到直线MN的距离小于100m,.这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC = 100（m）,由勾股定理得：BC2= 1002-802= 3600,. BC = 60。DX同理，拖拉机行驶到点 D处学校开始脱离影响，那么，AD = 100（m）, BD = 60（m）, CD = 120（m）o拖拉机行驶的速度为 ：18km/h= 5m/st = 120m 宁 5m/s=

41、 24s。答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为 24秒。（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直 角三角形问题来解决.49、如图所示， ABC是等腰直角三角形，AB=AC , D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、 AC边上的点，且 DE丄DF，若BE=12, CF=5.求线段EF的长。路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化， 根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD .解：连接AD .因为/ BAC=90 °

42、;，AB=AC . 又因为AD ABC的中线， 所以 AD=DC=DB . AD 丄 BC .且/ BAD= / C=45°.因为/ EDA+ / ADF=90°. 又因为/ CDF+ / ADF=90 ° .所以/ EDA= / CDF.所以 AEDCFD (ASA).所以 AE=FC=5.同理：AF=BE=12 .在RtAAEF中，根据勾股定理得：丄八-，所以 EF=13o总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解:当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。50如图，在等腰厶ABC中，/ ACB=90 °，D、E为斜边AB上的点，且/ DCE=45°。求证：DE2=A