18-19第2章21212向量的加法

1、2.1.2向量的加法学习目标：1.掌握向量加法的运算，并理解其几何意义.(难点)2.理解向量加法的三角形法则、平行四边形法则、多边形法则的适用范围，并能应用向量加法的运算律进行相关运算.(重点)自主预习探新知向量的加法法则三角形法则，一_.TT，一T，一已知向量a,b,在平面上任取一点A,作AB=a,BC=b,再作向量AC,则向量T一.、一，一、一，一TTTAC叫做a与b的和(或和向量)，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC.图2-1-12上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则.对丁零向量与任一向量a的和有a+0=0+a=a.平行四边形法则.一TTT已知两个不共线向量a,b,作

2、AB=a,AD=b,则A,B,D二点不共线，以AB,->->AD为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量AC=a±b.这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.图2-1-13多边形法则已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量口H做这n个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.1. 向量加法的运算律交换律结合律a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)思考：任意两个非零向量相加，是否都可以用向量的平行四边形法则进行?提示不一定.当两向量共线时不能用平行四边形法则，只能用三角形法则.基础自测(1) 判断（正确

3、的打“r”，错误的打“X”）a+0=a.()a+b=b+a.()AB+BA=2AB.()一一.TT解析根据运算律知，(1)、显然正确，对于(3),网为AB+BA=0.故(3)错误.答案(1)VV(3)x.T_一队一一在zABC中，AB=a,BC=b,WJa+b等于()A.CAB.BCC.ABD.ACTTTTTD.AB=a,BC=b,二a+b=AB+BC=AC.一一一.TTTTTT如图2-1-14所小，AB+BC+CD+DE+EF+FA等于()【导学号：79402049】图2-1-14A.0B.0C.2ADD.-2ADB由向量求和的多边形法则可知结果为0,故选B.1. .一、._.T，一对于任意

4、一个四边形ABCD,下列式子不能化简为BC的是.(1) BA+AD+DC;(2)BD+DA+AC;T.=点(3)AB+BD+DC;(4)DC+BA+AD.解析在(1)中BA+AD+DC=BD+DC=BC;在中BD+DA+AC=BA+AC=BC;在中AB+BD+DC=AD+DC=AC;在中DC+BA+AD=DC+BD=TTTBD+DC=BC.答案合作探究攻重难向量加法运算法则的应用，例康(1)化简AE+EB+BC等丁()一一A.ABB.AC一一C.CED.BE(2) 如图2-1-15所示，a+d=,c+b=.图2-1-15(3) .T若正万形ABCD的边长为1,AB=a,AD=b,AC=c.试作

5、出向量a+b+c,并求出其模的大小.思路探究利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则求和及作图.解析(1)由向量加法的三角形法则可得：TTTTTT，AE+EB+BC=AB+BC=AC.故选B.由向量求和的三角形法则可知a+d=DA,c+b=CB.答案(1)B(2)DACB一.一一.TTT(3)根据平行四边形法则可知，a+b=AB+AD=AC.，.一一.一，TT一.TT根据三角形法则，延长AC,在AC的延长线上作CE=AC,则a+b+c=AC+AC=AC+CE=AE（如图所小）.所以|a+b+c|=届|=2寸12+12=2由.1. 规律方法向量求和的注意点：(1) 三角形法则对丁两个向量共线时也

6、适用.(2) 两个向量的和向量仍是一个向量.(3) 平行四边形法则对丁两个向量共线时不适用.2. 利用向量的两种加法法则作图的方法：法则作法三角把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示(其中后面向量的始形法点与其前面向量的终点重合即用同一个字母来表示)由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和平行四边形法则 把两个已知向量的始点平移到同一点 以这两个已知向量为邻边作平行四边形 对角线上以两向量公共始点为始点的向量就是这两个已知向量的和跟踪训练1.如图2-1-16所示，设。为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量:(1) OA+OC;BC+FE.图2-1-16解(1)由

7、题图可知，四边形OABC为平行四边形,由向量加法的平行四边形法则,得OA+OC=OB.由题图可知，BC=FE=OD=AO,BC+FE=AO+OD=AD.卜例向量加法运算律的应用(1)下列等式不正确的是()a+(b+c)=(a+c)+b;AB+BA=0;Ac=院+Al+BD.A.B.C.D.(2)设A,B,C,D是平面上任意四点，试化简：AB+CD+BC;DB+AC+BD+CA.思路探究可利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法则求和.解析(1)由向量的加法满足结合律知正确；因为AB+BA=0,故不正确;DC+AB+BD=AB+BD+DC=AC成立，故正确.答案BTOTOTO

8、T(2)AB+CD+BC=(AB+BC)+CD=AC+CD=AD.不DB+AC+BD+CA=(DB+BD)+(AC+CA)=0+0=0.规律方法向量加法运算律的意义和应用原则:(1) 意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由丁向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.(2) 应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.2. 跟踪训练化简：(1)(MA+BN)+(AC+CB)；TT(2)AB+(BD+CA)+DC.【导学号：79402

9、050】解(1)(MA+BN)+(AC+CB)一一一一一一一=(MA+AC)+(CB+BN)=MC+CN=MN.一一一一(2)AB+(BD+CA)+DC二-=AB+BD+DC+CA=0.向量加法的实际应用例以在宵海玉树大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60。方向飞行了40km到B地，再由B地沿正北方向飞行40km到达C地，求此时直升飞机第5页与A地的相对位置.思路探究解本题首先要正确地画出方位图，再根据图形借助丁向量求解.解如图所示，设AB、BC分别是直升飞机两次位移，则AC表示两次位移的合位移，即AC=AB+BC.在RtAABD中，|dB|=20km,|aD|=20女km,在RtAAC

10、D中,|AC|=N|AD|2+|DC|2=400(km),ZCAD=60°,即此时直升飞机位丁A地北偏东30°,且距离A地40/3km处.规律方法向量应用题首先要正确画出图形，用向量表示实际量，然后进行向量运算，回扣实际问题，作出解答.3. 跟踪训练为了调运急需物资，如图2-1-17所示，一艘船从江南岸A点出发，以13km/h的速度向垂直丁对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5km/h.图2-1-17(1) 试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；求船实际航行的速度的大小与方向.(用与江水的速度方向问的火角表示)TT.解(1)如图所小，AD表小船速，AB表小水速.

11、Dc易知AD±AB,以AD,AB为邻边作矩形ABCD,贝UaC表示舟吕实/际航行的速度./(2)在RtABC中，|AB|=5,|BC|=5寸3,所以|AC|=W|AB|+|BC|=52+(5/3f=V100=10.因为tanZCAB=LJ3,所以ZCAB=60.|AB|因此，船实际航行的速度大小为10km/h,方向与江水的速度方向间的火角为600.向量加法的多边形法则1. ，,，.TTT一、.、一在ABC中，若AB=a,BC=b,CA=c,那么a+b+c=0一定成立吗？，一.TTT提小一定成立，因为在ABC中，由向量加法的三角形法则AB+BC=AC,一一.TTT一.所以AB+BC+C

12、A=0,那么a+b+c=0.2. 如果任意三个向量a,b,c满足条件a+b+c=0,那么表示它们的有向线段是否一定构成三角形？提示若任意三个向量a,b,c满足a+b+c=0,则表示它们的有向线段不一定构成三角形，因为当这三个向量为共线向量时，同样有可能满足a+b+c=0,此时，表示它们的有向线段肯定不能构成三角形，所以任意三个向量a,b,c满足a+b+c=0时，表示它们的有向线段不一定构成三角形.设Ai,A2,A3,，An(nN,且n>3)是平面内的点，则一般情况下，AiAn=AlA2+A2A3+A3A4+An-lAn.当Al与An重合时，AlA2+A2A3+A3A4+JAn-lAn满足

13、什么关系？”1一，,一xTT提小当Al与An重合时，有A1A2+A2A3+A3A4+-+An-lAn=0.例H如图2-1-18,正六边形ABCDEF中，BA+cD+EF=()A.0B.BE一C.AD一D.CF图2-1-18思路探究用向量加法的运算律，将BA+CD+EF变形为CD+DE+EF就可以利用向量加法的多边形法则求和向量.-一.TT一解析因为ABCDEF是正六边形，所以BA/DE,BA=DE,所以BA=DE,所一一一一一一一一一一以BA+CD+EF=DE+CD+EF=CD+DE+EF=CF.答案D规律方法三个关键：一是搞活构成平面图形的向量问的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是

14、能根据多边形法则作出向量的和向量.跟踪训练如图2-1-19,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式：(1) DG+EA+CB;(2) TEG+CG+DA+EB.图2-1-19解(1)DG+EA+CB=GC+BE+CB=GC+CB+BE=GB+BE=GE.(2)EG+CG+DA+EB=EG+GD+DA+AE=ED+DA+AE=EA+AE=0.当堂达标固双基.下列各式不一定成立的是()A.a+b=b+aB.0+a=aC.AC+CB=ABD.|a+b|=|a|+|b|D显然|a+b=|a|+|b|不一定成立.化简OP+PQ+PS+SP的结果等丁()【导学号：79402051】B.OQA.QPC.SPD.SQ(1) TTTTTTBOP+PQ+PS+SP=OQ+0=OQ.下列命题中正确的个数为()如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么(a+b)/a；(2) ，一，一.一，.、.T在平行四边形ABCD中，必有BC=AD;一TT一.，-_.一，_一，若BC=AD,WJA,B,C,D为平行四边形的四个顶点；若a,b均为非零向量，WJ|a+b|<|a|+|b|.A.0B.1C.2D.3.，一，.一.一，一一一TTD(1)正确；(2)在平行四边形ABCD中，BC/AD,且BC=AD,所以BC=AD,正确；（3）A,B,C,D可能共线，所以错误；（4