14度量空间的列紧性与紧性

1、在微积分中，于一个重要的事实:成立.-致连续等，这些性质的成立基事实在度量空间中却未必例1.4.1设XL2,f|(L)|f(x)|2dx，对于f,g1.4度虽空间的列紧性与紧性1.4.1度虽空间的紧性Compactness闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、R的紧性，即有界数列必有收敛子列.但这12od(f,g)(|f(x)g(x)|dx)，令fn(x)sinnx,证明由于那么fn(X)是有界的发散点列.1d(fn,0)(|fn(x)0|2dx产1(sinnx)2dx产1cos2nxdx22dx12dx2cos2nx所以fn(x)为有界点列.对于任意的n,m1d(fn,fm)(|sinnxs

2、inmx|dx)2m2cos2nnm-xsinx2122dx(1因此fn(x)不是基本列，定义1.4.1列紧集、设X是度量空间，1cos(nm)xcos(nm)xdx212cos(nm)x)(1cos(nm)x)dx当然不是收敛列.口紧集与紧空间Sequentiallycompactset,Compactset,CompactspaceAX.(1) 如果A中任何点列都有收敛于X的子列，则称A为列紧集(或致密集、或相对紧集)；(2) 如果A是列紧集，也是闭集，则称A为紧集；(3) 如果X本身是列紧集(必是闭集)，则称X为紧空间.注1:若A是X的列紧集，XnA且xnx°(n)，那么xA?

3、若A是X的紧集，xoA?.定理1.4.1设(X,d)是度量空间，下列各命题成立:(1) X的任何有限集必是紧集;(2) 列紧集的子集是列紧集；(3)列紧集必是有界集，反之不真.证明(1)、(2)易证.下面仅证(3).假设AX是列紧集，但A无界.取xA固定，贝U存在X2A,使得d(Xi,X2)1.对于X,X2,必存在X3A,使得d(x,X3)1、d(X2,X3)1.由于A是无界集，可依此类推得到X的点列Xn满足：只要ij,就有d(X,Xj)1.显然点列Xn无收敛子列，从而A不是列紧集导致矛盾，故A是有界集.反过来，A是有界集，A未必列紧.反例：空间XL2,上的闭球B0(0,J)有界，而不是列紧集

4、(见例1.1).口注2:R中的开区间(0,1)是列紧集，却不是紧集.(由于R中的有界数列必有收敛子列，所以(0,1)中的数列必有收敛子列，但(0,1)不是闭集，故列紧不紧.)注3:自然数N=1,2,L,n,L不是列紧集.(N无界)推论141(1)紧空间是有界空间；(2)紧空间是完备空间.证明(1)若X为紧空间，那么X本身为列紧集，而列紧集有界，故X为有界空间.(2)若X为紧空间，即它的任何点列有收敛子列，从而知X中的基本列有收敛子列，根据基本列的性质(若基本列含有收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到子列的极限)，可得X中的基本列收敛，因此X为完备的空间.口关于n维殴氏空间Rn中的列紧集、紧集的特

5、性有如下定理.定理142设aRn,Rn是n维殴氏空间，那么(1) A是列紧集当且仅当A是有界集；(2) A是紧集当且仅当A是有界闭集.证明(1)必要性显然成立；利用闭球套定理可以证明：如果A是有界的无限集，则A具有极限点，从而可证充分性.(2)由(1)易得.口注4:由于R中的非空紧集A就是有界闭集，定义A上的连续函数具有最大与最小值，这一事实在度量(距离)空间中依然成立.首先说明连续映射将紧集映射为紧集.引理1.4.1设f是从度量空间(X,d)到(Y,)上的连续映射(称为算子)，A是X中的紧集，那么f(A)是丫中的紧集.证明设Ef(A),首先证明E是丫中的列紧集.ynE,XnA,使得ynf(X

6、n),n1,2,L.由于A是紧集，所以点列Xn存在收敛的子列Xnk，且XnkX0A,又知f是X上的连续映射，于是Jimynklimf(x)f(x°)E.kk即yn有收敛于E的子列ynk，因此E为丫中的列紧集.再证E是闭集.设ynE,yny°(n)，根据A的紧性和连续映射f可得，对应的点列(ynf(Xn)存在收敛的子列Xnk,X»X0A.从而y。nimynkimynkkimf(Xnk)f(X0)E，即E是闭集.定理1.4.3最值定理设A是度量空间X中的紧集，f是定义在X上的实值连续函数(泛函)，即f:XR，那么f在A上取得最大值与最小值.证明设Ef(A)，由上述引理

7、知E是R中的紧集.所以E是R中的有界集，于是上、下确界存在，设Msupf(x)|xA,minf(f(x)|xA-下证M是f在A上取得的最大值，同理可证m是f在A上取得的最小值.由确界性的定义知,fg)-f(xJn1M-，即可得Mn再由A为紧集知存在MJM,使得Xn.x*nkA(k),于是1.1Mf(xnk)MMnknk令k，有f(x)M,因此M是f在A上取得的最大值.口1.4.2度虽空间中的全有界性刻画列紧性的重要概念之一是全有界性，通过以下的讨论可知：(1)度量空间中的列紧集必是全有界集；(2)在完备度量空间中，列紧集和全有界集二者等价.定义1.4.2网设X是度量空间，A,BX,给定0.如果

8、对于A中任何点x,必存在B中点x',使得d(x,x')，则称B是A的一个网.即AUO(x，)xB(X,d)A.一1BA*.，一(x,d)UUM入WAgC图4.1B是A的一个网示意图例如：全体整数集是全体有理数的0.6网；平面上坐标为整数的点集是R2的0.8网.21012R0.6(wwwwwwwiWwwwWwMWWwwwwwfWwwWwwMWwwwwww)21,0'1,2R图4.2整数集Z是全体有理数Q的0.6网示意图定义1.4.3全有界集设X是度量空间，AX，如果对于任给的0,A总存在有限的网，则称A是X中的全有界集.注5:根据定义可知A是X中的全有界集等价于0,x,X

9、2,L,而X,使得nAUO(x,)，其中O(x,)表示以x中心，以为半径的开邻域.1引理1.4.2A是度量空间X的全有界集当且仅当0,X1,X2,L,XnA,使得nAU°(X,)-1证明当A是全有界集时，0，X1,X2,L,XnX,使得nA*°(*成.不妨设1in有O(xi,-)IA,选取yiO(Xi,)IA2,显然乂心上，ynY以及O(*,"O(y,),因此AnnUO(x-)UO(y,)12i1注6:在Rn中，不难证明全有界集与有界集等价，那么在一般的度量空间中这样的结论成立吗？还是只在完备的度量空间中成立？下面给出有界集和全有界集的关系.定理1.4.4全有界集

10、的特性设X是度量空间，AX,若A是全有界集，则(1)A是有界集；(2)A是可分集.证明(1)设A是全有界集，取1,由定义知，nN及Xi,X2,L,而X,使得nAUO(X,1)-1现令M1maxd(X1,X),则易知AO(X1,M),可见A是有界集.(2)设A是全有界集，下证A有可列的稠密子集.1，一、，一、，一、由引理1.4.2知对于nn(n1,2,L)，存在Bnx(n),x2n),L,xk：)AknAU°(X,)，下面证明UBn是A的稠笞子集.1nXn0Bn0UBn，111一0,存在n°N,使得一，由于Bn°是A的一网，故n°n。使d(X,Xn

11、6;)-,从而，Xn°O(X,)，即UBn在A中稠密，显然UBn是可列集,分.口,定是全有界集.注7:由上述定理知全有界集一定是有界集，然而有界集却不例如全体实数对应的离散度量空间(R,d0)中的子集N=1,2,3,L是有界集，却不是全有界集.定理1.4.5全有界的充要条件设X是度量空间，AX,则A是全有界集当且仅当A中的任何点列必有基本子列.证明(1)充分性：反证法.若A不是全有界集，则存在°0,A没有有限的°网,取xA,再取x2A,使d(x1,x2)o,(这样的x2存在，否则x1为A的0网).再取x3A,使dUx)o,dUx)o(这样的x3存在，否则xx为A的

12、°网).以此类推，可得xnA,而%没有基本子列，产生矛盾，故A是全有界集.一1(2)必要，性：设、是A的任一点列，取k-,k1,2,L，因为A是全有界集，故A存在有限k网，记为Bk.以有限集Bi的各点为中心，以-为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了A,从而覆盖了Q,于是至少有一个开球(记为S)中含有天的一个子列xk-)Si.同样以有限集3的各点为中心，以2为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了xk,于是至少有一个开球(记为S2)中含有xk的一个子列xk2)S.依次可得一系列点列：xk1):x；1),x21),x31),L,xk-),L.xk2):x1(2),x22),x32),L,xk

13、2),L.L,L,L,L.x():x；i),x2i),x3i),L,x(),L.且每一个点列是前一个点列的子列，取对角线元素作为3的子列，即xkk)x1,x22),x33),L,xkk),L是xn的子列.下证以)是基本列.1.一0,取K,使得K-2,那么当k,pK时，不妨设pk,则有xpp)Sk，记开球玖的中心为x；,那么有(p)(k)(p)*(k)、d(xp,x；)d(xp,xQ+d(xk,xk)kk2k,故xkk)是xn的基本子列.口推论1.4.2豪斯道夫(Hausdorff)定理设X是度量空间，AX.(1) 若A是列紧集，则A是全有界集；(2) 若X是完备的度量空间，则A是列紧集当且仅当

14、A是全有界集.证明(1)因为列紧集中的任何点列都有收敛子列，故它必是基本子列，由上述定理1.4.5知A是全有界集；(2)必要性：由(1)知，度量空间中的列紧集一定是全有界集.充分性：对A，因为A是全有界集，所以xn含有基本子列榄，又知X完备，于是xnk在X中收敛，可见A的任何点列都有收敛X的子列，即A是列紧集.口注9:对于一般的度量空间：列紧集是全有界集；全有界集是有界集，有界集却不一定是全有界集，全有界集却不一定是列紧集.例如：让X表示0,1上的有理数全体，在欧氏距离定义下，由于lim-(1-)n-，所以Xn3n3不是完备的度量空间、X不是列紧集.由于0,存在正整数n,使得1,那么n12n1

15、-,0,L,1是X的网，所以X是全有界.nnn综上所述，紧集、列紧集、全有界集及有界集、可分集有如下的关系：有界集紧集列紧集全有界集可分集紧集列紧集-全有界集闭兀备定理1.4.6Ca,b中点集列紧的的充要条件设ACa,b,则A是列紧集的充要条件为以下两条成立.(1) A一致有界：M0,xA,对任何ta,b有x(t)|M成立；A等度连续：0,0(与t及x无关)，当t1,t2a,b及t1t时，xA有x(t1)x(t2).注意区别等度连续与映射的一致连续两个概念.推论1.4.3阿尔采拉(Arzela)引理设FfifiCa,b,iI是Ca,b的一致有界且等度连续的函数族，则从F中必可选出在Ca,b上一

16、致连续的子序列fn(t).定理147设alp(p1),则A是列紧集的充要条件为以下两条成立.1A一致有界：M0,x(x1,x2,L,xk,L)A,有(为VM；k11A等度连续：0,N,x(x,x2,L,为,L)A,有(xkp)pkN1例142设(X,d。)为离散的度量空间，AX,证明：A是紧集的充要条件为A是有限点集.(2-18)证明(1)充分性：设A是有限点集，贝UA必为闭集，又无点列，故为紧集.(2)必要，性：反证法.假设A为无限点集，贝U必有可列子集AA,且A种元素各不相同，不妨设为Ax,x2,L,x.,Lxn，当mn时，根据离散度量空间中距离的定义知d°(xm,xn)1,从而xn无收敛子列，这与A的紧性矛盾，故A必为有限集口例1