共边定理典型题解析

1、APB面积：AQB面积=PM： QM共边定理图：四种位置关系11如图， ABC中，D、E分别是AB AC边上的中点，用面积方法证明：DE/ BC且DE= BC.2证明： D E分别是AB AC边上的中点， ADE： BDE= ADE： CDE= 1 : 1 BDE= CDE DE/ BC / DBC=Z ADE 由共角定理得： ADE/A ABC= ADDE/AB BC= 1/411/ A» AB DE= BC.22这里，证明平行用到了平行的基本命题，证明线段的比值用到了共角定理.同时要作辅助线构成全等、相传统证法中，要用到全等三角形、平行四边形或相似三角形,似、或平行四边形.例2：

2、 （1983年美国中学数学竞赛题）如图的三角形ABC勺面积为10,D E、F分别在边BC CA A吐，且BD- 2, DC= 3,若厶BCE与四边形DCEF 的面积相等，则这个面积是（）A.4C.5D.6D 5.10B.解：由厶BC与四边形DCEF勺面积相等，在四边形BCE中分别减去这两个 面积，得 BFD与 BFE同底且面积相等，所以 BF/ DE,可以得到AB为边 的两个三角形 ABD与 ABE面积相等，因为三角形 ABC勺面积为10,且 BD- 2, DC= 3,所以 ABD勺面积等于4，即 ABET积等于4，所以 BCE 的面积等于10 4= 6，故选C.这是一道由面积相等推知两线平行

3、的典型题目.例3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.证明：/ OA= OC OB= OD 由共角定理得： AOBM CO= OAOB= OCOD=1E.不确定即厶AOB= COD 共底的两个三角形 ACB= CBD - AD/ BC;同理可证AB/ CD问：共边定理怎么证线段相等?答：常常是共边与共角两个定理都会用到。利用面积相等，并且面积比中有相等的线段，消去等量，于是剩下的也是等量之比。例4:（等腰三角形两腰上的高相等 ）已知：如图，AB= AC, CEL AB于E, BD丄AC于D,求证：BD= CE11解：由三角形面积定理得：Ssbc= ABCE - ACBD22/ AB= AC,

4、BD= CE ;例5：如图，已知AD平分/ BAC BDL ADDE/ AC, DE 交 AB于 F 点本题是直接用等底三角形面积相等推出高相等，相比于全等三角形证法要简洁得多。求证：BE= EC.证明：连接C、F,由平行线性质，得 DFC=DFA由 AD平分 / BAC DF/ AC,可得 / FAD= / FDA - AF= FD由 BDL AD 得/ FBD= Z FDB BF= DF; AF= BF DFB= DFA DFC= DFB - BE： EC= DFC： DFB= 1 : 1,即卩 BE= EC.本题是用共边三角形面积相等推出线段相等。例 6：如图， ABC中，AB= AC,

5、 BD= CE 求证：DF= EF.证明：连接CD BE, v AB= AC Z DBC与 Z BCE互补，由共角三角形定理: DBC BCE= BDBC： CEBC/ AB= AC, BD= CE,得厶 DBC= BCE 再由共边定理得： DBC： BCB DF： FE= 1 : 1 DF= EF.本题先用共角三角形定理证得 DBC与 BCE面积相等，再由共边定 理推出线段相等。相比于先作平行线构造全等三角形，再由全等三角形证 线段相等的证法，面积法显然更巧妙。1例7：在等腰直角三角形 ABC的斜边BC上取一点D，使DC 1 BC ,3作BE AD交AC于E，求证：AE EC .1证明：连结

6、CF,由DC -BC，得图中两个阴影三角形的面积之比为1 : 2,即： AFC：3 AFB= 1 : 2，又由BE AD，等腰直角三角形 ABC的条件，得Z 1 + Z 2=Z 3+ Z 2= 90° / 1 = Z 3,由共角定理得: AFB= 1 : 2 AF : BF= 1 : 2,由厶AFB与AEB相似，得 AE： AB= 1 : 2, / AB= AC / AE= EC本题先用CD： DB= 1 : 2得到两个阴影三角形的面积之比为1 : 2,再由共角三角形定理证得AF: BF= 1 : 2,过程相当简洁明了。问：共边定理怎么证比例线段?答：共边定理最适合用来求同一直线上的

7、两条线段的比值，或反过来，已知同一直线上的 两条线段的比值求共边三角形的面积比。由于共边定理有四种位置图形却对应同一个比值, 所以怎样选取最合适的两个三角形就成为正确解题的关键。也因为图形选择的差异，造成 了不止一种解法。只有通过一定的练习量，才能做到迅速正确地选择适当的共边三角形。例1:已知在 ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点,1求证：AF= AC.BE的连线交AC于F.解答：构造以BF为公共边的两个三角形厶ABF和厶DBF，则由两个中点的条件，得三个三角形厶ABF和厶DBF、 DCF面积都相等，由图易得AFFCABf = 1，所以 AF= - AC.CBF 23DCED4AFBEF

8、C，EF解答:构造以BE为公共边的两个三角形AFA ABE禾仃 CBE则一ABEFCCBEBDAE 1例2： ABC中, D是BC上的一点， =2，E为AD上一点， 一=-，求由图易得BAFFC3构造以AD为公共边的两个三角形 BADD FAD,贝U= BAD .由EF FADAF 1bd=,设厶 FAD= 1,则厶 FDG= 6,ADG= 7;由=2，得 BADFC 6DC一 BE BAD 14=14,=.EF FAD 1例3：（三角形角平分线性质定理）如图，AD平分/ BAC求证：证明：AD平分/ BAC由共角三角形定理: ADB： ADC= ABAD： ACAD= AB： AC 又 AD

9、B： ADG= BD： CDAB： AG= BD： DC.问：全等和相似方法在新概念几何中应当保留吗？在新概念几何中，可以由面积法先推导出正弦定理和余弦定理，再推出全等三角形判 定定理和相似三角形判定定理，实际上，新教材中可以完全不用全等和相似方法但作为 欧式几何的宝贵遗产，在许多问题中它们有明显的优势，为了让两种教材更好地兼容，各 取所长，减少新几何推广的阻力，张景中也是主张保留全等和相似方法的.例如下面这道题目，三种解法就各有利弊.1在厶ABC内任取一点P,连接PA PB PC分别交对边于 X、Y、Z点.PX丄PY丄求证：+AX YB证明：这是一道用共边定理证明的典型好题，在传统证法难以入

10、手的题中, 一个极其简单的直接应用， 只要用P点与各边分成的每一个小三角形与 大三角形相比再相加，立即得到结论!空 + PY + PZ =上匹 +Q + 卫B ! AX YB ZC ABC ABC ABCC求证：AXBZ .CY=1XBZCYA证明：AXBZCYMXZXBZCYAABXZABXZ©XZCXZAAXZ例（梅涅劳斯定理）：在 ABC勺两边取X、Y,直线XY与 BC的延长线交于Z点.2著名数学大师华罗庚在 1978年全国中学生数学竞赛题解前言中，给出了这样的一道几何题：如图，凸四边形 ABCD的两边DA CB延长后交于K,另外两边AB DC延长后交于L,对角线DB AC延长

11、后分别与KL交于F、G.FLKF KGFL GLKF dbk证明：2L = DBK （以BD为公共边的两个三角形的面积比 ）FL DBL= DBK x kbl（乘以同一个三角形 KBL,化为两组面积的比）KBL DBL=DC x#A （化为两组线段的比）CL ADdac kac=x C （化为有同一个三角形 DAC的两组面积的比）LAC DAC=（消去公共三角形，化为线段的比 ）LAC GL这道题的的难点在于没有全等，没有相似，也没有给定的比值，按照传统方法步.骤相当多，也不易理解，所以 20多年没有人给出简单巧妙的解在熟悉了共边定理以后，这一类题真的变简单了 问：怎样用面积法证面积题?答：已

12、知比例求面积的题目，传统证法往往不易找到思路，所以成了难题，往往在中小学 数学竞赛中出现其实，这类题使用共边定理是最好的方法.D4:如图，四边形 ABCD中, AOD面积=2, DOC面积=3 COB面积=6,求厶AOB面积.解法1：/ AOD面积： DOC面积=2 : 3 = AO： OO AOB面积： COB面积,/ COB面积=6 AOB面积=4解法2：/ AOD面积： DOC面积=AO： OC=AOB面积 ： COB面积， AOB面积心 DOC面积= COB面积 X AOD面积这里得到一个新的定理：四边形对角线分成的四个三角形中，相对的两个三角形面积的乘积与另一组相对的两个三角形面积的

13、乘积相等.用上这个定理，就可以跳过共边定理直接用最后一步解题了. AOB面 积=20 完=4.5 （17届希望杯全国赛初二第二试19题）：AE： EC= S aed : S cEd = 1 ： 46 ABC中，D点在BC边上，且BDDC-,P点在BC边上的高AD上,3AP 1PD 2BP 的延长线交 AC于 E,若 S ABC = 18,则 S ABE =, S DECAE： EC=ED解:Sdec = 1 : 2 : 3则 S ABE =3, S dec =6S ABE : S DBEAE： EC=_1 : 5_.7如图： ABC中，E为中点，AD： DC= 2 ： 1, EBF面积是15，

14、求 ABC的面积.解：连结CF, T E为中点且 EBF面积是15;ECF 面积= EBF 面积=15;/ AD : DC= 2 : 1 . AFB面积： FCB面积=2 : 1. AFB面积=60 , E为中点 ACF面积= AFB面积=60 ABC 的面积=15+15+60+60= 150.E& 如图所示，已知在平行四边形ABCD中, AE： EB = 1 : 2.(1 )求厶AEF与厶CDF的周长比；(2)如果SaBCD= 6平方厘米，求 Sa ADE解答： AE： EB 1 : 2 AE： AB AE : CD- 1 : 3,由 AEFA CDF 可得它们的周长11比为 1 :

15、 3 ; Saade=Saabd=Saabcd / Sabcd= 6 平方厘米 Saade= 1 平方厘米；36例11:如图所示，BD, CF将长方形ABCD分成 4块， DEF的面积是4cm2， CED的面积是 6cmf.问：四边形 ABEF的面积是多少平方厘米？解：连结BF,则厶BDF面积= CDF面积=10, BEF面积=6;设面积为X,则有: 4x= 6X6, x= 9; BDC面积=15,长方形 ABCD面积=30 四边形ABEF的面积是 15- 4= 11平方厘米DC9如图，FB AD EC互相平行， ABC的面积为1,求厶FDE的面积。解：由 AD/ EC,得厶 ADC= ADE

16、 同理 ABD- AFD,得厶ADE AFD= ABC= 1C又由 FB/。，得厶 ECB=A ECF, :. ABOF ACE= AEF+ ACE即厶 ABC= AEF= 1 FDE= AEF+ AD冉 AFD= 210如图，已知三角形 ABC面积为1,延长AB至D,使BD= AB,延长BC 至E，使CE= 2BC,延长CA至F，使AF= 3AC,求三角形 DEF的面积。解：连结 BD EC,由已知条件可得， DAB= 1 , DBE= 2, CBE= 2, FCE= 6, FCD= 6, DEF= 1+ 1 + 2 + 2+ 6 + 6= 18这题也是面积法最基本的题型 11在 ABC的三

17、边BC CA AB上分别取点 D E、F,使BD= 3DC, CE= 3AE, AF= 3FB,连AD BE、CF相交得三角形 PQR已知三角形 ABC的面 积为13cm2，求三角形PQR的面积.FBAC图1E解：由图 1 得： PQ= ABC- ( ABP BCQF CAR);观察图 2，连结 PC,由 CE= 3AE，得 APE： CPE= 1 : 3，又由 BD= 3DC # APB： APC =3 : 1设厶 APE= 1,则厶CPE= 3, APB= 12 , ABE= 13;由 CE= 3AE，得 ABE： ABC= 1:4,ABC= 52，得 APB： ABC= 12 : 52;同