垂径定理练习题汇总

1、一 选择题（共 7 小题）1. （ 2014?凉山州）已知OO 的直径 CD=10cm , AB 是OO 的弦，AB=8cm，且 AB 丄 CD，垂足为 M，则 AC 的长为（ ）A.HmB ：，MmC 昆/cm或*J 匸 cmD 一:cm 或cm2. （2014?舟山）如图，OO 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E,且 CE=2 , DE=8，贝UAB 的长为（）4.（2014?三明）如图，AB 是OO 的直径，弦 CD 丄 AB 于点 E,则下列结论正确的是（）A . OE=BERIB . BC=BDC. BOC 是等边三角形D .四边形 ODBC 是菱形5.（2014?南宁）在直径为

2、200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）IfA. 40cmB. 60cmC. 80cmD. 100cm3. （2014?毕节地区）如图，已知OO 的半径为 13,弦 AB 长为 24,则点 O 到 AB 的距离是（）A. 6B . 5C . 4D . 3优质文档相信能就一定能6.（2014?安顺）如图，MN 是半径为 1 的OO 的直径，点 A 在OO 上，/ AMN=30 点 B 为劣弧 AN 的中点.P 是直径 MN上一动点，则 PA+PB 的最小值为（）优质文档相信能就一定能A. ( 5, 4)B. (4, 5)C. (5, 3

3、)D. (3, 5)二解答题(共 7 小题)& (2014?佛山)如图，OO 的直径为 10cm，弦 AB=8cm , P 是弦 AB 上的一个动点，求 OP 的长度范围.9.(2014?盘锦三模)如图， CD 为OO 的直径，CD 丄 AB，垂足为点 F, AO 丄 BC ,垂足为 E, ；:,10.(2009?长宁区二模)如图，点 C 在OO 的弦 AB 上，CO 丄 AO，延长 CO 交OO 于 D .弦 DE 丄 AB，交 AO 于F.7.(2014?沛县模拟)如图，在平面直角坐标系中，点 与 y 轴相切于点 D，则点 A 的坐标是()A 在第一象限，OA 与 x 轴交于 B

4、( 2, 0)、C (8, 0)两点,A .二B . 1C . 2D . 2 匚(1)求AB 的长；优质文档相信能就一定能(1) 求证：OC=OF;(2) 求证：AB=DE .优质文档相信能就一定能12. （2008?长宁区二模）如图，在厶 ABC 中，AB=AC ,OO 过点 B、C,且交边 AB、AC 于点 E、F,已知/ A= / ABO , 连接 OE、OF、OB.（1）求证：四边形 AEOF 为菱形；（2）若 BO 平分/ ABC，求证：BE=BC .13.（2007?佛山）如图，OO 是厶 ABC 的外接圆，且 AB=AC=13 , BC=24，求OO 的半径.11.（2009?浦

5、东新区二模） 一根横截面为圆形的下水管道的直径为宽 AB 为 0.6 米.（1） 求此时的水深（即阴影部分的弓形高） ；（2）当水位上升到水面宽为 0.8 米时，求水面上升的高度.1 米，管内有少量的污水（如图），此时的水面O优质文档相信能就一定能14.（2007?青浦区二模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB ），点 O 是这段弧的圆心，点 C 是弧AB 上的一点，OC 丄 AB，垂足为 D，女口 AB=60m , CD=10m，求这段弯路的半径.优质文档相信能就一定能参考答案与试题解析一 选择题（共 7 小题）1. （ 2014?凉山州）已知OO 的直径 CD=10cm , A

6、B 是OO 的弦，AB=8cm，且 AB 丄 CD，垂足为 M，则 AC 的长为 （ ）_ _A. ._cmB.：fCmC. Hm 或匚！ cm D.；lcm 或 虫匕 cm解答：解：连接 AC , AO ,/OO 的直径 CD=10cm,AB 丄 CD,AB=8cm,AM=2AB=28=4cm,OD=OC=5cm,2 2当C点位置如图 1 所示时，/ OA=5cm , AM=4cm , CD 丄 AB ,.。抽=血2_肿=寸52_护=3cm,.CM=OC+OM=5+3=8cm ,.AC=JAH+C沪=( (4，+*=4屈cm；当 C 点位置如图 2 所示时，同理可得 OM=3cm ,/OC=

7、5cm ,.MC=5 - 3=2cm ,在 Rt AMC 中，AC= 仙+4 以=(4，+ 2 2=2 徒術.考点：垂径定理；勾股定理.专题：分类讨论.分析：先根据题意画出图形，由于点C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论.优质文档相信能就一定能图 1图 2点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.2. （2014?舟山）如图，OO 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E,且 CE=2 , DE=8，贝UAB 的长为（）优质文档相信能就一定能A. OE=BEB .: = iC. BOC 是等边三角形D . 四边形 ODBC 是菱形考点：垂径定理.分析：

8、根据垂径定理判断即可.解答：解：AB 丄 CD, AB 过 O, DE=CE，乔瓦,根据已知不能推出 DE=BE , BOC 是等边三角形，四边形 ODBC 是菱形. 故选：B.点评：本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力.5.（2014?南宁）在直径为 200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A. 40cmB. 60cmC. 80cmD. 100cm考点：垂径定理的应用；勾股定理.分析： 连接 OA，过点 O 作 OE 丄 AB，交 AB 于点 M ,由垂径定理求出 AM 的长，再根据勾股定理求出OM 的长,进而

9、可得出 ME 的长.解答： 解：连接 OA，过点 O 作 OE 丄 AB，交 AB 于点 M ,直径为 200cm, AB=160cm , 0A=0E=100cm , AM=80cm ,OM=（0 梓 _ 肿=J1002 _ 胪=6 伽, ME=OE - OM=100 - 60=40cm .故选：A.点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.6.（2014?安顺）如图，MN 是半径为 1 的OO 的直径，点 A 在OO 上，/ AMN=30 点 B 为劣弧 AN 的中点.P 是直径 MN上一动点，则 PA+PB 的最小值为（）BJ 160 t优质文

10、档相信能就一定能考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理.分析： 作点 B 关于 MN 的对称点 B,连接OA、OB、OB 、AB 根据轴对称确定最短路线问题可得AB 与 MN 的交点即为 PA+PB 的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2 倍求出/ AON=60 然后求出/ BON=30 再根据对称性可得/ B ON= / BON=30 然后求出/ AOB =90从而 判断出AOB是等腰直角三角形， 再根据等腰直角三角形的性质可得 AB =T2OA ,即为 PA+PB 的最小值.解答： 解：作点 B 关于 MN 的对称点 B,连接 OA、OB、OB、AB、则

11、AB 与 MN 的交点即为 PA+PB 的最小时的点，PA+PB 的最小值=AB、/ AMN=30 / AON=2/AMN=2X30=60,点 B 为劣弧 AN 的中点，/ BON=丄/ AON=丄 X50=30 2 2由对称性，/ B ON= / BON=30 / AOB = / AON+ / B ON=60 +30 90 , AOB 是等腰直角三角形， AB、=VOA=V X=V,即 PA+PB 的最小值=也.点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的 辅助线并得到 AOB 是等腰直角三角形是解题的关键.7.(2014?沛县模拟)如图，在平面直角坐

12、标系中，点A 在第一象限，OA 与 x 轴交于 B ( 2, 0)、C (8, 0)两点,与 y 轴相切于点 D，则点 A 的坐标是()2 倍的性质，作优质文档相信能就一定能考点：坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理.专题：压轴题.分析： 因为点 A 在第一象限，OA 与 x 轴交于 B (2, 0)、C (8, 0)两点，与 y 轴相切于点 D ,所以 OB=2 , OC=8 , BC=6，连接 AD，贝UAD 丄 OD，过点 A 作 AE 丄 OC 于 E，贝UODAE 是矩形，由垂径定理可知 BE=EC=3 , 所以 OE=AD=5，再连接 AB，则 AB=AD=5，利用勾股定理可求出 A

13、E=4，从而就求出了 A 的坐标.解答： 解：连接 AD , AB , AC,再过点 A 作 AE 丄 OC 于 E,贝UODAE 是矩形，点 A 在第一象限，OA 与 x 轴交于 B (2, 0)、C (8, 0)两点，与 y 轴相切于点 D , OB=2 , OC=8, BC=6 ,TOA 与 y 轴相切于点 D, AD 丄 OD ,由垂径定理可知：BE=EC=3 , OE=AD=5 , AB=AD=5 ,利用勾股定理知 AE=4 , A (5 , 4).点评： 本题需综合利用垂径定理、勾股定理来解决问题.二解答题(共 7 小题)& (2014?佛山)如图，OO 的直径为 10cm

14、 ,弦 AB=8cm , P 是弦 AB 上的一个动点，求 OP 的长度范围.考点：垂径定理；勾股定理.专题：几何图形问题.分析：过点 O 作 OE 丄 AB 于点 E ,连接 OB,由垂径定理可知 AE=BE= AB ,再根据勾股定理求出 OE 的长，由 2此可得出结论.C.(5, 3)D .(3, 5)(4, 5)优质文档相信能就一定能解答： 解：过点 O 作 OE 丄 AB 于点 E ,连接 OB,/ AB=8cm , AE=BE= AB= 8=4cm ,2 2TOO 的直径为 10cm , OB=丄 0=5cm ,2OE=焉- =3cm,T垂线段最短，半径最长,优质文档相信能就一定能点

15、评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.9.(2014?盘锦三模)如图， CD 为OO 的直径，CD 丄 AB，垂足为点 F, AO 丄 BC ,垂足为 E, T：= 二,(1) 求 AB 的长；(2) 求OO 的半径.(1)先根据 CD 为OO 的直径，CD 丄 AB 得出树= 11,故可得出/ C=ZAOD，由对顶角相等得出2ZAOD=ZCOE，故可得出ZC=2ZCOE，再根据 AO 丄 BC 可知ZAEC=90 故ZC=30 再由直角三角形2的性质可得出 BF 的长，进而得出结论；(2)在 RtAOCE 中根据ZC=30。即可得出 OC 的长.解答

16、：解：(1 ). CD 为OO 的直径，CD 丄 AB ,树 h 11, AF=BF ,C=ZAOD,2AOD=ZCOE,C=ZCOE,2/ AO 丄 BC ,ZAEC=90ZC=30/ BC=2 7, BF=BC=二， AB=2BF=2 (2)vAO 丄 BC,BC=2 二, CE=BE= BC= ；，2ZC=30OC=r=2,即0 O的半径是2.2考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质. 分析： 3cmOP5cm.相信能就一定能优质文档 点评： 本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键.10.(2009?长宁区二模)如图，点 C 在OO 的

17、弦 AB 上，CO 丄 AO，延长 CO 交OO 于 D .弦 DE 丄 AB，交 AO 于F.(1) 求证：OC=OF;(2) 求证：AB=DE .考点：垂径定理；全等三角形的判定.专题：证明题.分析： (1)、由同角的余角相等可得，/ DFO= / OCA，由 AAS 证得 ACODFO，故有 OF=OC ;(2)、证得/ DOE= / AOB，再由 SAS 得到 OABODE ? AB=DE .解答： 证明：(1 )/ D+ / DCA= / D+ / DFO=90 /DFO=/OAC.又 OD=OA，/ DOF= / AOC=90 ACODFO . OF=OC .(2)连接 OB、OE

18、,/ OE=OD , OA=OB ,/D=/E,ZA=/B./DOE=180 - 2 / D，/ AOB=180 -2 / A .由 1 知，ACODFO，有/ A= / D ./DOE=/AOB.又 OE=OD=OA=OB , OABODE . AB=DE .点评：本题利用了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等边对等角求解.优质文档相信能就一定能11.(2009?浦东新区二模)一根横截面为圆形的下水管道的直径为宽 AB 为 0.6 米.(1)求此时的水深(即阴影部分的弓形高)；(2) 当水位上升到水面宽为 0.8 米时，求水面上升的高度.1 米，管内有少量的污水(如图)，此时的水面优质

19、文档相信能就一定能考点：垂径定理的应用.分析： 作半径 0C 丄 AB，连接OA，则 CD 即为弓形高.根据垂径定理的AD= AB，然后根据已知条件求出CD2的长；当水位上升到水面宽 MN 为 0.8 米时，直线 OC 与 MN 相交于点 P,由此可得 OP=0.3,然后根据 MN 与 AB 在圆心同侧或异侧时两种情况解答.解答： 解：(1)作半径 OC 丄 AB，垂足为点 D，连接OA，贝 U CD 即为弓形高/ OCXAB,1-* AO=0.5 , AB=0.6 ,AD=1AB=1X).6=0.3,2 2OD= JAQ- AD凸寸0.护0. 3凸0.4， CD=OC - OD=0.5 -

20、0.4=0.1 米，即此时的水深为 0.1 米(2)当水位上升到水面宽MN 为 0.8 米时，直线 OC 与 MN 相交于点 P12. (2008?长宁区二模)如图，在厶 ABC 中，AB=AC ,OO 过点 B、C,且交边 AB、AC 于点 E、F,已知/ A= / ABO , 连接 OE、OF、OB.(1) 求证：四边形 AEOF 为菱形；(2) 若 BO 平分/ ABC，求证：BE=BC .同理可得 OP=0.3,当 MN 与 AB 在圆心同侧时，水面上升的高度为0.1 米;当 MN 与 AB 在圆心异侧时，水面上升的高度为0.7 米.点评：本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力.优

21、质文档相信能就一定能考点：菱形的判定；平行线的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆的认识；垂径定 理.专题：证明题.分析：(1)连接 AO 并延长 AO 交 BC 于 M 过 0 作 0Q 丄 AB 于 Q,连接 0C,根据等腰三角形的性质证出/ BAC= / ABO= / ACO，推出/ BAC= / OEB= / OFC，得出 AE / OF, AF / 0E,再 OE=OF，即可推出答 案；(2)根据角平分线定理求出 OQ=OM，根据勾股定理求出 BQ=BM，根据垂径定理即可推出结论.解答： 证明：(1)连接 AO 并延长 AO 交 BC 于 M 过 O 作 OQ

22、丄 AB 于 Q, OR 丄 AC 于 R,连接 OC ,/ OB=OC ,/OBC=/OCB,/ AB=AC ,/ABC=/ACB,/ABO=/ACO,/BAC=/ABO,/ BAC= / ABO= / ACO ,/ OE=OB , OC=OF ,/ABO= / OEB，/ ACO= / OFC,/ BAC= / OEB= / OFC , AE / OF , AF / OE ,四边形 AEOF 是平行四边形，/ OE=OF,平行四边形 AEOF 为菱形.(2)v圆 O 过 B、C, O 在 BC 的垂直平分线上，/ AB=AC , AM 丄 BC,/ BO 平分/ ABC , OQ 丄 AB , OQ=OM ,由勾股定理得：BM=BQ ,由垂径定理得：BE=BC .优质文档相信能就一定能点评：本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的判定，菱形的判定，垂径定理，圆的认识，角平分线的性质，平 行线的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是证此题的关键.13.（2007?佛山）如图，OO 是厶 ABC 的外接圆，且 AB=AC=13 , BC=24，求OO