矩阵可对角化的判定条件及推广

1、精选优质文档-倾情为你奉上 矩阵可对角化的判定条件及推广 数学与计算机科学学院 数学与应用数学（S）学号： 姓名：方守强 指导教师：梁俊平 摘要：矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化引言：矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简

2、单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作是没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式一个对角形矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。 一、矩阵可对角化的概念1 特征值、特征向量的概念 定义1 设是数域上线性空间的一个线性变换, 如果对于数域中的一个数存在一个非零向量使得,那么称为的一个特征值，而 称为的属于特征值的一个特征向量。求方阵的特征值与

3、特征向量的步骤：(1)由特征方程=0求得的个特征值，设是的互异特征值,其重数分别为则。(2)求解齐次线性方程组,其基础解系()就是所对应特征值的线性无关的特征向量。2 矩阵可对角化的概念定义2 设是矩阵上一个阶方阵，如果存在数域上的一个可逆矩阵,使得为对角形矩阵，那么就说矩阵可以对角化。任意方阵的每一个特征值都有一个与之相对应的特征向量满足，则这个方程可以写成 , （1）我们定义矩阵,则（1）式可写成,若矩阵是可逆阵，则有引理1 设、都是阶矩阵,则有秩 秩+秩 。引理2 设()为阶方阵的所有互异特征值，则矩阵的线性无关的特征向量的最大个数为。证明 设()为阶方阵的所有互异特征值，因为特征值相应

4、的线性无关的特征向量的最大个数即为线性方程组的基础解析所含向量的个数，所以特征值 相应的线性无关的特征向量的最大个数分别为，而矩阵的不同特征值的线性无关的特征向量并在一起仍然线性无关，从而,矩阵线性无关的特征向的最大个数为。引理3 设为阶方阵,是任意两两互异的数,则。 二、矩阵可对角化的充分必要条件1 矩阵可对角化的充分必要条件及其证明定理1 数域上阶方阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。证明（1）充分性 假设是矩阵的个线性无关的特征向量，即有,令矩阵由特征向量组成，因为是线性无关的，因此矩阵是非奇异矩阵，其逆矩阵记为，根据逆矩阵的定义有=，另一方面，由易知, =,给此式左乘矩阵

5、，则有=，即充分性得证。 （2）必要性 令矩阵和对角形矩阵相似，即存在可逆矩阵使得,则有,于是记=()，则可以写成=()即有,这说明矩阵的列向量是矩阵的特征向量，而已知是可逆阵，故的个列向量线性无关，必要性得证。定理2 设 ，则可以对角化的充分必要条件是：(1)的特征根都在数域内,(2)对的每个特征根,有，其中是的重数。条件(2) 也可改述为：特征根的重数等于齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数(简称为代数重数等于几何重数)。条件(2)还可改述为：令有，即属于的不同特征根的线性无关的特征向量总数是。条件(1)，(2)还可改述为:的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于。证明 设是的所有不同

6、的特征根,是齐次线性方程组的一个基础解系，则的特征向量一定线性无关。如果, 则有个线性无关的特征向量, 从而可以对角化。若可以对角化, 则属于的不同特征根的线性无关的特征向量总数一定是。若不然, 则由定理1可设的个线性无关的特征向量为,设是属于特征根的特征向量，则可由线性表出，从而可由向量组线性表出，于是，rank rank =与线性无关矛盾。定理3 设是阶复矩阵, 则与对角形矩阵相似的充分必要条件是的最小多项式无重根。证明 充分性 因无重根,由| 知,的每个不变因子都不能有重根，从而特征矩阵作为复数域上的矩阵,其初等因子全为一次式，故必与对角阵相似。必要性 因与对角阵相似,特征矩阵的初等因子

7、必均为一次式,故最后一个不变因子也只能是不同的一次因式之积，这就证明了最小多项式无重根。此定理3所给出的判别矩阵与对角矩阵相似的条件,形式上还可削弱,我有:定理4 设是维向量空间的一个线性变换，的矩阵可以对角化的充分必要条件是可以分解为个在之下不变的一维子空间的直和。 证明 :必要性若可以对角化，则存在的一组基使得在这组基下的矩阵为， 令,则 ，事实上：（1），则，又, ，即。（2）,，且，且, ，又，,即又线性无关=0,即=0。充分性:若可分解为个在之下不变的一维子空间的直和,即,设的基分别为则可构成的一组基。令， 在基下的矩阵为 ， 即可以对角化。定理5 设是数域上的一个阶矩阵，的特征根全

8、在内，若是的全部不同的特征根，其重数分别为，则可对角化的充要条件是秩。证明 :设可对角化，则存在可逆矩阵,使这里右边是分块对角矩阵，为阶单位阵，于是有秩=秩=秩 =秩 =秩 =秩 =。反之，若秩=，则反复用本文引理1可得： =，于是有=。从而 =，这样可对角化。 定理6 设为阶方阵,则可以对角化的充要条件为存在两两互异的使得。证明 必要性 设阶方阵可以对角化,()为的所有互异特征值,由引理2及定理1，从而有个线性无关的特征向量,即故，再由引理3得0，从而有。充分性设为阶方阵且存在两两互异的数使得，记为=。设为的特征值，则必为的特征值，从而。所以,因此矩阵的特征值的取值范围为，显然当可逆时，不是

9、的特征值；当可逆时，是的特征值。因为线性方程组的基础解系所含向量的个数即为的特征值的重数 (当可逆时, 不是的特征值,此时)。从而矩阵线性无关的特征向量的最大个数为。再由引理3，当时，所以 ，即阶方阵有个线性无关的特征向量,从而可以对角化。2 可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤 具体步骤 设，求可逆矩阵，使为对角矩阵的步骤是:(1) 求矩阵的全部特征根；(2) 如果的特征根都在数域内(否则不可对角化), 那么对每个特征根, 求出齐次线性方程组的一个基础解系；(3) 如果对每个特征根,的基础解系所含解向量个数等于的重数(否则不可对角化), 那么可对角化,以所有基础解系中的向量为列即得阶可逆阵,

10、 且是对角阵, 而对角线上的元素是的全部特征根。参 考 文 献1 张禾瑞,郝炳新.高等代数M.北京:高等教育出版社,2007.2 苏 普罗斯库烈柯夫,周晓钟译.线性代数习题集M.北京:人民教育出版社,1981.3 张枚.高等代数习题选编M.浙江:浙江科学技术出版社,1981.4 秦松喜.高等代数新编M.厦门:厦门大学出版社,2005.5 杨子胥.高等代数习题解M.山东:山东科学技术出版社,2001.6 张贤达.矩阵分析与应用M.北京:清华大学出版社，2004.7 张建航，李宗成.方阵的伴随矩阵性质探讨J.高师理科学刊,2007，01：11-14.8 王志武.方阵可对角化的一个充要条件J.山东农

11、业大学学报,2008，04：3-5.Matrix diagonalization of decision condition and promotionFang Shou-qiang Advisor:Liang Jun-pingMajor in Pure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science 【Abstract】 Whether can matrix diagonalization, are the property of matrix a is very important. Sufficient and necessary conditions of similarity diagonalization of understanding, has always been a difficult problem in linear algebra. The diagonalization of matrix are giv