第三章复变函数的积分

1、精选优质文档-倾情为你奉上第10讲复变函数的积分第三章 复变函数的积分p69 §3.1复变函数积分的概念教学目的：1、理解关于复积分的定义；2、掌握复积分的计算方法、熟悉复积分的基本性质；3、注意复积分中值定理与实积分定理的区别；教学重点：复积分的计算方法、熟悉复积分的基本性质；教学难点：复积分中值定理与实积分定理的区别；教学方法：启发式；教学手段：讲解与板书相结合教材分析：复积分是研究解析函数的一个重要工具。但复积分仍是作为一种和的极限来定义的，它的许多性质与实积分既有相同的地方也有不同的地方，因此，学习时需要加以注意。 §3.1 复变函数积分的概念1. 有向曲线2. 积

2、分的定义 3. 积分存在的条件及其计算法4. 积分性质1. 有向曲线：，DBA(起点)B(终点)C C C2. 积分的定义：； ，说明 3. 3积分存在的条件及其计算法定理 （4）由曲线积分的计算法得4. 积分性质 由积分定义得：例1 解又解oxyoxy Aoxy rC例2 解 例3 解 例4解 作业p99,1,2,第11讲§3.2 Cauchy-Goursat基本定理教学目的：1、掌握柯西积分定理以及其等价形式；2、理解柯西积分定理的推广形式；教学重点：柯西积分定理以及其等价形式；教学难点：柯西积分定理以及其等价形式；教材分析：复积分是研究解析函数的一个重要工具。但柯西积分定理是整

3、个复变函数论的基础。 一、分析 §1的积分例子:，由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的积分值0的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关。先将条件加强些，作初步的探讨二、Cauchy定理 Cauchy 定理，Cauchy-Goursat基本定理：也称Cauchy定理CCBC Cc1c2BL1L2L3GH(3)定理中曲线不必是简单的！如图。推论 设在单连通区域内解析，则对任意两点, , 积分不依赖于连接起点与终点的曲线，即积分与路径无关。§3.3 基本定理推广复合闭路定理复合闭路定理：证明： 说明：， 此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变

4、形而改变它的积分值，只要在变形过程中曲线不经过的f(z)的不解析点.闭路变形原理例：解： 练习 解： 作业P99 ，4，5,7(1)(2) 第12讲 §3.4原函数与不定积分p80教学目的：理解原函数与不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的性质和计算，充分掌握柯西积分公式以及其解析函数的平均值定理；教学重点、难点：柯西积分公式；教材分析：柯西积分公式是解析函数的积分表达式，可以帮助我们详细地去研究解析函数的局部性质。 1. 原函数与不定积分的概念由§2基本定理的推论知：设在单连通区域内解析，则对中任意曲线C, 积分与路径无关，只与起点和终点有关。当起点固定在, 终点z在内变

5、动, 在内就定义了一个变上限的单值函数，记作 定理 设在单连通区域内解析，则F(z)在内解析，且定义 若函数j (z) 在区域内的导数等于 ，即,称j (z)为在内的原函数. 上面定理表明是的一个原函数。设是的任何两个原函数，(见第二章§2例3)这表明：的任何两个原函数相差一个常数。定义 设F(z)是的一个原函数，称F(z)+c(c为任意常数)为的不定积分，记作定理 设f (z)在单连通区域内解析， F(z)是f (z)的一个原函数，则A 此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式.A 但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强例1 计算积分：解1)例2 解例3 计算下列积分：，小结

6、求积分的方法 §3.5 Cauchy积分公式p84内 容 简 介 利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法.分析 ， DCz0C1 DCz0C1 猜想积分，定理(Cauchy 积分公式)证明： 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.例1 解 例2解 例3解作业P99 ,7，3)-10),8,9第13讲 §6 解析函数的高阶导数教学目的：了解柯西高阶导数公式；切实掌握解析

7、函数的无穷可微性；教学重点、难点：柯西高阶导数公式；教材分析：柯西积分公式是解析函数的积分表达式，可以帮助我们详细地去研究解析函数的局部性质。内容简介 本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这一点与实变函数有本质区别。一、高阶导数公式形式上， 、 以下将对这些公式的正确性加以证明。定理：）证明 用数学归纳法和导数定义。，依次类推，用数学归纳法可得：一个解析函数的导数仍为解析函数。二、高阶导数公式例题（应用）例1：解，;答： 作业P100 7(3)(5)(7)(9) 8(1)(2)

8、 9，14第14讲 §3.7 解析函数与调和函数的关系教学目的：1、理解调和函数以及共轭调和函数的的定义；2、理解解析函数与调和函数的关系；3、掌握从已知解析函数的实部或虚部求出虚部或实部的方法。教学重点难点：从已知解析函数的实部或虚部求出虚部或实部的方法，教材分析：调和函数常出现在诸如流体力学、电学等实际问题中。由于调和函数与解析函数的密切关系，自然会想到利用这种联系，由解析函数的性质去推出调和函数的性质。教学过程： §3.7 解析函数与调和函数的关系内 容 简 介 在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节利用这一

9、重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。定义 定理：证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:定义：上面定理说明：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：如 ，定理：公式不用强记！可如下推出：类似地，然后两端积分得， 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解析函数的关系。例1 解1（曲线积分法）解2（凑全微分法） = ， 解3（偏积分法） , ,解4（不定积分法） 作业P102 22-31第15讲 第三章、复变函数的积分习题课1、分别计算沿1）直线段；2）单位圆（）的左半圆；3）

10、单位圆的右半圆的积分：。2、计算积分：，L分别表示：（1）单位圆（按反时针方向从1到1）；（2）从沿直线段到。设函数当时是连续的。令表示在上的最大值，并且假定。试证明，在这里是圆。3、如果满足上题条件的函数还在内解析，那么对任何，4、计算积分：。5、设及在单连通区域内解析，证明：在这里从到的积分是沿内连接及的一条简单曲线取的。6、计算积分： （1）； （2），在这里用表示单位圆（按反时针方向从1到1取积分），而被积函数分别取为按下列各值决定的解析分支：（1）；（2）或。7、如果积分路径不经过点，那么8、证明：（1） ，为联-i到i的线段；（2） ，为右单位圆，；（3） ，为联i到i+1的线段。10、设在原点的邻域内连续，那么。11,计算积分（1）；（2）；（3）；（3）。12、证明在这里是围绕原点的一条简单闭曲线。13、设，求。14、通过计算证明。15、如果在内，解析，并且，证明。16、如果在解析，并且，那么对任何正数，在这里是圆，积分是按反时针方向取的。17、如果在简单闭曲线的外区域内及上每一点解析，并且，那么。18、设在单连通区域内解析，并且不等