立体几何的向量方法

1、精选优质文档-倾情为你奉上立体几何的向量方法引言：本节课对平面向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。其中重点介绍求平面法向量的方法，法向量的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道立体几何题将会变得更加轻松。l一、 平面的法向量 1. 定义：如果，那么向量确叫做平面的法向量。平面的法向量共有两类（从方向上分），且有无数条法向量。几点注意：（1）法向量一定是非零向量;（2）一个平面的所有法向量都互相平行;（3）向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有2. 平面法向量的求法数量积法: 在给定的空间直角坐标系中，设平

2、面的法向量，在平面内任意找两个不共线的非零向量。根据法向量的定义建立关于的方程组，由此得到关于的方程组，解方程组取其中的一个解,即得法向量。这里根据线面垂直的判定定理，通过建立的方程组求出方程组的一组特殊解即可。【例1】在空间直角坐标系中,已知,试求平面ABC的一个法向量.解:设平面的一个法向量为则.,即取,则是平面的一个法向量【练习1】已知求平面的单位法向量.解:设平面的一个法向量为则.即由得平面的单位法向量为或.【练习2】在正方体中，求证：是平面的法向量证明：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示空间坐标系则： ，因为，所以,同理  又因为所以平面,从而是平面

3、的一个法向量.二、平面法向量的应用（一） 求空间角1求线线角（即两异面直线所成的角）：分别在异面直线上取两个方向向量则异面直线所成的角()等于向量所成的角或其补角，则 （其中）特殊情形：, 即异面直线垂直于。【例2】已知解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则： 所以： 所以2求线面角： 直线与平面所成角的范围： 如图2-1，设是平面的法向量，是平面的一条斜线，则直线AB与平面所成的角可看成是向量与平面的法向量所成的锐角（如图2-1-1）或向量与平面的法向量所成的钝角的余角（如图2-1-2），从而有【例3】已知棱长为1的正方体中，是的中点，求直线与平面所成的角的正弦值。解：建立空间

4、直角坐标系，则：，设平面的法向量为令则直线与平面所成的角为则直线与平面所成的角的正弦值3求面面角（即二面角）： 方法1：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）例题略 方法2：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角例题略方法3：（法向量法）构造二面角的两个半平面的法向量（都取向上的方向，如图所示）图乙1）若二面角是“钝角型”的如图甲所示，那么其大小等于两法向量图甲的夹角的补角，即 2）若二面角是“锐角型”如图乙所示，那么其大小等于两法向量的夹角【例4】已知棱长为1的正方体ABCDA1B1

5、C1D1，求平面与平面ABCD所成的二面角的余弦值。【例5】如图，在正三棱柱中，,分别是棱,的中点，（）证明：；（）求二面角的大小；解：（）由图易知：，设是平面的一个法向量，则，令 则 ，设是平面一个法向量，则，令 则设二面角的平面角为，则（二） 求空间距离1. 求点到平面的距离: （推广到线面、面面之间的距离）方法：如图，易知：点到平面的距离而， 其中是平面的一个法向量，是平面的斜向量则点到平面的距离等于在上的射影长，即点到平面的距离为：【例6】已知棱长为1的正方体中，E，F分别是的中点，求点到平面DBEF的距离.2直线与平面间的距离:方法：如图2-6,直线与平面之间的距离：图2-7AB，其

6、中。是平面的法向量3平面与平面间的距离:方法：如图2-7,两平行平面之间的距离：，其中、。是平面、的法向量。（三）平面法向量在证明中的应用1证明线面垂直：在图2-8中，向是平面的法向量，是直线的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（）。2证明线面平行：在图2-9中,向是平面的法向量，是直线的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（）。3证明面面垂直：在图2-10中，是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（）4证明面面平行：在图2-11中, 向是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量共线（）。【例7】已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、

7、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点， 求证：平面平面。三 课堂练习1已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点（）证明：面PAD面PCD；（）求AC与PB所成的角；（）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。2. 如图3-2中，在长方体中，已知， 是的中点。()求证：；()求证：平面；()求点到平面的距离。四 用空间向量解决立体几何的“三步曲”1建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）2通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）3把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）【例8】:如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，,与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，又, ,. ()求异面直接与所成角的余弦值；()求二面角的大小；()设点在棱上，且为何值时，平面. 解： 平面 又，由平面几何知识得：以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标