中国科学大学随机过程(孙应飞)复习试题和答案

1、( 1) 设 X(t), t 0是一 个 实的 零 均 值 二 阶 矩 过 程 ， 其 相 关 函数为EX(s)X(t)B(t s), st， 且 是 一 个 周 期 为 T的 函 数，即B( T) B( ),0，求方差函数DX(t) X(t T) 。解：由定义，有：DX(t) X(t T)DX(t) DX(t T)2E X(t) EX(t) X(t T) EX(t T)B(0) B(0) 2EX(t)X (t T)B(0) B(0) 2B(T) 0( 2) 试证明：如果X(t), t 0 是一独立增量过程，且X(0) 0，那么它必是一个马尔可夫过程。证明：我们要证明：0 t1 t2 tn，有

2、PX(tn)xnX(t1)x1,X(t2)x2,X(tn1)xn1PX(tn) xX(tn 1) xn 1形式上我们有：PX(tn) xn X(t1) x1,X(t2) x2, ,X(tn1) xn 1PX(tn) xn,X(t1) x1,X(t2)x2, ,X(tn 1)xn 1PX(t1) x1,X(t2) x2,X(tn 1) xn 1PX(tn) xn,X(t1) x1,X(t2)x2, ,X(tn 2)xn 2X(tn1)xn 1PX(t1) x1,X(t2) x2,X(tn 2) xn 2X(tn1)xn1因此， 我们只要能证明在已知X(tn 1) xn 1条件下，X(tn) 与

3、X(tj ) , j 1,2, ,n 2相互独立即可。由 独 立增 量 过程的 定 义 可知 ，当a tjtn1 tn, j1,2,n 2时 ， 增 量X(tj) X(0)与 X(tn) X(tn 1)相互独立，由于在条件X(tn 1) xn 1和 X(0) 0下，即有 X(tj) 与X(tn)xn1 相 互 独 立。 由此可 知 ，在 X(tn 1)xn 1 条件 下 ， X(tn) 与X(tj ) , j 1,2, , n 2 相互独立，结果成立。( 3) 设随机过程Wt, t 0 为零初值(W00)的、有平稳增量和独立增量的过程，且对每个t 0 ， Wt N ( , 2t) ，问过程Wt

4、 , t 0 是否为正态过程，为什么？解：任取0 t1t2tn，则有：kWtkWti Wti 1 k 1,2, ,ni1WtiWti 1 N(0, 2(titi 1)并且独立(Wt1,Wt2 Wt1,Wtn Wtn 1)是联合正态分布的，由Wt1100Wt1Wt2110Wt2Wt10Wt tn111WtnWtn 1可知是正态过程。4) 设 Bt为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并说明理由。解：标准布朗运动的相关函数为：2RB (s,t) min s,t如果标准布朗运动是均方可微的，则RB/ (t,t)存在，但是：RB/ (t,t)ltim0RB(t t,t)RB(t

5、,t)RB/ (t,t)ltim0tRB(t t,t)RB(t,t)故RB/ (t, t)不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。5) 设 Nt ， t 0是零初值、强度0的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均t方意义下，Yt0 N sds, t 0 是否存在，为什么？解：泊松过程的转移率矩阵为：000000 Q其相关函数为：RN (s,t) min s,t 2st，由于在t ，RN (t, t) 连续，故均方积分存在。( 6) 在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0表示误差状态，1 表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：Pp00p010.75 0.25p

6、10p110.50.5试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布(平稳分布 。解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为(2/3,1/3) 。( 7 设齐次马氏链X n , n 0 , S 1,2,3,4 , 一步转移概率矩阵如下：001/21/2001/21/2P1/2 1/2001/2 1/200a 写出切普曼柯尔莫哥洛夫方程(C K 方程 ；b 求 n 步转移概率矩阵；c 试问此马氏链是平稳序列吗？为什么？解： ( a 略nPP(n) PnP2n 奇数n 偶数( c 此链不具遍历性8 设 Y(t) X( 1)N(t),t 0， 其中 N(t); t 0为强度为0的 Poission

7、过程， 随机变量 X 与此 Poission 过程独立，且有如下分布：PX a PX a 1/4, PX 0 1/2, a 0问：随机过程Y(t), t 0是否为平稳过程？请说明理由。EY(t) 0RY(t1,t2)E X 2 ( 1)N(t1) N(t2) E X 2 E ( 1)N(t1) N(t2)E ( 1)N (t2) N(t1)E ( 1)2N(t1) N(t2) N(t1)N(t2) N(t1) n PN(t2) N(t1) nn0( 1)n (t2 t1)n (t2t1)en0n!2a e222 (t2 t1) a2e t2 t1故 Y(t) 是平稳过程。9 设 Xt X 2Y

8、t, t 0 ，其中 X 与 Y 独立，都服从N (0, 2 )a 此过程是否是正态过程？说明理由。b 求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。证明： （ a ）任取 n N , 0 t1 t2 tn ，则有：1Xt t2Xt tnX 2Yt1X 2Yt2X 2Ytn2t12t2 XY2tnY 服从正态分布，由上式可知随X 与 Y 独立，且都服从N （0, 2 ） ，因此可得XXt1Xt2Xtn 服从正态 （高斯） 分布， 所以过程Xt X 2Yt, t 0是正b ）由：EXt EX 2tEY 0RX(t1,t2) EXt1Xt2 E X2t1YX 2t2Y22EX 2 2(t1 t2)EXY

9、 4t1t2EY22222EX2 2(t1 t2)EXEY 4t1t2EY22 4t1t2 210） 设 Nt， t 0 是零初值、强度1 的泊松过程。( a)求它的概率转移函数p(s,t,i , j) PNt j Ns i；1( b)令 Xt Nt t, t0，说明Y 0 Xtdt存在，并求它的二阶矩。 (t s) j i (t s)( a) p(s,t,i, j) PNt j Ns ie (t s)(j i)!( b )先求相关函数：RX(t,s)E( Nt t)(Ns s) mint,s 2st st(1 2 )12EY2 E对任意的t ， 在 (t,t) 处 RX(t,t) 连续， 故

10、 Xt均方连续，因此均方可积，YXtdt 存在。1111E 0Xtdt 0Xsds E 0 0XtXsdtds110 0 RX (t, s)dtdsRX (t, s) 代入计算积分即可。由 1 ，得：2RX (t, s) E( Nt t)(Ns s) min t,s st st(1 2 ) min t,sEY2 E12110XtdtE 0Xtdt0Xsd11E XtXsdtds111111RX (t, s)dtdsmint, s dtds dt1t 1tds 0dt 0sds 311） 设一口袋中装有三种颜色（红、黄、白）的小球，其数量分别为3、 4、 3。现在不断地随机逐一摸球，有放回，且视

11、摸出球地颜色计分：红、黄、白分别计1 、 0、 -1分。第一次摸球之前没有积分。以Yn表示第n 次取出球后的累计积分，n 0,1,（ a ） Yn ， n 0,1, 是否齐次马氏链？说明理由。（ b ）如果不是马氏链，写出它的有穷维分布函数族；如果是，写出它的一步转移概率 pij 和两步转移概率pij （2） 。c )令 0 min n; Yn0, n 0 ，求 P 05 。解： （ a ）是齐次马氏链。由于目前的积分只与最近一次取球后的积分有关，因此此链具有ji1 ji ji1 其他马氏性且是齐次的。状态空间为：S , 2, 1,0,1,2, 。0.3,0.4,b )pijPYn 1 j Y

12、ni0.3,0,20.32,ji22 0.30.4,ji1pij (2)PYn 2 Yni0.42 2 0.32,j i2 0.30.4,ji10.32,ji20,其他c ）即求首达概率，注意画状态转移图。P 05 2 3 0.34 0.4 0.32 0.430.0309612） 考察两个谐波随机信号X（t） 和 Y（t），其中：X(t) Acos( ct), Y(t) Bcos( ct)式中 A和 c为正的常数；是 , 内均匀分布的随机变量，B 是标准正态分布( a)求 X(t)的均值、方差和相关函数；( b)若 与 B 独立，求X(t)与 Y(t)的互相关函数。解： ( a) EX(t)0

13、A2A2RXX(t1,t2) EX(t1)X(t2) cost1t2， DX(t)22( b)RXY(t1,t2) EX(t1)Y(t2)013) 令谐波随机信号：X(t) Acos( ct), 式中 c为固定的实数；是 0,2 内均匀分布的随机变量，考察两种情况：( a )幅值 A 为一固定的正实数；( b)幅值 A为一与独立，分布密度函数为a2 e a2/(2 2),a 0的随机变量；试问谐波随机信号在两种情况下是平稳的吗？( a )如 12 题( b )略( 14) 设 N (t); t 0是一强度为的 Poission 过程，记X(t) d N(t) ，试求随机过dt程 X (t) 的

14、均值和相关函数。解：利用导数过程相关函数与原过程相关函数的关系即可得：mX (t) mX (t) /( t)/RX (t, s) X ( , s) ( 2stmin s, t)2 (t s)ts ts15 ) 研究下列随机过程的均方连续性，均方可导性和均方可积性。当均方可导时，试求均方导数过程的均值函数和相关函数。( a ) X (t) At B ，其中 A, B 是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a,b ，方差为12, 22；( b) X(t) At2 Bt C ，其中 A, B,C 是相互独立的二阶矩随机变量，均值为222a,b,c，方差为12, 22, 32。( 16 )求下列随机过程的

15、均值函数和相关函数，从而判定其均方连续性和均方可微性。1( a ) X (t) tW , t 0，其中 W(t) 是参数为1 的 Wienner 过程。t22( b) X(t) W2(t), t 0 ,其中 W(t) 是参数为2的 Wienner 过程。11解： ( a) mX (t) EtW( ) tEW( )0111111RX (s,t) EsW( )tW( ) stEW( )W( ) st min , 2 mins,tststst2RX (t,t)2t 连续，故均方连续，均方可积。222( b) mX(t) EW2(t) DW(t) EW(t)22t442R(s,t) 4s(t s) 3

16、 4s2 均方连续，均方可积。( 17 )讨论 Wienner 过程和 Poission 过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。解：略。( 18 )设有平稳随机过程X (t) ，它的相关函数为RX ( )2e 2 2 ，其中 , 为常数，求 Y(t) adX(t) ( a 为常数)的自协方差函数和方差函数。 dt解：略。( 19) 设 有 实 平 稳 随 机 过 程 X(t) ， 它 的 均 值 为 零 ， 相 关 函 数 为RX( ) ， 若tY(t) 0 X(s)ds，求 Y(t)的自协方差函数和方差函数。解： mY 0stCY(s,t) RY(s,t)0dv 0 RX(u v)dut

17、ttDY(t)0dv 0RX(u v)du 4 0(t x)RX(x)dx20)设 N1(t),t0 和 N2(t),t0 是参数分别为1和 2的时齐 Poission 过程， 证明在 N1(t) 的任一到达时间间隔内，N2(t) 恰有 k个事件发生的概率为：1pk12212, k 0,1, 2,证明：令X为 N1(t) 的任一到达时间间隔并且X Ex( 1) ，即 X 的分布密度为：fX (t)1e 1t , t 00, t 0pkPN2(t) k,t 0,X)PN2(t) k X t 1e 1tdt 00(k2!t)e2t1e1tdt121221 )设随机振幅、随机相位正弦波过程相互独立，

18、且有分布：令：Yt1,0,试求过程Yt ,t 0 的均值函数。k, k 0,1,2,Xt V sin(t ), t0， 其中随机变量V 和U0,2 ,V1011/4 1/2 1/4Xt 2/2反之,t 0解：由定义，随机过程Y(t); t 0的均值函数为：Y (t)EY(t)1 PY(t) 1 0 PY(t) 0PY(t) 1P X(t) 2/2而P X(t) 2/2 P V sin(t )2/2P ( 1)sin(t )2/2 PV 1 P 0P (1) sin(t )2/2 PV 1sin(t )2 /2 PV 01 P sin(t )2/2/21 P sin(t )2/21 P sin(

19、t )2/2 U (0,2 )时，随机变量(t) sin(t ) 的分布密度为：f (t)(x)11 x20,1x 1其它P X(t) 2/2141即：Y(t)422)设有一泊松过程N(t),t0 ，固定两时刻s,t，且 s t，试证明P(N(s) k N(t) n) Cnksk1snk ttk 0,1,2, ,n证明：由于s t ，有P N(s) k/ N(t) nP N(s) k, N(t) nP N(t) nP N(s) k P N(t s) n kP N(t) n其中knk( s)ks ( (t s)n k (t s)P N(s) k PN(t s) n k eek!(n k)!P N

20、(t) n ( t) e t n!所以P N(s)k/N(t) n( s) k s ( (t s) (t s)k! e (nk)!e( t)ne ten!sk (t s)n k n!tk tn k k!(n k)!( 23)设 B(t),t 0为零均值的标准布朗运动，a和 b 为两个待定的正常数(a 1 ) ，问在什么情况下aB(bt) 仍为标准的布朗运动？说明理由。解：由 B(t),t 0为标准布朗运动可知B(t),t 0 为正态过程，由正态分布的性质可知aB(bt) 为正态过程，令Y(t) ? aB(bt)，则有RY (t,s)EY(t)Y(s)a2 E B(bt)B(bs)a2 min

21、bt, bs a2bmin t,s因此，要使 aB(bt) 仍为标准的布朗运动，必须a2b 1 ，即：1a ,b0b24)设有无穷多只袋子，各装有红球r 只，黑球b 只及白球w只。今从第1 个袋子随机取一球，放入第2 个袋子，再从第2 个袋子随机取一球，放入第3 个袋子，如此继Rk1 , 当第 k 次取出红球0,反之, k 1,2,a )试求Rk 的分布；( b )试证 Rk 为马氏链，并求一步转移概率。解： ( a )Rk 的分布为：Rk10Prbwrbwrbwr1P r bw1rr bw1( b ) Rk 的一步转移概率为：bwr bw1bw1r bw1( 25) 设有随机过程(t) Xt

22、2 Y, t ， X 与 Y是相互独立的正态随机变量，期望均为0，方差分别为2X 和Y2 。证明过程(t) 均方可导，并求(t) 导过程的相关函数。证明：计算得：E (t) t2EX EY 0222222R (t,s) E Xt2 YXs2 Y X2t2s2Y2由于相关函数的导数为：R (t, s)R (t,s)ts4 X2 ts它是一连续函数，因此过程(t) 均方可导，(t) 导过程的相关函数由上式给出。26) 设 Bt ;t0 是 初 值 为 零 标 准 布 朗 运 动 过 程 ， 试 求 它 的 概 率 转 移 密 度 函 数p(s,t,x,y) ? fBt Bs(yx)。解 ： 由 标

23、 准 维 纳 过 程 的 定 理 ： 设W0(t); t 0 为 标 准 维 纳 过 程 ， 则 对 任 意0 t1t2 tn，(W0(t1),W0(t2),W0(tn)的联合分布密度为：ng(x1,x2, , xn; t1,t2, ,tn )p(xixi 1;ti ti 1 )i1其中：p(x; t) exp 2 t 2t可知：当s t 时，(Bs,Bt) 的联合分布密度为：fBsBt(x,y)1st2sexp2s 2 (t s)exp (y x)22(t s)Bs 的分布密度为：fBs (x)exp2 s 2s2sp(s,t,x, y)? fBt Bs(yx)fBsBt(x,y)fBs(x

24、)exp2 (t s)(y x) 22(t s)27) 设有微分方程3dX(t) 2X(t) W0(t) ，初值X(0) X0为常数，W0(t) 是标准dt维纳过程，求随机过程X(t) 在 t时刻的一维概率密度。解：方程的解：X(t) X0et203dut10 W0 (s)e3t2du2t03 ds X0e 31 t 2s0 e 3 W0(s)ds 3W0 (t) 为维纳过程，故X(t) 为正态过程，因此有：2tEX(t) EX0e 3t 2se 3 W0 (s)dsX 0e302t3 ? X(t)1 t 2sDX(t)EX(t) EX(t) 2E0e3W0(s)ds2322221 tt s1