初中数学《和差化积----因式分解的方法》培优、拔高(奥数)专题讲义

1、初中数学 和差化积 因式分解的方法 培优、拔高（奥数）专题讲义阅读与思考提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来 选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法：1换元法：对一些数、 式结构比较复杂的多项式， 可把多项式中的某些部分看成一个整体， 用一个新字母代替， 从而可达到化繁为简的目的从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元 时有一元代换、二元代换等2拆、添项法： 拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解

2、中 进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法 分解例题与求解22【例 l】 分解因式 x2 x 1 x2 x 2 12 （浙江省中考题）解题思路 ：把 x 2 x 看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构【例 2】观察下列因式分解的过程：2（ 1） x xy 4x 4y ；原式 x2 xy 4x 4 y x x y 4 x y x y x 4 ；（2） a2 b2 c2 2bc 原式 a 2 b2 c 2 2bc a 2 b c 2 a b c a b c 第（ 1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式仿照上述分解因

3、式的方法，把下列各式分解因式：2（1） aab ac bc ；（西宁市中考试题）2 2 2（2） x2 4 y2 z2 4 yz（临沂市中考试题）解题思路 ：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验失 败再试验再失败直至成功”的过程【例 3】 分解因式1) 1999 x2 (19992 1)x 1999 ；重庆市竞赛题）2) x y x y 2 xy xy 1 xy 1 ；（“缙云杯”邀请赛试题）3）x 2 3 y 2 3 x y 3 “五羊杯”竞赛试题）解题思路：（ 1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中 x y 、 xy反复出现，

4、可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系22【例 4】把多项式x2y 22x 4 y3因式分解后，正确的结果是（）A x y 3 xy1B xy 1 x y 3C x y 3 xy1D xy 1 x y 3（“希望杯”邀请赛试题）解题思路： 直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如3 41【例 5】 分解因式：1） x5 x 1 ；（扬州市竞赛题）2） x3 9x 8 ；（请给出多种解法）（“祖冲之杯”邀请赛试题）3） a4 2a3 3a2 2a 1解题思路： 按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略例 6】分解因式： x3 6x2 1

5、1x 6 河南省竞赛试题)解题思路： 拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法能力训练A级1分解因式：(1) 1 x x3 x2 4泰安市中考试题)(2) 4m3n 16mn3 2分解因式：(1) x(x 1) y(y 1) 2xy ；(2)(x2 3x)2 2(x2 3x) 8 223分解因式： a2 b2 4a 2b 3 324多项式 ax3 8a 与多项式 x2 4x 4 的公因式是 5在 1100 之间若存在整数 n ，使 x2 x n 能分解为两个整系数一次式的乘积， 个2 2 26将多项式 x2 4y2 9z2 12 yz分解因式的积，结果是()A (x 2y 3z)(x 2y 3z)B

6、(x 2y 3z)(x 2y 3z)C (x 2y 3z)(x 2y 3z)D (x 2y 3z)(x 2y 3z)7下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )A x3 9x2 27x 27B x3 x2 27 x 27威海市中考试题)这样的n有 C x4 x3 27 x 27D x3 3x2 9x 27“希望杯”邀请赛试题）8把 a 4 4分解因式，其中一个因式是（ ）22A a 1Ba2 2C a2 42D a 2 2 a 23 3 39多项式 a b c 3abc 有因式（ ）C a2 b 2 c 2 bc ac abD bc ac ab“五羊杯”竞赛试题）10已知二次三项式 2

7、1x2 ax 10 可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（）A a 一定是奇数B a 一定是偶数C a可为奇数也可为偶数D a一定是负数11分解因式：（1） （2x2 3x 1）2 22x2 33x 1；（2） （x2 3x 2）（4x2 8x 3） 90 ；（3） x4 7 x2 1；（“祖冲之杯”邀请赛试题）（4） x3 2x2 5x 6 ；（重庆市竞赛试题）4 4 4（5） x4 y 4 （ x y） 4 ；2（6） （6x 1）（2x 1）（3x 1）（x 1） x212先化简，在求值：2a（a b） （a b） 2 ，其中 a 2008 ， b 2007 B级221分解因式： 4x

8、2 4x y2 4y 3 （重庆市竞赛试题）2分解因式： （x 1）（x 2）（x 3）（x 4） x（x 5） （“五羊杯”竞赛试题）23分解因式： （x2 1）（x 3）（x 5） 12 （“希望杯”邀请赛试题）54分解因式： x x 1 （“五羊杯”竞赛试题）5将x5 x4 1 因式分解得（）A23(x2 x 1)(x3 x 1)23B (x2 x 1)(x3 x 1)C(x2 x 1)(x3 x 1)D (x2 x 1)(x3 x 1)（陕西省竞赛试题）2 2 26已知 a,b,c是 ABC 三边的长，且满足 a2 2b2 c2 2b（a c） 0 ，则此三角形是（ ）A 等腰三角形B

9、等边三角形C直角三角形D不能确定327 2x3 x2 13x 6的因式是（）2A 2x 1B x 2C x 3D x2 1 E. 2x 1（美国犹他州竞赛试题）8分解因式：1）(a b 2ab)( a b 2) (1 ab)2 ；（湖北省黄冈市竞赛试题）2）x4 1999x2 1998x 1999 ；（江苏省竞赛试题）3）2 2 2 (a2 a 1)(a2 6a 1) 12a2 ；（陕西省中考试题）4）4x3 31x 15 ；（“祖冲之杯”邀请赛试题）5）3 3 3(2x 3y)3 (3x 2y)3 125(x y)3 ；（“五羊杯”竞赛试题）太原市竞赛试题）6) 4x4 4x3 14x2 1

10、2x 69已知乘法公式：5 5432 234a5b5(ab)(a4a3ba2b2ab 3b4)55432 234a5b5(ab)( a4a3ba2b2ab3b4)利用或者不利用上述公式，分解因式：x8 x 6 x 4 x 2 1“祖冲之杯”邀请赛试题）10分解因式：( 1) x3 6x2 27x ；(2) a3 a 2 a 1；(3) 8(x2 2y2) x(7x y) xy11对方程 a2b2 a2 b2 2004 ，求出至少一组正整数解12已知在 ABC 中， a 2 16b2 c2 6ab 10bc 0（a,b,c是三角形三边的长 ）， 求证： a c 2b （天津市竞赛试题）阅读与思考

11、因式分解还经常用到以下两种方法1主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按 降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法2待定系数法 即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式 子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一 般步骤是：（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解例题与求

12、解【例 l】 x2 y y 2z z2x x2z y2x z2 y 2xyz 因式分解后的结果是（）A y z x y x zB y z x y x zC y z x y x z上海市竞赛题）解题思路 ：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多 项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口【例 2】分解因式：2 2 2（1） a2 2b2 3c2 3ab 4 ac 5bc ；（“希望杯”邀请赛试题）（2） 2x3 x2z 4x2y 2xyz 2xy2 y2z （天津市竞赛题）解题思路 ：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑

13、用主元 法分解3 2 2 2【例 3】分解因式 x3 （2a 1） x2 （a2 2a 1）x a2 1（“希望杯”邀请赛试题）解题思路： 因 a 的最高次数低于 x 的最高次数，故将原式整理成字母 a的二次三项式【例 4】 k为何值时，多项式 x2 xy 2y2 8x 10y k 有一个因式是 x 2y 2?解题思路： 由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手（“五羊杯”竞赛试题）432【例 5】把多项式 4x4 4x3 5x2 2x 1写成一个多项式的完全平方式 .（江西省景德镇市竞赛题）解题思路： 原多项式的最高次项是 4x4 ，因此二次三项式的一般形式为

14、2x2 ax b ，求出 a、b即 可2【例 6】如果多项式 x2 （a 5）x 5a 1能分解成两个一次因式 （x b） ，（x c） 的乘积（ b,c为 整数），则 a 的值应为多少？（江苏省竞赛试题）解题思路：由待定系数法得到关于 b,c, a的方程组，通过消元、 分解因式解不定方程， 求出 b,c,a的 值能力训练A级2 2 21分解因式： 9a2 4b2 4bc c 2 （“希望杯”邀请赛试题）222分解因式： x2 5xy x 3y 6y2 （河南省竞赛试题）223分解因式： x2 3（x y） 3 y2 （x y） （重庆市竞赛试题）4多项式 x2 y2 6x 8y 7 的最小值

15、为 225把多项式 x2 2xy y2 2x 2y 8 分解因式的结果是( )A (x y 4)(x y 2) B(x y 1)(x y 8)C (x y 4)(x y 2)D (x y 1)(x y 8)四川省联赛试题）天津市竞赛试题）26已知 x2 ax 12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数 a 的个数是（）A3 个 B4 个C5 个D6 个327若 3x3 kx2 4被3x 1除后余 3，则 k 的值为（）A 2 B4C9D10A1，a 3b 1 ，2 2 3 则 3a2 12ab 9b2的值是5524BCD0358若 a b（“CASIO 杯”选拔赛试题）大连市“育

16、英杯”竞赛试题）9分解因式：22（ 1） 2a2 b2 ab bc 2ac ；吉林省竞赛试题）2)(c a)2 4(b c)(a b) ；昆明市竞赛试题）3) x3 3x2 (a 2)x 2a ；天津市竞赛试题）4) 2x 2 7xy 6y2 2x y 12；5) xy(xy 1) (xy 3) 2(x y 1) (x y 1)210如果 （x a）（x 4） 1能够分割成两个多项式 x b和 x c的乘积（ b、c为整数），那么 a 应为多 少？兰州市竞赛试题）2211已知代数式 x2 3xy 4y2 x by 2能分解为关于 x, y的一次式乘积，求 b的值（浙江省竞赛试题）B级1若 x3

17、 3x2 3x k 有一个因式是 x 1，则 k （“希望杯”邀请赛试题）2设 x3 3x2 2xy kx 4 y可分解为一次与二次因式的乘积，则 k （“五羊杯”竞赛试题）223已知 x y 4是 x y mx 3y 4 的一个因式，则 m （“祖冲之杯”邀请赛试题）224多项式 x2 axy by2 5x y 6的一个因式是 x y 2，则 a b的值为 北京市竞赛试题）32 5若 x3 ax2 bx 8有两个因式 x 1和 x 2，则 a b （ ）A8B 7C 15 D21E22（美国犹他州竞赛试题） 226多项式 5x2 4xy 4y2 12x 25 的最小值为（ ）A 4B5C16 D25（“五羊杯”竞赛试题）227若 M 3x2 8xy 9y2 4x 6y 13（ x, y为实数），则 M 的值一定是（ ）A正数B负数C零D整数（“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题）2 2 2 2 8设 m,n满足 m2n2 m2 n2 10mn 16 0，则 （m,n） （）A（ 2，2）或（ 2， 2）B（2，2）或（ 2， 2）C（2， 2）或（ 2，2）D（ 2