202X届高考数学一轮复习9.4直线和圆锥曲线的综合问题课件

1、9.4直线和圆锥曲线的综合问题20102019年高考全国卷考情一览表 考点101考点102考点103考点104考点104最值与范围问题1.(2019全国2,文20,12分,难度)已知F1,F2是椭圆C: =1(ab0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.(1)若POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1PF2,且F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点1042.(2018浙江,21,15分,难度)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足

2、PA,PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;考点101考点102考点103考点104所以y1+y2=2y0,因此,PM垂直于y轴. 考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点104(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|PQ|的最大值. 考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点104所以|PA|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因为f(k)=-(4k-2)(k+1)2,考点101考点102考点103考点104|MC|AB|=23,M的半径为|MC|,OS,O

3、T是M的两条切线,切点分别为S,T,求SOT的最大值并求取得最大值时直线l的斜率.考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点1045.(2016全国1,理20,12分,难度)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取

4、值范围.考点101考点102考点103考点104解(1)因为|AD|=|AC|,EBAC,故EBD=ACD=ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点1046.(2016浙江,理19,15分,难度)如图,设椭圆 +y2=1(a1).(1)求直

5、线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.考点101考点102考点103考点104(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k20,k1k2.考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点104(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BFHF,且MOAMAO,求直线l的斜率的取值范围

6、.考点101考点102考点103考点104(2)设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-2).考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点1048.(2016浙江,文19,15分,难度)如图,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.考点101考点102考点103考点104解(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,(2)由(1)

7、得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t0,t1. 去x得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4, 考点101考点102考点103考点104经检验,m2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+). 考点101考点102考点103考点104(1)求直线FM的斜率;(2)求椭圆的方程;(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于 ,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点104(1)求实数m的取值范围;

8、(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点). 考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点104(1)求M的方程;(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CDAB,求四边形ACBD面积的最大值.考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点104(1)求C的方程;(2)P为C上的动点,l为C在P点处的切线,求O点到l距离的最小值. 考点101考点102考点103考点104当x0=0时取等号,所以O点到l距离的最小值为2. 考点101考点102考点10

9、3考点104考点101考点102考点103考点104考点102定值定点问题 考点101考点102考点103考点104整理得2tx1-2y1+1=0.设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.故直线AB的方程为2tx-2y+1=0. 于是x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1. 考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点104整理得2tx1-2y1+1=0.设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.考点101考点102考点103考点104

10、设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离, 所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=1. 考点101考点102考点103考点1043.(2018全国1,理19,12分,难度)设椭圆C: +y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:OMA=OMB.考点101考点102考点103考点104解(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1. (2)当l与x轴重合时,OMA=OMB=0,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以OMA=OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k

11、(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),考点101考点102考点103考点104从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以OMA=OMB.综上,OMA=OMB.考点101考点102考点103考点1044.(2018全国1,文20,12分,难度)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:ABM=ABN.考点101考点102考点103考点104解(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2). (2)当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平

12、分线,所以ABM=ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x10,x20.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以ABM=ABN.综上,ABM=ABN.考点101考点102考点103考点1045.(2018北京,理19,14分,难度)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线 C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围;考点101考点102考点103考点104(1)解因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),所以4=2p,解

13、得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+1(k0).依题意,=(2k-4)2-4k210,解得k0或0k0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.考点101考点102考点103考点104 (1)把直线或者曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把常量当作未知数,将方程一端化为0,即化为kf(x,y)+g(x,y)=0的形式(这里把常量k当作未知数).(2)既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于0,这样就得到一个关于x,y的方

14、程组,即令(3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点,即满足 的点(x0,y0)为直线或曲线所过的定点.考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点104因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.考点101考点102考点103考点1048.(2016北京,理19,12分,难度)已知椭圆C: =1(ab0)的离心率为 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一

15、点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|BM|为定值.考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点104当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|BM|=4.综上,|AN|BM|为定值.考点101考点102考点103考点1049.(2016北京,文19,12分,难度)已知椭圆C: =1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.考点101考点102考点103考点104考点10

16、1考点102考点103考点104从而四边形ABNM的面积为定值. 考点101考点102考点103考点104(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值. 考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点104(1)求椭圆E的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2. 考点101考点102考点103考点104(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.由已知0.设P(x1

17、,y1),Q(x2,y2),x1x20,考点101考点102考点103考点104考点103探究存在性问题1.(2019全国1,文21,12分,难度)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上,求M的半径;(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.考点101考点102考点103考点104解(1)因为M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).因为M与直线x+2=0相切,所以M的半径为r=|a+2|

18、.故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故M的半径r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.理由如下:设M(x,y),由已知得M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.y2=4x.因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.考点101考点102考点103考点1042.(2018上海,20,16分,难度)设常数t2,在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线:y2=8x(0 xt,y0)

19、.l与x轴交于点 A,与交于点B,P,Q分别是曲线与线段AB上的动点.(1)用t表示点B到点F的距离;(2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求AQP的面积;(3)设t=8,是否存在以FP,FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.考点101考点102考点103考点104由抛物线的定义可知,|BF|=t+2.(2)由题意,得F(2,0),|FQ|=2,t=3,|FA|=1,考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点1043.(2015全国1,理20,12分,难度)在直角坐标系xOy中,曲线C:y= 与直线

20、l:y=kx+a(a0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?说明理由.考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点104(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故OPM=OPN,所以点P(0,-a)符合题意.考点10

21、1考点102考点103考点1044.(2015全国2,理20,12分,难度)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)若l过点 ,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.考点101考点102考点103考点104解(1)设直线l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故所以直线OM的斜

22、率与l的斜率的乘积为定值.(2)四边形OAPB能为平行四边形.因为直线l过点 ,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0,k3.考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点1045.(2014山东,理21,14分,难度)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,ADF为正三角形.(1)求C的方程;(2)若直线l1l,且l1和C有且只有一个公共点E,证明直线AE过定点,并求出定点坐标;ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值

23、;若不存在,请说明理由.考点101考点102考点103考点104所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)由(1)知F(1,0).设A(x0,y0)(x0y00),D(xD,0)(xD0),因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1.由xD0得xD=x0+2,故D(x0+2,0).考点101考点102考点103考点104直线AE恒过点F(1,0). 考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点104(1)求C1,C2的方程;(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共考点101考点102考点103考

24、点104(2)不存在符合题设条件的直线.若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点1047.(2014福建,文21,12分,难度)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(1)求曲线的方程;(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.考点101考点102考点1

25、03考点104解(1)设S(x,y)为曲线上任意一点,依题意,点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以曲线是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线的方程为x2=4y.(2)当点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变.证明如下:考点101考点102考点103考点104所以点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变. 考点101考点102考点103考点104考点104曲线与方程1.(2019全国2,理21,12分,难度)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为- .记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;

26、(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PEx轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.证明:PQG是直角三角形;求PQG面积的最大值.考点101考点102考点103考点104坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.(2)设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k0).考点101考点102考点103考点104考点101考点102考点103考点1042.(2016全国3,理20文20,12分,难度)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;(2)若PQF

27、的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.考点101考点102考点103考点104记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,所以ARFQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),考点101考点102考点103考点104所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.考点101考点102考点103考点104(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.考点101考点102考点103考点104(2)设两切线为l1,l2,当l1x轴或l1x轴时,对应l2x轴或l2x轴,可知P(3,2).当l1与x轴不垂直且不平行时,x03,设l1的斜率为k(k0),则l2整理,得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0.直线与椭圆相切,=0,得9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,-36k2+4(y0-k