二重积分的计算

1、关于二重积分的计算现在学习的是第1页，共22页xbad 设bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分现在学习的是第2页，共22页ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同样, 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),

2、()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第3页，共22页oxy说明说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序选择积分序, 必要时还可以交换积分序交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域 , 321DDDD则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第4页，共22页xy211xy o2

3、21d y例例1. 计算,dDyxI其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. x解法解法1. 将D看作X型区域, 则:DI21dxyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将D看作Y型区域, 则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第5页，共22页例例2. 计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域. 解解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21

4、yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第6页，共22页例例3. 计算,ddsinDyxxx其中D 是直线 ,0,yxy所围成的闭区域.oxyDxxy 解解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对 x 积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第7页，共22页例例4. 交换下列积分顺序2280222

5、2020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD将:D视为Y型区域 , 则282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第8页，共22页xyoD性质：性质：设函数),(yxfD 位于 x 轴上方的部分为D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍1D在 D

6、 上d),(21Dyxf在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有1:,221 yxDD 为圆域如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第9页，共22页例例5. 计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224机动 目录 上页

7、 下页 返回 结束 现在学习的是第10页，共22页xyokkkrrkkkkkkrrsin,cos对应有二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下, 用同心圆 =常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkkkkr221内取点kkkrr221)(及射线 =常数, 分划区域D 为krkrkkkr机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第11页，共22页kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(dd即Df)sin,cos(dddd机动 目录 上

8、页 下页 返回 结束 kkkkkr现在学习的是第12页，共22页Do)(1)(2)(1o)(2)()(21d)sin,cos(f设,)()(:21D则Dfdd)sin,cos(d特别特别, 对20)(0:DDfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(f20d)(oD机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第13页，共22页思考思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答答: ;0) 1 ()(Doyx)(Doyx问 的变化范围是什么?(1)(2)22)2(机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第14页，共22页例例6. 计算,dd22Dyxyxe其

9、中.:222ayxD解解: 在极坐标系下,200:aD原式Dd02aeae02212 )1(2ae2xe的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角2redd20d由于故坐标计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第15页，共22页例例7. 求球体22224azyx被圆柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设由对称性可知20,cos20:aDdd4422DaV20d4cos2022d4aad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza2机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第16页，共22页内容小结内容小结(1) 二重积分

10、化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为12D(x,y) y (x)yy (x),axb则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为12D(x,y) x ( y)xx ( y),cyd则xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第17页，共22页12D(r, )()r(), DDfyxf)sin,cos(d),(则)()(21d)sin,cos(df极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为ddDo)

11、(1)(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第18页，共22页(3) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便：积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域 )充分利用对称性及其他性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第19页，共22页思考与练习思考与练习1. 设, 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示:交换积分顺序后, x , y互换oyx1xy 1yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010dxI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010dx10dxyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第20页，共22页axy2解：解：原式ay0daay2d2