2012年兰州市第一次诊断考试数学试卷及答案

1、2012年高三诊断考试卷数 学注意事项:1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分题号后标注“理科”的试题为理科考生解答，标注“文科”的试题为文科考生解答，未作标注的试题文、理科考生均解答2.本试卷满分150分，考试用时120分钟。3答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。第卷 (选择题，共60分)一、本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1 （理科）已知复数满足（为虚数单位），则= （ ）(文科)集合，则2.函数的反函数为3设等比数列的前项和为，若，则 （ ）4已知点（），则“且”是“点在圆”外的（ ）5（理科）已知向量与互相垂

2、直，且为锐角，则函数的一条对称轴是 （ ）(文科)已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边上，则的周长是 （ ）6曲线 在点处的切线与直线和所围成的区域内（包括边界）有一动点，若，则的取值范围是 （ ）7（理科）已知函数是奇函数，当时，则不等式 的解集是 （ ） （文科）已知向量与互相垂直，且为锐角，则函数的一条对称轴是 ( ）8（理科）在三棱柱中，各侧面均为正方形，侧面的对角线相交于点，则与平面所成的角的大小是 （ ）（文科）已知函数是奇函数，当时，则不等式 的解集是 （ ） 9（理科）若函数，且的最小值等于 ，则正数的值为 （ ） （文科）在三棱柱中，各侧面均为正方

3、形，侧面的对角线相交于点，则与平面所成的角的大小是 （ ）10（理科）过点的直线与椭圆交于，线段的中点为设直线 的斜率为（，直线（为坐标原点）的斜率为，则等于 （ ） （文科）若函数，且的最小值等于 ，则正数的值为 （ ） 11正棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线若一个正棱柱有10条对角线，那么（ ）12已知为双曲线（）的右焦点，为双曲线右支上一点，且位于轴上方，为直线上一点，为坐标原点，已知且，则双曲线的离心率为 （ ）第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13 。14三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为，则三棱锥外接

4、球的表面积是 。15（理科）若则 。 （文科）展开式中，不含项的系数之和为，则 。16双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为，则的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分10分） （理科）的三内角的所对的边分别为，且（为锐角），（）求的大小（）若且,求的面积(文科)设等差数列的前项和为,若求:（）； （）的最小值.18（本小题满分12分） （理科）某城市为了推动全民健身运动在全市的广泛开展，该市电视台开办了健身竞技类栏目健身大闯关，规定参赛者单人闯关，参赛者之间相互没有影响，通过关卡者即可获奖。现有甲、乙、丙3人参加当天闯关比赛

5、，已知甲获奖的概率为，乙获奖的概率为，丙获奖而甲没有获奖的概率为 （）求三人中恰有一人获奖的概率； （）记三人中获奖的人数为，求的数学期望.（文科）的三内角的所对的边分别为，且（为锐角），（）求的大小（）若且,求的面积19（本小题满分12分） （理科）如图，三棱柱中，底面正三角形，侧面 是的菱形，且侧面底面，为中点（）求证： （）若点为上的一点，当时，求二面角的正切值 （文科）某城市为了推动全民健身运动在全市的广泛开展，该市电视台开办了健身竞技类栏目健身大闯关，规定参赛者单人闯关，参赛者这间相互没有影响，通过关卡者即可获奖。现有甲、乙、丙3人参加当天闯关比赛，已知甲获奖的概率为，乙获奖的概率为

6、，丙获奖而甲没有获奖的概率为 （）求三人中恰有一人获奖的概率； （）记三人中获奖的人数为，求的数学期望.20（本小题满分12分） （理科）已知数列中，（）求数列的通项公式.（）已知的前项和为，且对任意正整数，都有成立求证：（文科）如图，三棱柱中，底面正三角形，侧面 是的菱形，且侧面底面，为中点（）求证： （）若点为上的一点，当时，求二面角的正切值 21（本小题满分12分） （理科）已知点是直线上的动点，为定点，过点且垂直于直线的直线和线段的垂直平分线相于点（）求点的轨迹方程（）经过点且与轴不垂直的直线与点的轨迹有两个不同的交点，若在轴上存在点，使得为正三形，求实数的取值范围（文科）已知函数的导

7、数满足，其中常数（）判断函数的单调性并指出相应的单调区间；（）若方程有三个不相等的实根，且函数在上的最小值为，求实数的值.22（本小题满分12分） （理科）已知函数，为自然对数的底数（）若时，恒有成立，求实数的取值范围（）若，证明：（文科）已知点是直线上的动点，为定点，过点且垂直于直线的直线和线段的垂直平分线相于点（）求点的轨迹方程（）经过点且与轴不垂直的直线与点的轨迹有两个不同的交点，若在轴上存在点，使得为正三形，求实数的取值范围参考答案和评分参考一、选择题（12小题，每小题5分，共60分）（1）B （2）C （3）B （4）A （5）D （6）D（7）D （8）C （9）C （10）B （

8、11）B （12）A二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）（13） （14） （15） （16）三、解答题(6小题，共70分)（17）解：（）设该数列的公差为 4分 5分（）当时，取得最小值 10分（18）解：（） 6分（），且解得：，所以 故 12分解法二：因为，且由余弦定理，得：解得：，所以 12分（19）解：设甲获奖为事件，乙获奖为事件，丙获奖为事件，丙获奖的概率为，则即 解得 3分（）三人中恰有一人获奖的概率： 6分（）三人中至少有2人获奖的概率为： 12分（20）解法一：()证明： 为的中点为正三角形 平面 而平面平面平面6分() 点为的中点 平面 7分过点做，垂足为，连接则，所以为二面角的一个平面角9分 设，则 12分解法二：依题意有，两两垂直且相交于点，故建立如图所示的空间直角坐标系，设则：，（）， 平面 而平面平面平面 6分() 点为的中点 平面为平面的一个法向量设为平面的一个法向量，则有，即 令则， 而 二面角的正切值 12分（21）解：（）因，故，依题意有 解得 3分所以，由得或，由得所以函数在与上单调递增，在上单调递减6分（）由（）知，函数当时取得极大值，当时取得极小值所以当方程有三个不相等的实根时， 8分当时，解得