平面向量的概念及其线性运算

1、高三数学(理)集体备课材料主备人：杨洪亮平面向量的概念及其线性运算第1页共 4 页平面向量的概念及其线性运算、教学目标1、理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念；2、会表示向量；掌握平行向量、相等向量、共线向量的区别和联系；3、灵活运用向量加法运算的三角形法则和平行四边形法则解决向量的加法问题，能利用交换律、结 合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量差 的问题；4、理解实数与向量的积的含义，掌握实数与向量的积的运算律，掌握向量共线、平行的充要条件、重点、难点、易错(混)点、常考点向量加法、减法运算及其几何意义；掌握向量共线(平行)

2、的充要条件及其应用、知识梳理【创新设计P65】四、精选例题+变式训练考点一平面向量的有关概念【例 1】给出下列命题：1若 |a a|=|b b|,贝 U a a= b b；2若 A, B, C, D 是不共线的四点，则3若 a a = b b, b b= c c,贝 U a a = c c；4a a= b b 的充要条件是|a a|= |b b|且 a a / b.b.其中真命题的序号是_.规律揭示:对于向量的概念应注意以下几条：(1) 向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2) 相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行

3、向量则未必是相等向量；(3) 向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.AB = DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件;高三数学(理)集体备课材料主备人：杨洪亮平面向量的概念及其线性运算第2页共 4 页【训练 1】设 a a0为单位向量，若 a a 为平面内的某个向量，则 a a= |a a|a a0;若 a a 与 a a0平行，则 a a =aaaa0;平面向量的概念及其线性运算第3页共 4 页高三数学（理）集体备课材料主备人：杨洪亮若 a a 与 a a0平行且|a a|= 1，则 a a= a a0上述命题中，假命题的序号是 _【训

4、练 2】（2012浙江卷改编）设 a a，b b 是两个非零向量.对于结论：若 |a a + b b|=|a a|b b|,贝 U Ua a 丄 b b;若 a a丄 b b,则|a a+ b b|=|a a| |b b|;若|a a+ b b|= |a a| |b b|,则存在实数入，使得 b b=入 a a;若存在实数入，使得 b b=入 a a，则|a a + b b|=|a a| |b b|.正确结论的序号是 _.考点二平面向量的线性运算【例 2】（2013 四川卷）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O, AB + AD =入 AO, 贝 y y 入=_

5、.f f f fff（2）（2013 泉州模拟）已知 P, A, B, C 是平面内四点，且 PA+ PB + PC= AC,那么 PB=_AP.规律揭示:（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出 来.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用.H T RT-1 t T【训练 1】（1）将OM =3OA-OB -OC写成AM xAB yAC时，实数x y二CD AE（2）如图，在ABC中，DA E

6、B示）1,i己AB =a, AC =b，贝y DE =2（用a与b表C平面向量的概念及其线性运算第4页共 4 页【训练 2】在四边形ABCD中，AB二a2b,BC =-4a-b,CD =-5a-3b，且向量a,b不共线，则四边形ABCD为高三数学(理)集体备课材料主备人：杨洪亮平面向量的概念及其线性运算第5页共 4 页【训练 3】如图，已知点D,E,F分别是:ABC三边AB,BC,CA的中点求证：EAFB= 0.考点三向量共线定理及其应用T T【例 3】 设向量OA,OB不共线，OF = OA，( -R)，求证：点 是规律揭示:(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共

7、线的区别与联系，当两 向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量 a a, b b 共线是指存在不全为零的实数占，心 使片a a+b b= 0 成立，若片a a+b b= 0，当且仅当4=0 时成立，则向量 a a, b b 不共线.【训练 1】(2013 郑州一中月考)设两个非零向量 a a 与 b b 不共线.(1)若 AB = a a+ b b, BC = 2a a+ 8b b, CD = 3(a a b b) 求证：A, B, D 三点共线； 试确定实数 k,使 ka a+ b b和 a a+ kb b 共线.1【训练 2】设a,b是两个不共线的非零向量，t为实数，若a,b起点

8、相同，则t为何值时，a,tb,丄心b)P在直线AB上的充要条件=1.B高三数学(理)集体备课材料主备人：杨洪亮平面向量的概念及其线性运算第6页共 4 页3三个向量的终点在同一直线上.高三数学(理)集体备课材料主备人：杨洪亮平面向量的概念及其线性运算第7页共 4 页是两个任意非零向量)，试求m, n之间的关系五、小结【方法规律、结论的归纳、提升】1.向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、 三角形等，可多记忆一些有关的结论.2对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系.要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b b=启，再结合条件或图形有无公共点证明几