大一高等数学第六章定积分应用习题

1、微微 元元 法法理理 论论 依依 据据名称释译名称释译所求量所求量的特点的特点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式一、主要内容一、主要内容1 1、理论依据、理论依据.)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定积分定积分的微分的的微分的分就是分就是这表明连续函数的定积这表明连续函数的定积于是于是即即的一个原函数的一个原函数是是则它的变上限积分则它的变上限积分上连续上连续在在设设UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa 2 2、名称释译、名称释译.)()(:)()(,)2(方法称微元法方法称微元法计算积分或原函数的计算积分或原函数的

2、这种取微元这种取微元积分积分的无限积累的无限积累到到从从就是其微分就是其微分所求总量所求总量知知由理论依据由理论依据dxxfdxxfUbadxxfdUAba （1）U是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的的量量；（2）U对对于于区区间间 ba,具具有有可可加加性性，就就是是说说，如如果果把把区区间间 ba,分分成成许许多多部部分分区区间间，则则U相相应应地地分分成成许许多多部部分分量量，而而U等等于于所所有有部部分分量量之之和和；（3）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示为为iixf )( ；就就可可以以考考虑虑用用定定积积分分来来表表达达这这个个量量U.3

3、 3、所求量的特点、所求量的特点1)根根据据问问题题的的具具体体情情况况，选选取取一一个个变变量量例例如如x为为积积分分变变量量，并并确确定定它它的的变变化化区区间间,ba；2）设设想想把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，取取其其中中任任一一小小区区间间并并记记为为,dxxx ，求求出出相相应应于于这这小小区区间间的的部部分分量量U 的的近近似似值值如如果果U 能能近近似似地地表表示示为为,ba上上的的一一个个连连续续函函数数在在x处处的的值值)(xf与与dx的的乘乘积积，就就把把dxxf)(称称为为量量U的的元元素素且且记记作作dU，即即dxxfdU)( ；3）以所求量）以所求量U

4、的元素的元素dxxf)(为被积表达式，在为被积表达式，在区间区间,ba上作定积分，得上作定积分，得 badxxfU)(，即为所求量即为所求量U4 4、解题步骤、解题步骤5 5、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积平面图形的面积xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐标情形直角坐标情形abab如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）

5、在在1t,2t（或（或2t,1t）上）上)(tx 具有连续导数，具有连续导数，)(ty 连续连续.参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数 dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122极坐标情形极坐标情形(2) 体积体积xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cdxo badxxAV)(xdxx ab平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积)(xA(3) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx dy弧长弧长dxysba 21A曲线弧为曲线弧为 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt

6、在在, 上上具具有有连连续续导导数数弧长弧长dttts )()(22)(xfy B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为)( )( rr 弧长弧长 drrs )()(22(4) 旋转体的侧面积旋转体的侧面积xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22侧侧(5) 细棒的质量细棒的质量oxdxx )(x xl lldxxdmm00)( (6) 转动惯量转动惯量abxyxdxx o babayydxxxdII)(2 )(为线密度为线密度x (7) 变力所作的功变力所作的功)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(8) 水压力水压力xyoabxdxx

7、 )(xf babadxxxfdPP)( )(为为比比重重 (9) 引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)( . 0 xF)(为引力系数为引力系数G(10) 函数的平均值函数的平均值 badxxfaby)(1(11) 均方根均方根 badxxfaby)(12二、典型例题二、典型例题例例1 1.3;2;1)0(sincos00033体积及表面积体积及表面积体体它绕轴旋转而成的旋转它绕轴旋转而成的旋转它的弧长它的弧长它所围成的面积它所围成的面积求求星形线星形线已知已知 ataytaxa aoyx解解.10A设面积为设面积为由对称性由对称性,有有 aydxA04

8、0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L设设弧弧长长为为由对称性由对称性,有有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtta.6a .,30VS 体积为体积为设旋转体的表面积为设旋转体的表面积为由对称性由对称性,有有 axdxyyS02122 203sincos3sin4tdttata.5122a adxyV022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a 例例2 2?,)2(;)0()1( .至至少少需需作作功功多多少少若若再再将将满满池池水水

9、全全部部抽抽出出面面上上升升的的速速度度时时水水求求在在池池中中水水深深内内注注水水的的半半球球形形水水池池的的流流量量往往半半径径为为以以每每秒秒RhhRa oxyRh解解如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.).0()(222RyRRyx 半半圆圆的的方方程程为为于是对半圆上任一点于是对半圆上任一点,有有).0(2)(2222RyyRyRyRx 时水池内水的体积为时水池内水的体积为为为的球缺的体积即水深的球缺的体积即水深故半球内高为故半球内高为的立体的立体轴旋转而成轴旋转而成圆绕圆绕因已知半球可看作此半因已知半球可看作此半hhy,)1(dyyRydyxhVhh 0202)2()(,th时时

10、已已注注水水的的时时间间为为又又设设水水深深,)(athV 则则有有atdyyRyh 02)2(即即得得求求导导两两边边对对,t,)2(2adtdhhRh 故所求速度为故所求速度为.)2(2hRhadtdh .)2(所所需需的的功功水水全全部部提提升升到到池池沿沿高高度度需需的的最最小小功功即即将将池池内内将将满满池池的的水水全全部部抽抽出出所所的的功功约约为为所所需需降降到到抽抽水水时时使使水水位位从从dyyRyy )0()1(),(2水水的的比比重重 yRdyx,222yRyx 又又.)(2(2dyyRyRydW 即即功功元元素素故将满池水全部提升到池沿高度所需功为故将满池水全部提升到池沿

11、高度所需功为 RdyyRyRyW02)(2( RdyyRyyR0322)32(.44R 例例3 3.,4,20,3050,的的静静压压力力求求闸闸门门一一侧侧所所受受的的水水米米顶顶部部高高出出水水面面如如果果闸闸门门米米高高为为米米米米和和分分别别为为梯梯形形的的上上下下底底如如图图所所示示一一等等腰腰梯梯形形闸闸门门解解xyo164 xdxx AB如图建立坐标系如图建立坐标系,的的方方程程为为则则梯梯形形的的腰腰 AB.2321 xy此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为 160)2321(2dxxgxP 16023)233(xxg )25623409631( g g 67.45

12、22 ).(1043. 47牛牛 一一、 选选择择题题：1 1、 曲曲线线xyln 与与直直线线ex1 ，ex 及及0 y所所围围成成 的的区区域域的的面面积积 S（ ） ；（A A）)11(2e ； （B B）ee1 ；（C C）ee1 ； （D D）11 e . .2 2、曲线、曲线 sin2 r与与 2cos2 r所围图形公共部分所围图形公共部分 的面积的面积 S（ ） ；） ；（A A）23112 ； （B B）41324 ；（C C）21312 ； （D D）2316 . .测测 验验 题题3 3、曲曲线线,cos3 ax 3sinay 所所围围图图形形的的面面积积 S（ ） ； （

13、A A）2323a ； （B B）283a ； （C C）221a； （D D）2161a . .4 4、由球面、由球面9222 zyx与旋转锥面与旋转锥面2228zyx 之之 间包含间包含z轴的部分的体积轴的部分的体积 V( )( )； （A A） 144； （B B） 36； （C C） 72； （D D） 24 . .5 5、用一平面截半、用一平面截半r径径为为的球，设截得的部分球体高的球，设截得的部分球体高 为为)20(rhh 体体V积积为为，则，则 V（ ） ；） ；（A A）)2(32hrh ； （B B）)3(32hrh ；（C C）)2(2hrh ； （D D）)3(42hrh

14、 . . 6 6、曲线、曲线422 xxy上点上点)4,0(0M处的切线处的切线 TM0 与曲线与曲线)1(22 xy所围图形的面积所围图形的面积 S（ ） ；） ； （A A）;49 （B B）94； （C C）1213； （D D）421. .7 7、抛物线、抛物线pxy22 )0( p自点自点)0,0(至点至点),2(pp 的一段曲线弧长的一段曲线弧长L= =（ ） ；） ； (A)(A) pppln)21ln(22 ； (B)(B) )21ln(22212ppp； (C)(C) )21(ln22 pp； (D)(D) )21ln(22 p . .8 8、曲曲线线xhry ，hx 0，轴

15、轴绕绕 x旋旋转转所所得得旋旋转转体体 的的侧侧面面积积 S（ ） ； （A A）22hrr ； （B B）22hrh ； （C C）22hrhr ； （D D）222hrr . .二、在区间二、在区间 e,1内求内求0 x一一点点，使，使,0,ln yxy 1 y及及0 xx 所围成两块面积之和为最小所围成两块面积之和为最小 . .三三 、设设曲曲边边梯梯形形是是由由连连续续曲曲线线)(xfy )0)( xf，轴轴x与与两两直直线线bxax ,所所围围成成的的，求求证证：存存在在直直线线 x ),(ba 将将曲曲边边梯梯形形的的面面积积平平分分 . .四四、求求摆摆线线 )cos1()sin(tayttax，)20( t 1 1、轴轴绕绕 x旋旋转转一一周周所所成成曲曲面面的的面面积积 ； 2 2、轴轴绕绕 y旋旋转转一一周周所所成成曲曲面面的的面面积积 . .五五、有有一一旋旋转转体体，它它由由曲曲线线211xy ，轴轴y，轴轴x以以及及直直线线1 x所所围围成成的的平平面面图图形形轴轴绕绕 y旋旋转转而而成成，已已知知其其上上任任一一点点的的体体密密度度等等于于该该点点到到旋旋转转轴轴的的距距离离，求求它它的的质质量量 . .六六、以以a每每秒秒的的流流量量往往半半R径径为为的的半半球球形形水水池池内内注注水水1 1、 求求在在水水池池