2022年(年编辑)点线面关系知识总结和练习题(有答案)

1、欢迎来主页精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -点线面位置关系总复习学问梳理一、直线与平面平行1.判定方法（ 1）定义法：直线与平面无公共点；a（ 2）判定定理：ba / /ba / / /（ 3）其他方法：aa / /2.性质定理：a / / aa / /bb二、平面与平面平行1.判定方法（ 1）定义法：两平面无公共点；a / / b / /（ 2）判定定理：a/ /babPa（ 3）其他方法：a/ /;a / / / / /2.性质定理：aa / /b b三、直线与平面垂直（ 1）定义：假如一条直线与一个平面内的全部直线都垂直，就这条直线和这个平面垂直；

2、（ 2）判定方法用定义 .精品文档精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - -欢迎来主页精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -abac判定定理 : bbcAac推论 :（ 3）性质aaba / /baabbba / / b四、平面与平面垂直（ 1）定义：两个平面相交，假如它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面相互垂直；a（ 2）判定定理a（ 3）性质l性质定理aallAlPP A垂足为AlPAPPA“转化思想”面面平行线面平行线线平行面面垂直线面垂直线线垂直精品文档精选名师

3、优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - -欢迎来主页精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -求二面角1. 找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2. 在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA l，OB l，就 AOB叫做二面角的平面角例 1如图，在三棱锥 S-ABC中，SA 底面 ABC，AB BC，DE 垂直平分SC，且分别交AC于 D，交 SC于 E，又 SA=AB， SB=BC，求以 BD 为棱，以 BDE和 BDC为面的二面角的

4、度数；求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关学问求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角；例 1： 在棱长都为1 的正三棱锥S ABC中，侧棱SA与底面 ABC所成的角是 例 2：在正方体ABCDA1B1C1D1 中， BC1 与平面 AB1 所成的角的大小是 ； BD1 与平面 AB1 所成的角的大小是 ； CC1与平面 BC1D 所成的角的大小是 ；BC1 与平面 A1BCD1 所成的角的大小是 ；精品文档精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，

5、共 15 页 - - - - - - - - - -欢迎来主页精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -BD1 与平面 BC1D 所成的角的大小是 ；例 3：已知空间内一点O 动身的三条射线OA、OB、OC 两两夹角为60，试求 OA 与平面 BOC所成的角的大小求线线距离说明： 求异面直线距离的方法有：1 （直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键2（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a 、 b 距离，先作出过a 且平行于 b 的平面，就b 与距离就是 a 、 b 距离（线面转化法） 也可以转

6、化为过a 平行 b 的平面和过b 平行于 a 的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离（面面转化法）3 （体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求4 （构造函数法）经常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会运算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求例： 在棱长为 a 的正方体中，求异面直线BD 和B1C 之间的距离；线面平行（包括线面距离）精品文档精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - -

7、欢迎来主页精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -例 ：已知点 S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SASBSC ， SG 为SAB 上的高， D 、 E 、 F分别是 AC 、 BC 、 SC 的中点，试判定SG与平面 DEF 内的位置关系，并赐予证明面面平行（包括面面距离）例 1： 已知正方体ABCDA1B1C1 D1，求证平面 B1AD1 / / 平面 BC1D例 2： 在棱长为 a 的正方体中，求异面直线BD 和 B1C 之间的距离面面垂直精品文档精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - -

8、- - - - - -欢迎来主页精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -例 1： 已知直线PA 垂直正方形ABCD所在的平面， A 为垂足；求证：平面PAC 平面 PBD；例 2： 已知直线PA 垂直于O 所在的平面，A 为垂足， AB 为O 的直径， C 是圆周上异于A、B 的一点；求证：平面 PAC 平面 PBC；课后作业：一、挑选题1.教室内任意放一支笔直的铅笔，就在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线A. 平行B. 相交C. 异面D. 垂直2.如 m、n 是两条不同的直线，、 、是三个不同的平面，就以下命题中的真命题是A. 如 m. ， ，就 m B

9、. 如 m， n，m n，就 C. 如 m ， m ，就 D. 如 ， ，就 3. 改编题 设 P 是 ABC 所在平面外一点，P 到 ABC 各顶点的距离相等，而且 P 到 ABC 各边的距离也相等，那么 ABCA. 是非等腰的直角三角形B. 是等腰直角三角形C. 是等边三角形精品文档精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - -欢迎来主页精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -D. 不是 A 、B、C 所述的三角形4.把等腰直角 ABC 沿斜边上的高AD 折成直二面角BAD C，就

10、 BD 与平面 ABC 所成角的正切值为23A.2B.2C.1D.35.如图，已知 ABC 为直角三角形，其中ACB 90，M 为 AB 的中点， PM 垂直于 ACB 所在平面，那么A. PAPBPC B.PAPBPC C.PAPBPCD. PAPBPC二、填空题：6. 正四棱锥 S ABCD 的底面边长为2，高为 2，E 是边 BC 的中点， 动点 P 在表面上运动， 并且总保持PE AC，就动点 P 的轨迹的周长为.7. 、是两个不同的平面，m、n 是平面 及 之外的两条不同直线，给出四个论断： m n； n； m .以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题

11、：.三、解答题11.如图 1 ，等腰梯形ABCD 中， AD BC， AB AD， ABC 60， E 是 BC 的中点，如图 2 ，将 ABE 沿 AE折起，使二面角B AE C 成直二面角，连接BC，BD， F 是 CD 的中点， P 是棱 BC 的中点 .1 求证： AE BD；2 求证：平面 PEF 平面 AECD ；3 判定 DE 能否垂直于平面 ABC ？并说明理由 .12. 如图，已知 PA矩形 ABCD所在平面；M , N分别是AB, PC的中点；（1）求证： MN面PAD（2）求证： MNCD（3）如精品文档PDA45O ,求证： MN面PCD精选名师 优秀名师 - - -

12、- - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - -欢迎来主页精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -12.如下列图，已知BCD 中， BCD 90，BCCD 1，AB平面 BCD， ADB 60，E、F 分别是 AC、AD上的动点，且AE AF 01.ACAD1 求证：不论为何值，总有平面BEF 平面 ABC；2 当 为何值时，平面BEF平面 ACD？13.如图，在矩形ABCD 中， AB 2BC， P、Q 分别为线段AB、 CD 的中点， EP平面 ABCD .1 求证： DP 平面 EPC ；的值2 问在 EP上是否

13、存在点F 使平面 AFD平面 BFC？如存在，求出FP.AP精品文档精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - -欢迎来主页精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -参考答案求二面角分析 :找二面角的平面角,有一种方法是找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.解：在 RtSAC中， SA=1， SC=2， ECA=30，在 RtDEC中， DEC=90， EDC=60， 所求的二面角为60；求线线距离解法 1：（直接法）如图：取 BC 的中点 P

14、 ，连结 PD 、 PB1 分别交 AC 、 BC1 于 M 、 N 两点，易证：DB1 / MN ，DB1AC ，DB1BC1 MN1 DB3 a MN 为异面直线AC 与BC1 的公垂线段，易证：133小结： 此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解但通常查找公垂线段时，难度较大 解法 2：（转化法）如图：精品文档精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - -欢迎来主页精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - - AC / 平面A1C1B ， AC 与 BC1 的距离等于A

15、C 与平面 A1C1B 的距离，在 RtOBO1 中，作斜边上的高OE ，就 OE 长为所求距离，OB22a， OO1a ，O1 B3 aOE2，OO1 OB3 a O1 B3小结： 这种解法是将线线距离转化为线面距离 解法 3：（转化法）如图：平面ACD1/ 平面A1C1B ， AC 与 BC1 的距离等于平面ACD1 与平面A1C1B 的距离 DB1平面 ACD1 ，且被平面ACD1 和平面A1C1 B 三等分；所求距离为13B1Da33小结： 这种解法是线线距离转化为面面距离 解法 4：（构造函数法）如图：精品文档精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 10 页，共

16、 15 页 - - - - - - - - - -欢迎来主页精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -任取点 QBC1 ，作 QRBC 于 R 点，作 PKAC 于 K 点，设 RCx，就 BRQRax ， CKKR ，且KR 2CK 2CR2KR21 CR221 x22QK 2就1 x22ax232212 xaa 2331 a 23，3 a故 QK 的最小值，即AC 与 BC1 的距离等于3小结： 这种解法是恰当的挑选未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离解法 5：（体积桥法）如图：当求 AC 与1BC1 的距离转化为求AC

17、 与平面A1C1B 的距离后，设C 点到平面A1C1B 的距离为 h ，就 VC11A C BV ABCC 11 h3 34h3 a2a 21a1 a232，3 a3即 AC 与 BC1 的距离等于3小结： 本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高，然后用体积公式求之这精品文档精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - -欢迎来主页精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -种方法在后面将要学到线面平行例：分析 1：如图，观看图形，即可判定SG / 平面 DE

18、F ，要证明结论成立，只需证明SG与平面 DEF 内的一条直线平行观看图形可以看出：连结CG 与 DE 相交于 H ，连结 FH ， FH 就是适合题意的直线怎样证明SG / FH？只需证明H 是 CG 的中点证法 1： 连结 CG 交 DE 于点 H ， DE 是ABC 的中位线， DE / AB 在ACG 中， D 是 AC 的中点，且DH /AG ， H 为 CG 的中点 FH 是SCG的中位线，FH / SG 又 SG平面 DEF， FH平 面 DEF ， SG / 平面 DEF 分析 2： 要证明SG/ 平面 DEF，只需证明平面SAB / 平面 DEF，要证明平面DEF/ 平面 S

19、AB，只需证明SA/ DF， SB/ EF 而 SA/ DF， SB /EF 可由题设直接推出证法 2： EF 为SBC 的中位线， EF / SB EF平面 SAB， SB平面 SAB， EF / 平面 SAB同理：DF / 平面 SAB， EFDFF ，精品文档精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - -欢迎来主页精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -平面 SAB / 平面 DEF ，又 SG平面 SAB， SG / 平面 DEF 面面平行例一：证明： ABCD - A1B1

20、C1 D1 为正方体， D1 A / C1B ，又C1B平面 C1BD ，故 D1A / 平面 C1 BD 同理D1B1 / 平面 C1BD 又 D1 AD1B1D1 ， 平 面AB1D1 / 平面C1BD 例二：依据正方体的性质，易证：111BD / B1D1平面A BD / 平面CB DA1B / D1C连结 AC1 ，分别交平面A1BD 和平面CB1 D1 于 M 和 N由于 CC1 和 AC1 分别是平面ABCD 的垂线和斜线，AC 在平面 ABCD 内， ACBD由三垂线定理：AC1BD ，同理：AC1A1 D AC1平面 A1 BD ，同理可证：AC1平面 CB1 D1平面A1BD 和平面CB1