大一下学期高等数学期中考试试卷与答案

1、WORD格式大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题此题总分值15 分，共有 5 道小题，每道小题 3 分，请将适宜的答案填在空中。1、球面的一条直径的两个端点为2， 3，5 和 4，1，3 ，那么该球面的方程为 _2、函数uln( xy2z2 ) 在点 A(1,0,1) 处沿点A指向点 B(3,2,2) 方向的方向导数为3、曲面 zx2y2与平面2 x 4 yz0 平行的切平面方程为4、lim(1cos(x2y2 )sin xy222 x2 y2( x, y ) (0,0)(xy ) e5、设二元函数 zxy2x3 y ，那么2 z_x y二、选择填空题此题总分值 15 分，共有 5 道小

2、题，每道小题3 分。以下每道题有四个答案， 其中只有一个答案是正确的，请选出适宜的答案填在空中，多项选择无效。1、旋转曲面 x2y2z21是专业资料整理WORD格式（ AOzx（ BxOy（ CxOy（ DOzx坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成；坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成；坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成；坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成专业资料整理WORD格式2、微分方程 y y 2 x cos x3x 2的一个特解应具有形式其中 a1 ,b1 , a2, b2 ,d1 , d 2 , d 3都是待定常数 .(A). x(a1xb1 ) cos xx(a2 xb2 ) sin x

3、d1 x 2;(B). x(a1xb1) cos xx(a2 xb2 ) sin xd1x2d2 x d3;(C). x(a1xb1)(a2 cos x b2 sin x)d1x2d2xd3;(D). x(a1xb1 )(cos xsin x)d1 x 2d 2 xd 3专业资料整理WORD格式3、直线L :x 2 y1z与平面: x2 yz4,那么222(A). L在内 ;(B). L与不相交 ;(C). L与正交 ;(D). L与斜交 .4、以下说法正确的选项是(A) 两向量 a 与 b 平行的充要条件是存在唯一的实数，使得 ba ；(B) 二元函数 z f x , y 的两个二阶偏导数2

4、 z,2 z在区域 D内连续，那么在该区x2y2域内两个二阶混合偏导必相等；(C) 二元函数 z f x , y 的两个偏导数在点 x0 , y0处连续是函数在该点可微的充分条件 ；(D) 二元函数 z f x , y 的两个偏导数在点 x0 , y0处连续是函数在该点可微的必要条件 .5、设zf (2 xy, x 2y), 且 f22 zC即函数具有连续的二阶连续偏导数 ，那么x y(A) 2 f112 f 223 f12;(B) 2 f11f 223 f12;(C) 2 f11f225 f 12;(D) 2 f112 f22f12.三、计算题本大题共29 分1、此题13分计算以下微分方程的

5、通解。(1)6分y1xy2xy2(2)7 分y3 y2yxe2 x专业资料整理WORD格式2、此题8 分设zuv 2t cos u， uet， vln t，求全导数dz 。专业资料整理WORD格式dt专业资料整理WORD格式2 x22 y 的极值。3、此题8分求函数 f x, y e x y四、应用题此题 8分1 、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x 台和y台，本钱函数为c( x, y) x22 y2xy万元假设市场调查分析， 共需两种机床 8 台，求如何，安排生产使其总本钱最少？最小本钱为多少？专业资料整理WORD格式五、综合题本大题共21 分yzxz1、此题 10 分直线l1：bc1

6、， l2：ac1，求过 l1且平行于 l 2的x0y0平面方程 2、 本 题11分 设 函 数 f ( x, y, z) ln x ln y 3ln z在 球 面x2y2z25R(2x0 ,y 0 上,求z一0点)，使函数f (x, y, z)取到最大值专业资料整理WORD格式六、证明题此题共12 分专业资料整理WORD格式1、设函数uxk Fz,y，其中k 是常数，函数F具有连续的一阶偏导数试专业资料整理WORD格式xx专业资料整理WORD格式证明 : xuyuzukx k Fz ,y专业资料整理WORD格式xyzxx专业资料整理WORD格式第二学期高等数学期中考试试卷答案一、 填空题此题总

7、分值15 分，共有 5 道小题，每道小题3 分1.、x 32y 1 2z 1 2212、1 23、2 x4 yz 5 0 4、05、2 y3x2；二、选择填空题此题总分值15 分，共有 5 道小题，每道小题3 分1A2B3C4C5A三、计算题本大题共29 分1、 1解：将原微分方程进展别离变量，得：dy(1 x)dxy21专业资料整理WORD格式上式两端积分得dyarctan y(1x)dxxx2cy221即： arctan yxx2c 其中c为任意常数2 2解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为r 23r20, 特征根为 r1 1,r2 2, 于是，该齐次方程的通解为Y C1x C2e2x

8、, 因2 是特征方程的单根 ， 故可 设题 设 方程 的 特 解： y*x(b0 xb1 )e2x . 代 入 题设 方程,得2b0 x b1 2b0 x, 比较等式两端同次幂的系数,得 b01b11,2于是，求得题没方程的一个特解y*x( 1 x 1)e2x.2从而，所求题设方程的通解为 yC1exC2e2 xx(1x1)e2x .22、解：zuv2t cosuv2t sin u ，uuz2cos2，zuuvtucosvuvtv依复合函数求导法那么，全导数为dzzduzdvzdtdtudtvdttdtv 2t s i nu et2uv 1utc o s 1ln 2tt sin etet2 e

9、tln tc o sett3 、解：解方程组f x x, ye2 x 2x 2y 24 y 1 0，得驻点1 , 1。由于f y x, ye2x2 y 202A f *x, y2 xxy22 y1，Bf xyxy4 2 xy1，Cf yy x, y2 x4ee2e在点 1, 1处，A2e0 ，B0 ，C2e，ACB 24e2，所以函数在点1, 122处取得极小值，极小值为f1, 1e 。22专业资料整理WORD格式四、应用题此题 8 分专业资料整理WORD格式1、解：即求本钱函数c x,y 在条件xy8 下的最小值构造辅助函数Fx, yx22 y 2xy(x y 8)Fx2xy0解方程组F y

10、x4 y0Fxy 80解得7, x5, y 3这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5 台和 3 台时，总本钱最小，最小本钱为：c(5,3)522325328万五、综合题本大题共21 分1、解：直线l1与l2的方向向量分别为s10，1，11，0，00，1，1 ，bccbs1 ， ，1， ，01，1，20c01c0aa作n ss1 ，1 ，1，12cabcc2取直线 l1上的一点 P1 0， 0， c ，那么过点 P1且以n1 ，1 ，12为法向cabcc量的平面 xyz10，abc就是过 l1且平行于 l 2的平面方程2、解：设球面上点为( x, y, z) 令 L( x, y,

11、 z, ) ln xln y3ln z( x2y 2z25R2)，Lx12 x 0, Ly12 y 0, Lz12 z 0, Lx2y 2z25R20xy3z由前三个式子得 x2y2z2，代入最后式子得x yR, z3R 由题意得3f ( x, y, z)在球面上的最大值一定存在，因此唯一的稳定点(R, R,3R)就是最大值点，最大值为 f ( R, R, 3R)ln(33R5) 专业资料整理WORD格式六、证明题此题共12 分 1、证明：专业资料整理WORD格式uk 1zykzyzkzyyxkxFx ,xxF1 x,xx 2xF2 x,xx2kx k 1F z ,yzxk 2 F1z ,yyx k 2 F