二次函数的三种表达形式

1、二次函数的三种表达形式：一般式：y=ax2+bx+c(aw0,a、b、c为常数),顶点坐标为2,而把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值.顶点式：y=a(x-h)2+k(a0,a>h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h时,y最值二k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式.例：二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式.解：设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2.注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶

2、点式中,h>0时,h越大,图像白对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移.具体可分为下面几种情况：当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h<0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k&

3、gt;0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|川个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k<0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|川个单位,再向下移动凶个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象.交点式：y=a(x-xi)(x-x2)(a0)仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线,即b2-4ac>0.抛物线与x轴即y=0有交点A(xi,0)和B(x2,0),我们可设y=a(x-xi)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a.由一般式变为交点式的步骤：二次函数,.xi+x2=-b/a,xi?x2=c/a(由韦达定理得),.y=ax2+bx+c=

4、a(x2+b/ax+c/a)=ax2-(xi+x2)x+xi?X2=a(x-xi)(x-x2).重要概念：a,b,c为常数,aw0,且a决定函数的开口方向.a>0时,开口方向向上；a<0时,开口方向向下.a的绝对值可以决定开口大小.a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大.能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题.二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2+bx+c(其中a,b,c为常数,且aw0)而言,其中含有三个待定的系数a,b,c.求二次函数的一般式时,必须要有三个独立的定量条件,来建立关于a,b

5、,c的方程,联立求解,再把求出的a,b,c的值反代回原函数解析式,即可得到所求的二次函数解析式./1 .巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y=a(xxi)(xX2)(a刈)xi,X2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标.抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时,用交点式比拟简便.典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标,和第三个点,可求出函数的交点式.例：抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1,且通过点(2,8),求二次函数的解析式.点拨：解设函数的解析式为y=a(x+2)(x-1),;过点(2,8),.8=a(2+2)(2-1).解得a=2,抛物线的解析式为：y=2(x+2)(x

6、-1),即y=2x2+2x-4.典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴,可利用抛物线的对称性求解.例：二次函数的顶点坐标为3,-2,并且图象与x轴两交点间的距离为4,求二次函数的解析式.点拨：在抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下,问题比拟容易解决.由顶点坐标为3,-2的条件,易知其对称轴为x=3,再利用抛物线的对称性,可知图象与x轴两交点的坐标分别为1,0和5,0.此时,可使用二次函数的交点式,得出函数解析式.2 .巧用顶点式：顶点式y=axh2+ka*0,其中h,k是抛物线的顶点.当抛物线顶点坐标或对称轴,或能够先求出抛物线顶点时,设顶点式解题十分简洁,由于其中只有

7、一个未知数a.在此类问题中,常和对称轴,最大值或最小值结合起来命题.在应用题中,涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时,一般用顶点式方便.典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标,直接可以解出函数顶点式.例：抛物线的顶点坐标为-1,-2,且通过点1,10,求此二次函数的解析式.点拨：解.顶点坐标为(-1,-2),故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2(aw0).把点(1,10)代入上式,得10=a(1+1)2-2.a=3o一二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2,即y=3x2+6x+1.典型例题二：七4R占X=_ii:_如果a>0,那么当2口时,y有最小值且y最小=44;h41白

8、-七"x=-如果a<0,那么,当乙堂时,y有最大值,且y最大=4段0告诉最大值或最小值,实际上也是告诉了顶点坐标,同样也可以求出顶点式.例：二次函数当x=4时有最小值一3,且它的图象与x轴两交点间的距离为6,求这个二次函数的解析式.点拨：析解二次函数当x=4时有最小值一3,顶点坐标为4,-3,对称轴为直线x=4,抛物线开口向上.由于图象与x轴两交点间的距离为6,根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是1,0和7,0.抛物线的顶点为4,-3且过点1,0.故可设函数解析式为y=ax423.将1,0代入得0=a1-42-3,解得a=13.y=13x-42-3,即y=13x2

9、83x+73.典型例题三：告诉对称轴,相当于告诉了顶点的横坐标,综合其他条件,也可解出.例如：1二次函数的图象经过点A3,-2和B1,0,且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式.2关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1,图象交y轴于点0,2,且过点-1,0,求这个二次函数的解析式.3抛物线的对称轴为直线x=2,且通过点1,4和点5,0,求此抛物线的解析式.(4)二次函数的图象的对称轴x=-4,且过原点,它的顶点到x轴的距离为4,求此函数的解析式.典型例题四：利用函数的顶点式,解图像的平移等问题非常方便.例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图像的解析式是y=