信号与系统论文

1、信号与系统论文目录11.0、信号与系统的简介21.1、 信号与系统的分析方法21.2、 信号的分类61.2.1、 连续信号与离散信号61.2.2、 周期信号与非周期信号81.2.3、 实信号与复信号91.2.4、 导数和积分121.3、 里叶与信号的关系131. 3.1傅里叶系数与波形对称性的关系131.4拉普拉斯变换141.4.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换15第1页共16页信号与系统是通信和电子信息类专业的核心根底课,其中的概念和分析方法广泛应用于通信、自动限制、信号与信息处理、电路与系统等领域.1.0信号与系统1.0.1信号的概念消息(Message)人们常常把来自外界的各种报道统称为消

2、息.消息涉及的内容极其广泛,包括天文、地理、现实、历史、政治、经济、科技、文化等.消息可以通过书信、电话、播送、电视、互联网等多种媒体或方式进行发布和传输.信息(Information)通常把消息中有意义的内容称为信息.人们关注消息的目的是为了获取和利用其中包含的信息.在本课程中对“信息和“消息两词未加严格区分.信号(Signal)为了有效地传播和利用消息,常常需要将消息转换成便于传输和处理的信号.信号是消息的教体,一般表现为随时间变化的某种物理量.根据物理量的不同特性,可把信号区分为声信号、光信号、电信号等不同类别.在各种信号中,电信号是一种最便于传输、限制与处理的信号.同时.,在实际应用中

3、,许多非电信号常可通过适当的传感器变换成电信号.因此,研究电信号具有重要意义.在本课程中,假设无特殊说明,信号一词均指电信号.第2页共16页1.1 信号与系统的分析方法信号与系统是为完成某一特定功能而相互作用、不可分割的统一整体.为了有效地应用系统传输和处理信息,就必须对信号、系统自身的特性以及信号特性与系统特性之间的相互匹配等问题进行深入研究.本课程概要介绍信号与系统的分析方法,以便读者对信号与系统的分析思想和方法有一初步了解.信号分析是研究信号的描述、运算、特性以及信号发生某些变化时其特性的相应变化.信号分析的根本目的是揭示信号自身的特性,例如确定信号的时域特性(time-domainch

4、aracterization)与频域待性(frequency-domaincharacterization),随机信号的统计特性等.实现信号分析的主要途径是研究信号的分解,即将一般信号分解成众多根本信号单元的线性组合,通过研究这些根本信号单元在时域或变换域的分布规律来到达了解信号特性的目的.由于信号的分解可以在时域进行,也可以在频域或复频域进行,因此信号分析的方法也有时域方法、频域方法和复频域方法.即)在信号的时域分析中,采用单位冲激信号或(unitimpulseresponse)S(k)3(2)单位脉冲序列,作为根本信号,将连续时间信号表示为的加权积分,3付将离散时间信号表示的加权和,它们分

5、别是一种特殊的卷积积分(convolutionintegral)运算与卷积和(convolutionsum)运算.这里,通过根本信号单元的加权值随变量t(或k)的变化直接表征信号的时域特性.产产:在信号的频域分析中,采用虚指数信号或作为根本信号,将连续/必产时间(或离散时间)信号表示为(或)的加权积分(或加权和).这就导第3页共16页致了傅立叶分析的理论和方法.这里,通过各根本信号单元振幅(或振幅密度)、相位随频率的变化(即信号的频谱)来反映信号的频域特性.在复频域分析信号时,那么采用复指数信号()或()一户作为根本信号,将连续时间(或离散时间)信号表示为(或)的加权积分(或加权和),相应导出

6、了拉普拉斯变换与Z变换的理论和方法.系统分析的主要任务是分析给定系统在鼓励作用下产生的响应.其分析过程包括建立系统模型;用数学方法求解由系统模型建立的系统方程,求得系统的响应.必要时.,对求解结果给出物理解释,赋予一定的物理意义.就本书所研究LTI系统而言,由输入输出模型建立的系统方程是一个线性常系数的微分方程(linearconstant-coefficientdifferentialequation)或差分方程(differenceequation);由状态空间模型建立的状态方程是一阶线性微分方程组或差分方程组,输出方程是一组代数方程.在系统方程或系统输出响应的求解方面,根据系统理论,一般

7、先求出系统的零输入响应和零状态响应;然后将它们叠加,得到系统的完全响应.设系统的初始观察时刻,如果将系统的初始状态看成另一种历史输入信号,那么,零0=0枚矽£>0输入响应是历史输入信号作用于系统后在t时刻所产生的响应；而零状态响应是0,t区间的当前输入信号作用于系统后在t时刻所产生的响应.就系统分析方法而言,两者没有本质上的差异.所以,系统分析问题可以归结为系统在当前输入作用下其零状态响应的求解问题,也就是松弛系统在鼓励作用下输出响应的求解问题.第4页共16页分析LTI松弛系统的根本思想是先将鼓励信号分解为众多根本信号单元的线性组合,求出各根本信号单元通过系统后产生的响应分量,

8、再将这些响应分量叠加起来得到系统在鼓励信号作用下的输出响应.与信号分析类似,系统分析也有相应的时域分析法、频域分析法和复频域分析法.施在LTI系统的时域分析中,将输入信号分解成冲激信号或脉冲序列了单元的线性组合,只要求出根本信号或作用下系统的响应,就可根据系统的线性和时不变特性确定各冲激信号或脉冲序列单元作用下系统的响应分量,再将这些响应分量叠加求得系统在鼓励下的输出响应.这就产生了系统响应的卷积积分和卷积和计算方法.在频域分析中,把输入信号分解为虚指数信号或单元的线性组合,只要求出根本信号或J版cJQE作用下系统的响应,再由系统的线性、时不变特性定各虚指数信号单元作用下系统的响应分量,并将这

9、些响应分量叠加,便可求鼓励下的系统响应,了“这就是傅立叶分析Fourieranalysis的思想.在复频域分析中,用复指数信号或作为根本信号,将输入或分解为复指数信号单元的线性组合,其系统响应表示为各复指数信号单元作用下相应输出的叠加,这就是应用拉普拉斯变换和Z变换的系统分析方法.综上所述,LTI系统分析的理论根底是信号的分解特性和系统的线性、时不变特性.实现系统分析的统一观点和方法是:鼓励信号可以分解众多根本信号单元的线性组合;系统对鼓励所产生的零状态响应是系统对各根本信号单元分别作用时相应响应的叠加；不同的信号分解方式将导致不同的系统分析方法.在统一观点下,传统的数字变换工具被赋予了明确的

10、物理意义.同时说明,无论是连续第5页共16页时间系续还是离散时间系统的变换域分析法在大质上也都是属于“时域的分析方法,所有系统分析方法都是在使用某种根本信号进行信号分解的条件下导出的符合逻辑的必然结果.根据信号与系统的不同分析方法,全书内容根据先确定信号通过线性系统,后随机信号通过线性系统;先输入输出分析,后状态空间分析,后离散系统分析;先时域分析,后变化域分析;先信号分析,后系统分析的方式依次展开讨论.作为本课程的主体内容,连续信号、系统分析理论与离散信号、系统分析理论之间,既保持体系上的相对独立,乂表达了内容上的并行特点.本书希望在全面系统地介绍“信号与系统课程理论体系的同时,能够进一步揭

11、示出各种分析方法之间的内在联系和本质上的统一性.1.2 信号分类1.2.1连续信号(Continuoussignal)与离散信号(Discretesignal)连续时间信号如图L17(a)所示,它的描述函数的定义域是连续的.离散时间信号的描述函数的定义域是某些离散点的集合,如图Lbl(b)所示的离散时间信号f(n),函数只是在某些离散点上才有定义.这些离散点在时间轴上可以均匀分布,也可以不均匀分布.离散信号可以是连续信号的抽样信号如图L2所示是在各了(感)了(附)"(£)月点的值并称为的抽样信号.叫作抽样周期(samplingperiod)相应的成为抽样频率.常将简记为那么

12、暗含在中.n表示各函数值的序号离散时间信号是一组序列值的集合.1/7；/(附囚)/(n)力图1-2连续信号与抽样信号第7页共16页并非所有的离散时间信号都是连续信号的抽样信号(samplingsignal).如人口的年平均出生率纽约股票市场每天的Dow-Jones指数等就是这样的离散时间信号.假设离散时间信号的取值为有限的离散值那么称此信号为数字信号(digitalsignal),如图1.1-3,01.2.2周期信号(Periodicsignal)和非周期信号(Nonperiodicsignal)连续信号,假设存在T0,使得八")=用r为整数(1.1-1)离散信号,假设存在大于零的整

13、数使得fb+M=/(«)Nr为整数(1.1-2)那么称为周期信号.T,N分别为与的周期.%)%)/(2/马显然,假设知道了周期信号一个周期内的变化过程,就可以确定整个定义域内的信号取值.第8页共16页通常把连续信号的范围叫做主值区间；相应地,离散信号在0、-1的范围叫做主值区间.例如,把周期信号在主值区间的序列记为那么有J与侬Q<n<N-l沏10其它1.1-3CO%甩=胤+力vy=xo和r为整数1.1-4从式1.1-4可见,周期信号可以看成是主值区间信号的周期拓延工式"x咒1.2.3实信号Realsignal和复信号Complexsignal物理可实现的信号常常

14、是时间t或k的实函数或序列,其在各时刻的函数或序列值为实数.例如,单边指数信号,正弦信号正弦与余弦信号二者相位相差,在本课程中通称为正弦信号等,称它们为实信号.函数或序列值为nr2第9页共16页复数的信号称为复信号complexsignal,最常用的是复指数信号complexexponentialsignalo连续时间的复指数信号可表示为=e=颂=/cos侬+sindt式中复变量S=.+j3,.是s的实部,记作Res,3是s的虚部,记作Imso根据欧拉公式Euler'sformula可展开为ft=幽二砌=£COS侬+初出sindt可见,一个复指数信号可分解为实部、虚部两局部,

15、即Re/(t)=产co§3)Im/(0=sin(fi)两者均为实信号,而且是频率相同振幅(amplitude)随时间变化的正(余)弦振荡(sinusoidal(cosinoidal)oscillation)os的实部.表征了该信号振幅随时间变化的状况,其虚部3表征了其振荡角频率.假设.0,那么是增幅振荡;假设.0,那么是衰减振荡；当.二0时是等幅振荡.下列图画出了三种.取不同值时,实部信号Ref(t)的波形.信号波的波形与Ref(t)的波形相似,只是相位相差.当3二0时,复nr20t指数信号就成为实指数信号e.如果.=3二0,那么这时就成为直流信号(directcurrenctsig

16、nal)o可见,指数信号概括了许多常用的信号.复指数信号的重要特征之一是它对时间的导数和积分仍然是复指数信号.ot复指数函数的实部ecos(3t)离散时间的复指数序列可表示为f付=/»那用=产册=伙a=/式中.上式可展开为f(!c)=q上cos(闹+jdsin(您)其实部、虚局部别为Re/=akcos(吃Im4&)=aksin(13k)下列图画出了a的三种不同取值时,复指数序列实部的波形.第11页共16页1.2.4导数和积分连续信号是t的连续函数,故可对它进行导数(derivative)或微分(differential)运算,x(t)的一阶微分表示为W)=()=也dd离散信号

17、时间变量,是整数,所以,对离散信号没有微分运算(differentialoperation),但存在差分运算(differenceoperation),这一点下节将会详细讲述(由微分概念可知,微分信号x'(t)在时刻t的信号值,等于x(t)在该时刻的变化率.此外还可以定义x(t)的高阶微分(differentialofhigherorder),即y(fi=铲)(f)尸第12页共16页对连续时间信号x(t)也可以进行积分运算(interaloperation)(离散信号没有积分运算)而,x(t)的一次积分定义为尸二五(力二武力4香这个积分运算通常称为滑动积分(runninginteral

18、),简称积分(一个信号滑动积分后产生一个新的信号,它在t时刻的信号值等于原信号在区间(-?,t)内波形所围的面积(当然,还可以定义屡次积分、«)=二口二:,d(a),%L3傅里叶系数与信号的关系1.3.1傅里叶系数与波形对称性的关系%)一、为偶函数一纵轴对称%即如下列图秒)4f-斯=曲/C%=0,12勾=0,八、.T/l/TX傅里叶系数：4=kJ*=oi2限=期状初为整数)"且有：第13页共16页为奇函数一原点对称二、即如下列图砂)跖=0,纤1nMe纯",傅里叶系数:4二瓦I,网二空文侬为整数)且有：1.4拉普拉斯变换(Laplacetransform)L4.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换一个信号f(t)假设满足绝对可积条件,那么其傅里叶变换一定存在.例如,-ate£(t)(a0)就是这种信号.假设f(t)不满足绝对可积条件,那么傅里叶变换不一定存在.例如,信号£(t)在引入冲激函数后其傅里叶变换存在,而信.1.1:号0£()(