考研数学概率论辅导讲义

1、)考研数学概率论辅导讲义主讲：马超s)第二章随机变量及其分布第一节基本概念1、概念网络图；基本事件切随机事件A:P(A):随机变量X(o)L:a<XWbL:F(b)-F(a)J离散型泊松分布超几何分布分布函数：F(x)=P(XWx)T八大分布几何分布j函数分布，指数分布正态分布2、重要公式和结论(1)离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的可能取值为X(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=Xk)=pk,k=1,2,，则称上式为窗放型随机变重X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：X|M,X2，Xk,P(X=xk)p1,p2,，pk,。显然分布律应满

2、足卜列条件：Q0Zpk=1(1)pk-0,k=1，2,，(2)k，。(2)连续型随机变量的分布密度设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x),对任意实数X,有XF(x)=LJ(X)dX则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有卜面4个性质：1。f(x)>0Off(x)dx=1N-2o(3)离散与连续型随机变量的关系P(X=x)定P(x<XEx+dx)定f(x)dx积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与p(X=xk)=pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函

3、数F(x)=P(X<x)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a<XMb)=F(b)F(a)可以彳#到X落入区间(a,b的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间(-8,x内的概率。分布函数具有如下性质：1°0<F(x)<1,O0<x<+R；2F(x)是单调/、减的函数，即xi<x2时，有F(xi)EF(x2)；3F(-oo)=limF(x)=0,F(+g)=limF(x)=1;4。 F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的；5。 P(X=x)=F(x)F(x0)。对于离散型随机变量，F(x)=£pk；xk<

4、;xx对于连续型随机变量，F(x)=f(x)dx。-nd(5)八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X,则X可能取值为0,1,2，n。_kknkP(X=k)=Pn(k)=Cnpq,其中q=1-p,0<p<1,k=0,1,2,，n,则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为XB(n,p)o当n=1时，P(X=k)=pkqj,k=0.1,这就是(0-1)分布，所以(0-1)分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为kP(X=k)=eA,九>0,k-0,1,2，k!则称随

5、机变量X服从参数为九的泊松分布，记为Xn(九)或者P(X)o泊松分布为二项分布的极限分布(np=入，n-8)。超几何分布口八CM*Cnlk=0,1,2lP(X-k)-n,CNl=min(M,n)随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布P(X=k)=qk_1p,k=1,2,3，其中p>0,q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量X的值只落在a, b内，其密度函数f(x)在a, b，一 1上为常数 1.即b - aa< x< bf (x) = b - a， 0,其他，则称随机变量 X在a, b上服从均匀分布，

6、记为 XU(a, b)。 分布函数为0,x<a,x -axb b -aa<x< bF(x)= 11f(x)dx= I,1,x>b。当awxi<xzwb时，X落在区间(xi，x2)内的概率为x2 一 x1P(x1 <X <x2)=-ob - a指数分布其中九A0,则称随机变量X服从参数为九的指数分布。X的分布函数为xx1-e,F(x)=1I0,x>0x<0。记住积分公式：-bexnedx=n!0正态分布设随机变量X的密度函数为13f(x)=de",-g<x<+比，<2ncr其中N、仃>0为常数，则称随机变量X

7、服从参数为卜、仃2、的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为XN(,0)。f(x)具有如下性质：1 。f(x)的图形是关于x=对称的；2 当x=R时，f(R)=为最大值；2v12ncr若XN(1，。)x,地要的分布函数为F(x)(e2仃dt参数卜-0、仃=1时的正态分布称为标准止态分布，记为XN(0,1),其密度函数记为中(x)=4e242n,_妙<x<+s,分布函数为1 x-2(x)-s一Je2dt。J2n皿(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。1(-x)=1-(x)且(0)=0一一X-2如果XN(巴。2),则N(0,1)oP(x<X<x)-GUxlP(

8、x工Xx2)I1o(6)分位数1口71口)下分位表：P(XERo)=ot;上分位表：P(XARQ=a。(7)函数分布离散型已知X的分布列为Xx1,x2,，xn,P(X=xi)p1,p2,，Pn，Y=g(X)的分布列(yi=g(xj互不相等)如下：Yg(x1),g(x2)，g(xn),P(Y=yi).若由某些g(xip相等,pl应将对,应白p,pi相加作为g(xi)的概率。连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)=P(g(X)<y),再利用变上下限积分的求导公式求出fy(y)。例2.1:4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X(co)为“取白球的数”，求

9、X的分布律。例2.2:给出随机变量X的取值及其对应的概率如下：X|1,2,k,P111，2"，k",3323k判断它是否为随机变量X的分布律。例2.3:设离散随机变量X的分布列为X-1,0,1,2P1111'8,8,4,21、 33求X的分布函数，并求P(X<-),P(1<X<-),P(1<X<-)o222例2.4:f(x)+f2(X)是概率密度函数的充分条件是：(1) f1(x),f2(x)均为概率密度函数(2) 0<f1(x)+f2(x)<1例2.5：袋中装有“个白球及3个黑球，从袋中先后取a+b个球(放回)，试求其中含

10、a个白球，b个黑球的概率(a<a,bwp)。例2.6:某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001,若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。例2.7:设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为0.05,则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率约为多少？例2.8:袋中装有a个白球及3个黑球，从袋中任取a+b个球，试求其中含a个白球，b个黑球的概率(a<a,b<3)°例2.9:袋中装有a个白球及3个黑球，从袋中先后取a+b个球(不放回)，试求其中含a个白球，b个黑球的概率(a<a,b<3)

11、°例2.10：袋中装有a个白球及3个黑球，从袋中先后取a+b个球(放回)，试求直到第a+b次时才取到白球的概率(a<a,b<3)°例2.11：4黑球，2白球，每次取一个，放回，直到取到黑为止，令X(co)为“抽取次数”，求X的分布律。例2.12:5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开不扔掉，问以下事件的概率？第一次打开；第二次打开；第三次打开。例2.13:若随机变量X服从1,6上的均匀分布，求方程x2+Xx+1=0有实根的概率。2x例2.14:设非负随机变量X的密度函数为f(x)=Ax7e2,x>0,则A=。例2.15：设XN(N尸2),求P(|XN|&

12、lt;3仃)。例2.16:XN(2,b2)且P(2<X<4)=0.3,贝UP(X<0)=?例2. 17:设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的ot(0<o( <1),数u满足PX >ua =a ,若 PX <x =a ,则 x等于(A) U - .(B) U -.(C) Ui_21日例2. 18:已知随机变量 X的分布列为(D)Ui_：.0,二，n *2,P p, pq, pq2,npq其中p+q=1。求丫=$访*的分布列。1,例2.19：已知随机变量Xf(x)=升，求Y=2X+3的密度函数fY(y)。x(1x)第二节重点考核点常见分布、函数分

13、布第三节常见题型1、常见分布例2.20:若有彼此独立工作的同类设备90台，每台发生故障的概率为0.01。现配备三个修理工人，每人分块包修30台，求设备发生故障而无人修理的概率。若三人共同负责维修90台，这时设备发生故障而无人修理的概率是多少？例2.21：随机变量X满足P(X>h)=P(X>a+hIX>a).(a,h均为正整数)的充分条件为：X服从几何分布P(X=k)=p(1-p)k-1(k=1,2,)(2)X服从二项分布P(X=k)=C：Pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n)例2.22:实验器皿中产生甲乙两种细菌的机会是相等的，且产生细菌的数X服从参数为入的泊松发布，试求

14、：(1)产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率；(2)在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率。例2.23:设随机变量X服从a,b(a>0)的均匀分布，且P(0<X<3)=-,P(X>4)=，求:42(1)X的概率密度(2)P(1<X<5)例2.24：X,Y独立，均服从U1,3,A=XWa,B=Y<a,已知P(AUB)=勺，求a=?9)定义：如果P(XwxnYWy尸P(XWx)P(Ywy),称X与Y独立。例2.25:设随机主量X的概率密度为x 0,1x 3,613f(x)=292其使得P(Xk)=,则k的取值范围是。3例2.26:设顾

15、客到某银行窗口等待服务的时间X(单位：分)服从指数发布，其密度函数为1xnf(x)=2,5e，x00,x<0某顾客在窗口等待服务，如超过10分钟，他就离开。他一个月到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布列，并求P(Y>1)。例2.27:X3N(1,72),贝UP(1<X<2)=?例2.28:设随机变量X的概率密度为:(x)=；产,(一二<x <)则其分布函数F(x)是s)x : 0,x -0.1x-e(A) F(x)=<21,1 ex,x<0,2(B) F(x)=1 -1e"x-0.21-1x<0,2

16、(C) F(x)=«I, x>0.x :二 0,0 - x ：二 1,14一e,2(D)F(x)=1_1e-2J, x1.1_1例2.29:设随机变量X的绝对值不大于1,即凶W1,且P(X=)=§,P(X=1)=z在事件-1<X<1出现的条件下，X在(-1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比。试求X的分布函数F(x)及P(X<0)(即X取负值的概率)。2、函数分布例2.30:设随机变量X具有连续的分布函数F(x),求Y=F(X)的分布函数F(y)。(或证明题：设X的分布函数F(x)是连续函数，证明随机变量Y=F(X)在区间(0,1

17、)上服从均匀分布。)例2.31:设随机变量X的概率密度为f(x)= 33 x2 0,若 x 1,8其他F(x)是X的分布函数，求随机变量Y=F(X)的分布函数。例2.32:假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间(EX)为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y)。第四节历年真题数学一:1(88,2分)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布上。已知x：'(x)= 一2 1/2 2-edu,6(2.5) =0.9938,则 X落在区间(9.95, 10.0

18、5)内的概率为一、一，一、一一,1，一、一2(88,6分)设随机变量X的概率密度函数为fX(x)=，求随机变量二(1x2)Y=1-3X的概率密度函数fY(y)。3(89,2分)设随机变量1在区间(1,6)上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是。14(90,2分)已知随机变量X的概率密度函数f(x)=e*1,o0cx<十°0,则X的概率分布函数F(x)=。5（93,3分）设随机变量X服从（0,2）上的均匀分布，则随机变量Y=X2在（0,4）内的概率分布密度fY (y) L6（95,6分）设随机变量X的概率密度为f X ( X)=，e0,x _ 0x : 0求随机变量

19、Y=eX的概率密度fY（y）。7（02,3分）设随机变量X服从正态分布N（%。2）（。>0）,且二次方程21y2+4y+X=0无实根的概率为万，则卜=。8（04,4分）设随机变量X服从正态分布N（0,1）,对给定的ot（0（口<1）,数u满足PXAuj=口，若PX<x=ot,则X等于（A）U：.（B）U：.（C）Ui_：.（D）Ui-:.一1一-222229（06,4分）设随机变量X服从正态分布N（Ni,5）,Y服从正态分布N（L,，），且P|X-小1P|丫-2卜1,（A）。1<仃2.（B）仃1>仃2.（C）因<%（D）匕>“2.数学三:1（87,2分

20、）（是非题）连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0。2（87,4分）已知随机变量X的概率分布为PX=1=0.2,PX=2=0.3,PX=3=0.5试写出其分布函数F（x）.3（88,6分）设随机变量X在区间（1,2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度f（y）。4（89,3分）设随机变量X的分布函数为0,若x<0_,.-w-江F（x）=Asinx,右0ExE一21,右x>一L2则A=，P|X|<-=。,65（89,8分）设随机变量X在2,5上服从均匀分布，现在对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。6（90,7分）对某地抽样调查的结果表明，考

21、生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。附表:x00.51.01.52.02.53.0(x)0.5000.6920.8410.9330.9770.9940.999表中（x）是标准正态分布函数。若x -1若-1三x ：二1若1三x :二3若x 一 37（91,3分）设随机变量X的分布函数为0,0.4,F(x)=P(X<x)=0.8,1,则X的概率分布为8 （91, 5 分）O一辆汽车沿一街道行驶，要过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红、绿两种信号显

22、示的时间相等。以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,9（92,7分）设测量误差 XN （0,三次测量误差的绝对值大于 19.6的概率a , 取两位有效数字）。附表:求X的概率分布。102）。试求在100次独立重复测量中，至少有并用泊松分布求出 a的近似值（要求小数点后九1234567e40.3680.1350.0500.0180.0070.0020.00110 (93,8分)设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为It的泊松分布。(1) 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；(2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q11 (94,

23、3分)设随机变量X的概率密度为f(x)2x,0,.0 二 x ：二 1其他以Y表示对X的三次独立重复观察中事件XW1出现的次数，则PY=2=12(95,3分)设随机变量XN(科，/),则随着b的增大，概率P(|XN|<仃)(A)单调增大。(B)单调减小。(C)保持不变。(D)增减不定。1113 (97,7分)设随机变量X的绝对值不大于1,P(X=1)=g,P(X=1)=z。在事件-1<X<1出现的条件下，X在区间(-1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比。试求X的分布函数F(x)=P(XWx)。14 (00,3分)设随机变量X的概率密度为1-,右x0,1

24、3f(x)='2,若x3,69Q其他2若k使得PX之k=1则k的取值范围是15 (03,13分)设随机变量X的概率密度为若 x 1,8其他1而f(x)=0,F(x)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数.16(04,4分)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的户(0,1),数u0满足PX>Ua=a,若P|X|cx=a,则x等于(A)Ua.(B)Ua.(C)Uj.(D)Ui_a.1 一一2 2217(06,4分)设随机变量X服从正态分布N(R1,52,随机变量Y服从正态分布N(电产22),且pqx鸟<l>PY-2<1,则必有()(A) 二1；二2

25、(B) 二1二2(C) /1：二2(D) 1.2第三章二维随机变量及其分布第一节基本概念1、概念网络图常见二维分布均匀分布正态分布联合分布，离散型分布律连续型分布密度(X,Y) >边缘分布条件分布独立性Z=X+Y函数分布<Z=max,min(X1,X2，Xn)>/2分布三大统计分布tt分布,F分布j)2、重要公式和结论s)(1)联合离散型分布如果二维随机向量U(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称M为离散型随机量。设E=(X,Y的所有可能取值为(xi,yj)(i,j=1,2,)，且事件t=3,yj)的概率为pj,称Xy1y2yjx1pnp12p1jx2p2

26、1p22p2j.xipi1pjammP(X,Y)=(为)=pj(i,j=1,2,)为自=(X,Y)的分布律或称为X和丫的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：这里pj具有下面两个性质:连续型(1)pj>0(i,j=1,2,)；(2匚Epj=1.对于二维随机向量丢=(X,Y),如果存在非负函数f(x,y)(一°0<x<+吗一8<y<十9),使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X,Y)a<x<b,c<y<d有(2)二维随机变量的本质P(X,Y)ED=JJf(x,y)dxdy,D则称七为连续型随机向量；

27、并称f(x,y)为巴=(X,Y)的分布密度或称为X和丫的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质：(1)f(x,y)>0;OO(x,y)dxdy=1.(X=x,Y=y)=(X=xY=y)(3)联合分布函数设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数F(x,y)=PX<x,Y<y称为二维随机向量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布由数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件(01,02)1一口<X(01)<x,-°o<Y(02)<y的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1

28、) 0<F(x,y)<1;(2) F(x,y)分别对x和y是非减的，即当x2>xi时,有F(x2,y)>F(xi,y);当y2>yi时,有F(x,y2)>F(x,y1);(3) F(x,y)分别对x和y是右连续的，即F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0);(4) F(_g,_g)=F(*y)=F(x,g)=0,F(十吟+g)=1.(5)对于x1<x2,y1<y2,F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x,y1)之0.(4)离散型与连续型的关系P(X=x,Y=y)a=P(x<XWx+dx,y<

29、YEy+dy)化f(x,y)dxdy(5)边缘分布离散型X的边缘分布为P.=P(X=X)=£Pj(i,j=1,2,)；Y的边缘分布为P.=P(Y=yj)=£Pij(i,j=1,2,)。连续型x的边缘分布.密度为fX(x)=1：f(x,y)dy;'JY的边缘分布密度为fy(y)=：f(x,y)dx.(6)条件分布离散型在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为PijP(Y-yj|X-xi)-j;Pi.在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为PjP(X-xi|Y-yj)-,P-连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为、f(x,y)f(x|y)=-fL-Lr；fy(y

30、)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为、f(x,y)f(y|x)=fx(x)(7)独立性一般型F(X,Y)=Fx(x)FY(y)离散型Pij=Pi$.后零不独立连续型f(x,y)=fx(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离交量正概率密度区间为矩形二维正态分布1年)2Px_#)(y_R)上*12(1_P)f(x,y).2e2tktio2J1一PP=0g产4随机变量的函数若X1,X2，X,Xm+1,X相互独立，h,g为连续函数，则：h(X1,X2,X)和g(Xm+1,为)相互独立。特例：若X与Y独立，则：h(X)和g(Y)独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。(8)二维均匀

31、分布设随机向量(X,Y)的分布密度函数为1，、-(x,y)二DSDf(x,y)=0,其他其中Sd为区域D的面积，则称(X：Y)服从D上的均匀分布，记为(X,Y)U(D)。例如图3.1、图3.2和图3.3。y+1.O1x图3.1y图3.2y.dD3c-O不bx图3.3)(9)二维正态分布设随机向量(X,Y)的分布密度函数为1仁2Rxj)(y_-)Jy_-111 2(1一”仃)g3Jf(x,y)=22eJ/1,2 g1仃2笛：1-P其中出，匕。1A0,仃2>0,|P|<1是5个参数，则称(X,Y)服从二维正态分布，记为(X,Y)-N(也，匕仃；，仃2,P).由边缘密度的计算公式，可以推

32、出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即xni(%。2),丫n(%，2).，2、_,.2、但是右XN(4,。1),YN(匕。2),(X,Y)未必是一维正态分布。(10)函数分布Z=X+Y根据定义计算：FZ(z)=P(Zwz)=P(X+Y<z)-bo对于连续型，fz(z)=Jf(x,zx)dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布(N1+!12,O'12+仃2)。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。N=£CH,C。2Z=max,min(X1,X2，Xn)若X1,X2Xn相互独立，其分布函数分别为Fx(x),Fx2(x)Fxn(x),则Z=max,min(X1

33、,X2,Xn)的分布函数为：Fmax(x)Fx1(x)*Fx2(x)Fxn(X)Fmin(x)=1-1-Fx1(x)*1-Fx2(x)K-1-Fxn(x)22分布设n个随机变量Xi,X2布，可以证明它们的平方和,Xn相互独立，且服从标准正态分的分布密度为W1nn=£X：Tnu2u2e2u至0,f(u)="：2tPu<0.我们称随机变量W艮从自由度为n的72分布，记为W72(n),其中r所谓自由度是指独、分布中的一个重要参数。四、nn"feei=fx2edx.西广0z:止态随机变量的个数，它是随机变量2t2,一一2分布满足可加性:设则kYi"S),Z

34、=2Yy-7-2(n1+n2+njt分布设X,Y是两个相互独立的随机变量，且X可以证明函数N(0,1),Y7(n),的概率密度为TX<Y/nf(t)=I2/，吧我们称随机变量T服从自，/t2、1+<n，由度为n书2(-0°<t<+30).n的t分布，记为Tt(n)。J(n)=一tu(n)s)s)F分布设X72(ni),Y72伯2),且lX/%F=的概率密度函数为Y/n2X与Y独立，可以证明七上ninfJ-JQiyni-Hf八八jyyyy-Iy1+-y。至0"丫)=71上1恒ln2,1'n2)<2J12J、0,y<0我们称随机变量F

35、服从第一个自由度为ni,第二个自由度为n2的F分布，记为Ff(ni,n2).1F：.(n2,ni)例3.i二维随机向量(X,Y)共有六个取正概率的点，它们是：(i,-i),(2,-i),(2,0),2,2),(3,i),(3,2),并且(X,Y)取得它们的概率相同，则(X,Y)的联合分布及边缘分布为-i0i2piii6000i62i6工60i6i2300i6i6i3Pji3i6i6i3i例3.2:设二维连续型随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布，其中D=(x,y):|xy|Mi,|x-y|<i,求X的边缘密度fX(x)例3.3:设随机变量X以概率i取值0,而Y是任意的随机变量，证明X

36、与Y相互独立。例3.4:如图3.i,f(x,y)=8xy,fx(x)=4x3,fy(y)=4y-4y3,不独立。例3.5:f(x,y)=22_一一_Axy2,0<x<2,0<y<i、0,其他例3.6:设X和Y是两个相互独立的随机变量，且XU(0,i),Ye(i),求Z=X+Y的分布密度函数fz(z)。例3.7:设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为-12X,0.40.6而Y的概率密度为e（1）,求随机变量U=2的概率密度g（u）。Y1第二节重点考核点二维随机变量联合分布函数、随机变量的独立性、简单函数的分布第三节常见题型1、二维随机变量联合分布函数例3.8:如下四个二

37、元函数，哪个不能作为二维随机变量（X,Y）的分布函数?(1-e")(1-ey),0x：1",0:：y：1-二,(A)F1(x,y)=0,其他.(B)、1仇xlfn,y'F2(x,y)=r+arctan-i+arctan.一122人23)1,x2y-1,(C) F3(x,y)=，0 ： x ：二,0 ： y ：二, 其他.0,x+2y<1.1_2-2_y+2-y(D) F4(x,y)=«0,例3.9:设X与Y是两个相互独立的随机变量，它们均匀地分布在（0,l）内，试求方程12+Xt+Y=0有实根的概率。例3.10:将一枚均匀硬币连掷三次，以X表示三次试

38、验中出现正面的次数，Y表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求（X,Y）的联合分布律。.111例3. 11 :设随机变量Xi i =1,2,且 P(X1X2 =0) =1,求 P(X1 =X2).-4例3. 12:设某班车起点站上车人数x服从参数为Mh>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1),并且他们在中途下车与否是相互独立的，用Y表示在中途下车的人数,求：二维随机向量(X,Y)的概率分布。例3.13:设平面区域D是由y=1与直线y=0,x=1,x=e2所围成(如图3.15),二维随机向X量E=(X,Y)在D上服从均匀分布，求(X,Y)关于X的边

39、缘分布密度在x=2处的值。例3.14:设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，在X=X(0<X<1)的条件下，随机变量Y在区间(0,x)上服从均匀分布，求(I)随机变量X和Y的联合概率密度；(n)Y的概率密度；(m)概率PX+Y>1.2、随机变量的独立性例3.15:设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值，另一随机变量Y在1X中等可能地取一整数值，试求(X,Y)的分布律，X,Y的边缘分布律，并判断独立性。例3.16:设随机变量X与Y独立，并且P(X=1)=P(Y=1)=p,P(X=0)=P(Y=0)=1-p=q,0<p<1。定义随机变量Z为1若X+Y

40、为偶数，Z=,0若X+Y为奇数，问当p取何值时，X与Z相互独立？例3.17:设-(X,Y)F(x,y)=AB+arctan-iC+arctan,<2人3J求：(1)A,B,C的值；(2) f(x,y);f1(x),f2(y)(4)判断独立性。e'x>0,yax,例3.18:设(X,Y)的密度函数为邛(x,y)=«0,其他.)试求：(1)X,Y的边缘密度函数，并判别其独立性;(2) (X,Y)的条件分布密度；(3) P(X>2Y<4).3、简单函数的分布B (1, 0, 4),求行列式例3.19:设随机变量Xi(i=1,2,3,4)相互独立同X1X2X=

41、X3X4的概率分布。例3.20:设随机变量(X,Y)的分布密度为3x0:x：1,0:y:x,中(x,y)=«0,其他.试求Z=X-Y的分布密度。例3.21：设随机变量X和Y的联合分布是正方形G=(x,y)|1WxW3,1WyW3上的均匀分布，试求随机变量U=|X-Y|的概率密度f(u).例3.22:设某型号的电子元件寿命(以小时计)近似服从N(160,202)分布，随机选取4件，求其中没有一件寿命小于180小时的概率。例3.23:对某种电子装置的输出测量了5次，得到的观察值X1,X2,X3,X4,X5,设它们是相互独立的变量，且都服从同一分布一二1 -e-8,x>0,F(z)=

42、«0,其他.试求：maxX1,X2,X3,X4,X5a4的概率。例3.24：设X1,X2，X10相互独立同N(0,22)分布，求常数a,b,c,dY=aX：b(X2X3)2c(X4X5X6)2d(X7X8X9X10)2服从丁2分布，并求自由度m1例3.25：设随机变量X与丫相互独立同服从N(0,32)分布,xi,X2，x9以及y1，y2,，y9是分别来自总体X,丫的样本，求统计量的分布。例3. 26:设随机变量 Xt（n）（n>1）,数学一:91求Y 的分布。X第四节历年真题1 （87, 6分）设随机变量X, Y相互独立，其概率密度函数分别为 0 <x <1fX(X

43、)=,0,其他、 efY( y) = J。y 0y <0求随机变量Z=2X+Y的概率密度函数。2 （91, 6分）设二维随机变量（X, Y）的概率密度为%"'也"x>0,y >0 f（x，y）=：。，其他求随机变量Z=X+2Y的分布函数。3（92, 6分）设随机变量X与Y相互独立，X服从正态分布 N （巴仃2）上均匀分布，试求Z=X+Y勺概率分布密度（计算结果用标准正态分布函数小（X）=t2 X eJe 2 (dt)。4 （94, 3分）设相互独立的两个数随机变量X与Y具有同一分布律,，丫服从-兀, D表示，其中工 X的分布律为则随机变量Z=max

44、X, Y的分布律为5（95,3分）设X和Y为两个随机变量，且34PXQY-0=-,PX_0=PY0则Pmax(X,Y)_0=1一6（98,3分）设平面区域D由曲线y=及直线y=Qx=1,X=e2所围成，二维随XY）关于X的边缘概率密度在 x=2处的值X和Y分别服从正态分布 N （0, 1）和N，41（8） PX Y < 1=-，、1（D） PX -Y < 1=-机变量（xY在区域D上服从均匀分布，则（X,为。7（99,3分）设两个相互独立的随机变量（1,（1），、，1（A）pXYE0=5，、，1（C）PX-Y<0=-8（99,8分）设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机

45、变量（X,Y）联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。y1y2y3px=xi=p.Xi18x218pY=yj=p.1619（02,3分）设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密分别为f（x）和f2（x）,分布函数分别为E（x）和F2（x）,则（A） f1（x）+f2（x）必为某一随机变量的概率密度;（B） f（x）f2（x）必为某一随机变量的概率密度;（C） Fi（x）+F2（x）必为某一随机变量的分布函数；（D） Fi（x）F2（x）必为某一随机变量的分布函数。10 （03,4分）设二维随机变量（X,Y）的概率密度为6x,0<

46、;x<y<1f（xy）=（，y）、0其他则PX+Y<1=。11 （05,4分）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从1,，X中任取一个数，记为Y,则PY=2=.12 （05,4分）设二维随机变量（X,Y）的概率分布为已知随机事件X=0与X+Y=1互相独立，则(A) a=0.2, b=0.3(B) a=0.4, b=0.1(D) a=0.3, b=0.2(D) a=0.1, b=0.413 (05, 9分)设二维随机变量(X, Y)的概率密度为f(x, y) = 31, 0 二 x 二 1,0, 其他0 : y 二 2x,求：（X,Y）的边缘概率密度fx（x）,fY（y）

47、;（II）Z=2XY的概率密度fZ（z）.3上的均匀分布，则令 y=x2,F(x,y)为14（06,4分）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,P：maxX,Y<1?=.-,-1<x<02，一、,1一一15（06,9分）随机变量x的概率密度为fx（x）=一,0Mx<240,其他二维随机变量（X,Y）的分布函数（I）求y的概率密度fY（y）匚。4j数学三：1（90,3分）设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为m-11m-11PX=m11PY=m112222则下列式子正确的是:(A)X=Y(B)PX=Y=01.、(C)PX=Y=5(D)PX=Y=12(90,5分)一电子

48、仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)，已知X和Y的联合分布函数为：若x _, y _ 0其他二0.5x_0.5y._0.5(x)_、1-e-e+eF(x,y)=0,(1) 问X和Y是否独立？(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率。3(92,4分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f (x,y)=e-y0,0 ： x 二 y其他s)X2X4的概率分布。5 (95, 8 分)已知随机变量(X, Y)的联合概率密度为14xy f (x, y)=八0,若0£xM1,0£yE1其他(I) 求X的概率密度fX(x);求PX+YM1。4(94,8分

49、)设随机变量Xi,X2,X3,X4相互独立且同分布,P(Xi=0)=0.6,P(Xi=1)=0.4(i=1,2,3,4)。求行列式XiX3求(X,Y)的联合分布函数。6(97,3分)设两个随机变量X与Y相互独立且同分布，P(X=-1)=P(Y=-1)11=1,P(X=1)=P(Y=1)=-,则下列各式成立的是22)/、1(A) P(X =Y)=-一一1(C) P(X Y =0)=-(B) P(X =Y) =11(D) P(XY =1) =47（98,3分）设E（x）与F2（x）分别为随机变量X与X的分布函数F（x）=a1Fi（x）-bF2（x）是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应

50、取32(A) a =-,b -55(B)(C) a(D)lb 1 .a = 一 ,b = 2118 (99, 3 分)设随机变量Xi (i=1,2),-4141且满足PXiX2 =0=1,则 PXi =X2等于(A) 0(B)(C)(D) 19 (01, 8 分)设随机合分布是G =(x,y:1MxM3,2 < y <3试求随U =|X Y|的概率密度p（u）。10 （03, 13分）设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为0.3g（ u）。再从1,，X中任取一个数,a =0.7J而Y的概率密度为f（y）,求随机变量U=X+Y勺概率密度11（05,4分）从数1,2,3,4中任取一个

51、数，记为X,记为Y,则PY=2=12（05,4分）若随机事件X=0与X+Y=1互相独立，则13（05,13分）设二维随机变量（X,Y）的概率密度为s)一、1,0<x<1,0<y<2x,f(X，y)=：Q其他.求：(I)(X,Y)的边缘概率密度fx(x),fy(y)；(II) Z=2X-Y的概率密度fz(Z)；f11,(III) pY<-X<->.I22J14(06,4分)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间10,3上的均匀分布，则pmax(X,Y)<1)=第四章随机变量的数字特征第一节基本概念1、概念网络图,期望、.、.广.;1I矩I切比雪夫不等式J期望-万差维随机变量T协方差、相关系数'协方差矩阵j2、重要公式和结论(1)一维随机变量的数字特征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量，其分布律为P(X=Xk)=pk,k=1,2,n,nE(X)=£XkPky(要求绝对收敛)设X是连续型随机变