考研数学公式及框架

1、立身以立学为先，立学以读书为本表1:1-1南敛及相关的定义名称定义要点林克说明函数设口是个非常集自.若按照臭一瑞定的财附法则八对于用一个M。.都白恃-斑定的实数y与之对应.则称对应医期/是定义在。上的乐数，门称为函数了的定义域对应规则、定义城】。就为自变相为因变量2Rj=4x）|lE3为函数的值域函数的图形平面上:点集NxJG）GWA）称为函数八力的图形员台的效设眼敷,«=Ru的定义域包含u=/工的值域，则在南教展H）的定义域*匕可以谶定一个函数3=五/X）,称之为£与/的复合函IL记作y/t鼠*）或Y=卜*对应规则,定又域俄城反函数汉尸R并）为定义布上的函数.均为世域.如

2、果对任意的了叫.有惟一的mED使得义工）=r，这茸实畸定了，为y的一个南整.称之为函数y=/*）聃反函数,鼠作工广气山，或F=广（*）当丁=/<原函数用,=广1上表示时,其图像与原函数y=八普）的图像关于,=M对标初等函故基本初等函数经过后限次的巴则运茸及迎合运算后所揖到的函数府限次屯住基本初等函敕见后性质定义图例皿说响苦产塔不好号位k剜称严格能同上升（下降1P有界性雨敷近。在口上定也若存在M%0,使将对任总的*W&均有1人上1嚷昭或存在皿.M.使用m/jt0M成立.则称函救汽工1任占上姑布界阐数即配数的国展布:-w-一y-丸与y="火之网党数在1）上定义，而对任意的肘

3、50,都灯在小E队悔得|/<）|>，此则称fix在1）上.无界恻；门力在通+如）.无期.四为对fE点的XM>。.我j加j.则义工，-Mr!>.W血幅亚1M八工）的定义原为。，如果.存在T>仇使揖对格意的XE。均有土土丁丘on/ti+门=穴必成立，用戳J为周羯南故万监为而歌的一4周期.通常所说的屈明为知小正周期若丁怂人力的周明，则什）f<9+kT）&）,仆力胡敷卜（2）八的十幻（a打尾一个以y|为冏期的而数表LI-2弱热的凡里特性济偶性如果的致,n1HK）的定义城门关于限点对林，井LL电任竟的*6口拘行/C-H）=-/1（工：,感林Y=JXG先奇#锹做

4、陶教如果函数?二/拊定it域口美于晚点前机并且对杆意的*E口均寸.八-工）=/?土），.周林*）为科函数单阳性单调上加单朝迷埔1函数人工）fl：D上有定文，时任意此#i，到任,且的v电，均有人修）wf（M）单调下降单调遑项）的数/"）在AI.定里，时任意的KI.0W，,H为4门密有/（«（）3八川名称定义式及件旗常数函数y(*)-CA-0<x<+®)t过口切点的M级节函数r-/十厘,".（）】=>。时,函数/阳足4K）上严格上升av0时,函数4在.1）1严格卜阵T=必与尸二父互为反函数*£2.*1指酸函数y=口气u>0,

5、u1)瓦点3J)对数函数y=kigMr(也>OfU*】田qXC+81j=球与jr=1曜m互为反南数'(若"=e.k!y=1崛工为y=Lnx)IJ-3基本初等图敷丽显三盖分类定义补天瀛明¥Ihai.=白对任意的<>%均存在M使得当叫>用时恒H1-a1<£BI.族定义补充说明JiffiijXr)=A对任意的t>0,均存在&>使得当更r敬0<.1三M/式3时舸有1X<)-1<t梃版«)=4对任意的t>0,均存在Jf>0,使得当ixi?X时忸行1/Q-A1<«

6、=A对任意的s>。，均存在步>Q,使用当FQ工*-q#时恤有I/Cw)-A1VctliffiPHL量lini/tifi)»A对任意的*>*,均存在/A0便得当1bl琳厢的F。4&-暧S时恒有|.d14EclW-ItKtirn/(it)-AE任意的F>0,均存在X>以使得当r>工时恒据r+有|加|<Clira,/ti)=A时任意的e>Q,均存在N>口,使得当<-AL-/时恒有F/（工）-44幡性若怀列1父的概限存在，黑根限值是惟一的有界性若序列ItJ有极限.则序列书界有序性丹总Wy,r(«?M)且l：E/A&

7、amp;,liBlX=br即1*痉bfc-*-*-四慢U».l的雁P0耳在且1而/=4rlim=4+ffl-="»R.*W(1)lim(库土片)=0*4=Km/limyBITqr-M(2)Umliravc*liny*5运ft-f。nr+索nffll算A10三着JO,叫则式=b=仙外H.-*S*12-2序列超限的性质鞋一性若极眼1讪户冷存在.则据取敝隋一L.注:时工*£f减“x：f0心.完全芈叙局都存界性若埴触limff*）存在，恻品效/（"J#L%柱的基*去宛掰城内商界理二对量F/f7-5FB等，口类似站累有汴性设左工口的装个点心部械内由KQ名

8、g<¥JJLlim/Cii：)-A.liaiuwGJ=6.L%L%性H帆上则.四寓诒算映Ihn/Xi)=AR.JJmh(北)=H1则(i)1L/ts)*ff(ar)3-»Aijff&时Oimfix±Jimx).;一3C(.2)LLi/X.)后CGI=4-Ifa1%liciftk)-linng(Gl,7.七(3)若ffiOp则lim,：(=-r=注，同上*Z5a_.1%款】.2-3函整极限的性质并列银限存在碓耐决定iBttsJ"无E/三序列懒星；(1)/丸近4(aptM)C2)11mg=Uma.=a>ilf-MfUmh.nJT"

9、;俱遍有中调1递增有界的题列必有艇限球潮递减有下界的数刑必宥搬碌*1-2-4褪眼存在的利刷准刷丽,出被限存在港期设住町的某去心勺J域内行：-以毛五家团，（2）limg才hcA（jr）A'F'r如iimF-A注：对±工.*b以度tf瑜，珞方美以结果单制极.限河别法般,HftQ拒与的某占心邻域内商定义即存在的充升必要条件足，'飞1mq/j仃隹相等F$萍：肘一8,有类化I结第融军朦N江鹏,«111«.uni=JIJ-Ml-1林工*L网小*a（）朋lint"黑:'=1.H口八'比中口可以定孙.必，士叫荷.而等lim(|+)

10、i-ex-aX,(11IGrM1+工"=-1(2)lim(1+)=它-Tky、rt-f若r-口时则linii1:/Yz)/ED=箕f.口城中匚U典属卬*H8,琉等1.2-5两个重要极限*1.2-6常用已知报限(1)1Emi-±#=opJim历.、一":1(n>0)Lusq”=oUtI<1)ln<1|_im11-3-R1""X1料一手0KM0上(S1.Q.hui片Inn(r,o).一】lim=1*yxx-KIM性质无可小盘（0有限个无穷小量的和、差、租仍然是兀穷小餐（2）无穷小量乘眼在界蹙量仍是无穷小量（3） x）-j1<

11、=5h/'（i）号耳*“*.其中1。工1为*f时的金虹小量（4） a-aF7（*-*，剜1华£=1坨5k"口0L口式无方大与无声小的美系口）若A*）为/一时的无力小且。4.4副/（%为“f口时的支克大量（2）若八G*Hf匚时的无我大*IJ者为£一口时的无变小表L3-3无更小阶的比较定义记号改汽h），1G均为一时的无野小量人与E（M）为同阶无分小量如聚四韶=Ci。爪*）与4，）为等价无穷小如果地第=1/(*?4/*)-*)父,为八工）的高阶无穷小（我鼠工）为丑X）的低院无中小）如果场留一氟工）=（*f】网4为的A防无病小（其中i>0为常驻如果第。#1.

12、3-2无宵小与无交大的性质«1-J-4常见等责无内小的例子（*f。）用暨一科胃学卓理鼻峰贽Tf®戈喇以注密贽*里崎小4堂他h堂d§1.3无穷小量与无穷大量期.啜中里皿*厘.誓词式F招郎端伊耐的S5加收事工.Mj§ 1.4 函数的连续性+的阳媪RfTwTwTrfTX71由依宠°41*加通哂'*4旬«13-1无穷小与无穷大的定义定奥冏注及例子J无穷小a极限为口的变量称作无第小量钝向心=gjHIsJ称作无宵小园H,Lm/lx）=0,叫H¥）称作当HfQ时的无穷小如*物晡的无杳大若对任意的MAd存在3>。便得当1I-s

13、i1<百时.恒有l/U”AM.刖称/tv）为Hf/时的无势大量.记柞IH/tx】-0注:同祥叶定义上一标2一瑞时的无野犬量，还可以定僵后/<£）-±Kxm时的无次大量若对任意甑M>以存在A0便得当1X；>彳时惬有1/（贷1>M,则沸人。为一0则的支书大量，记作=助L.注：同样可定宜H-4<&*-<!：时的无穷大量可以定文Um/U）二任e等JF*.1.4.1 主要内容及理解记忆方法J.4-1连续的定出ifty=/(ij/I-初时某：设函数T二正*在用的掂一邻喊向有迨义.设,=/fx）ft和的某-和城内有定又.如里个转域内否定文

14、，如果口=人工口+孤）-对位意t）在育苗酋lim/<t)sf(rd)iElA0,使得当1求一死-j人%）,如果hn，口了-怫函致y=/*）在刊处，逆续0T则称7-/"（&）在对处连打1<广时恒为，tQ-八网114t,则称,=内工）在加处连续若y=*j在耳咕基个左邻就切-占，*,：内有定文，U工）=F/t.L则称y二式x）花即处左连续若T=f1x）在:工a的某个右邻域：Xj.。+，；,内若定义且K,/（工）-L中。吃，叫称/=/U）在孙姓书连建若y=武户在区阿内每点处均连续，则称/f*）在内ASH若T三"m）在区间外的内连僦，且在工=a处右性跳,*=己处在

15、建续则称»=八6在明封上连镌菸L4-2连续函数的性质7L五口在即处连彼的毯竹必妥藤件圮T=人切在啊处酰左旌筵，又力主缄注：常用干分段函数住分段点处正续性的忖始设TL八*）,=式X）在询处均连城，凰KC*式力/、*）、虱Q以上笈金脑D小在5处的卷绩设yl/C&）在凡'#0处.m=虱*在出而处或建，H外w所（工口），用去4函数y=/（*）在却处隹续设丁=/（*）在*切上连续LL严格单湖.值域为-间，则其反函敷kh手在6.用I:存在，倒明朗上泡氮井H单胤耳电潮性与除地做出卑调性一致定义分类君FL久力在孙的某个去心钝鼾内有定义.用TN/KK）在醐处不连续，则窗抑为jr=/ta

16、r）的一个间断点第美间断点krnyt=而人力,但人艰】在知处不连城，剜锦fr与为/（*的可点间断点跳抵间断点lim/(<)rJim/(.)存在但1/(<)iJlnH/C>)rL噌L喧L汇l则称M为/re的跳蛛间畸点第二奘间断点向H,LiE*J中至少由一个不存在曲间断点*，一才小结一切初等函数在其定义区间内连统 + 一 /注 这里串,吵相当美电例如 / =加3成产%）是初等函数,其定义 域力|舌-0, xl, 12.-般不过花这科值数的性鲤H本章知识网络图（定更特点）性质f有界性、单调和.奇偶恨周胡性录数，基本初等圣敬定义、性肮.图塔） 反函数1要合党敬忤质朴齐说明- - 最值

17、定理段小一风力在叫乃£述黑扁丁“）一 定在.51上存在触大值与屋小但；印有在 匕£*.使得对任有的* EQ/】，均 君，具E）用武心嫉八小这五条性质中.闭区间的妻东 墨片所的，不可粒易特换.北 外.零点存在性质显精为介值 定理的推怆，有界性定理为姮 值定理的推论府界定理黄丁 =用在脑.门上性微,削?=人王）在1叫门上有罪林产三八外在匕连臻.则对任意介于 人。）与犬马之间的值九一定存在E工口， 61t/（f） - y左定悔楼谕设了 -/i（外在-内上连装.且/在0， 6匕的最大值.属小值分刷官期与碑，剧时 任意,巨！十附上均序& f £【。$使得 /tf）

18、e r零点存在淀理设3=。*）在*内上连堆.井巨AG - 犬&）V0,耻一定存在ee（o.fr），使得网E）E 0表14-3闭区间上连要和做的性质函数海限序列散RUEk定又|±5FM）心乂 ,广、函数极眼（E-占定义乂 Um/UJL左右极限 被眼性质尬用性和典遇定理）人穷人与无穷小定义和H电断的分奏和比掖（高阶,概酹J司附、等舱/附）利用左右极限存在E相等并等于京点的函载值这1哥薇在某再连钱的先分/给条件，来割刑承毁，转制是分段晶数在某点处的连能性，间断点磔及间断类型是非常有效的F利用逐填姓班等疥无穷性质枭计算极眼，特别是与堂长极限的极限，是非常简投的；虫利用用区向上连辕的忸

19、的挛点存在定理证明根的存在性时-一能需耨方程一端化为6另一烧即为新受构造的函辍.可导与注域的关系若函数八#）在*处时导，则一4一定在H处建俄.反之不一定导效与左、有导敷的关系函数/3J在工点处可寻的充分必要条件信函数直在工点处的左右特数存在并目利等坪数的几何意义若r=八4在"处可导.则F'Q）为曲羯y*/<幻在£与,丑与）史切携的斜窄切蝶克程：/-=/F（AtlXx-a）法线方程；/（为）一一尸既1】写一工）注f'M=0表示的就了=/U）Af*处有转育动战表工1-3求导法副法则定理苴公犬四则运算设函敷4.式#）在点上处可寻，席心士/黑）不公,G鼎50m

20、Q）在上处均可导,日Diff*）土式*）丁=±g"（x）2）学工）pg（«）y-m）g*/（/>/<1>算冷了1?；*次”，/*m表23-1高阶导融构定义及具基本公式底鲂导她的定由怩r=/*）的号响数/'（一畀T整称FF/（上】的珍数f/'GH*为T=小川的二的导致,记柞/气H成富设f=/（3的二阶导教>=八.力可，姆林y中m的导数0r）丁为J工炉Hj的三阶导数，记作JYhJ或名世f=/U）的n-L阶等翻r=/*”“/可辞周称三广-巴幻的号数（尸"*y为y=式小的兄防导数,记作#心“）或亳US高粉等致随基本性所用公

21、式-性抗M力±近工打p-小匕)±/叫幻Wc-c小叫.)(3)n(ai+&)"'.=/"Mg4A)it"公式"7'*'=-L)J1'm-ret-(0<«£p»l三“！"为正整数)河产-甘加门+x)W=J尸丁江(11iJ(4)(sinj)£,S=»n(<+n*母)(5)(盘修展)*】=mR(x+it手)MJ小二产,8第二章导数与微分§ 2.1 导数2.1.1 主要内容及理解记忆方法名称定真记号照表达式函依久G在网址的

22、导数被函效,土八.）在W某一邻城内府 定义若,. 旬 ,.+上）-人%）西晓-上为如存在，则环函数人）在孔姓可导,并 桃谖极限也称作在M处的导数"d,.1A良+如)二川知) Jim*-.RS hm-L飞事外。*2.1-1导微的定义纪合函数求导设b=殷H）在X处可梓，,=/（"】在hh gt.）处M辖,则复合 函数y * Astr）J在*处可导，并且5小）"=尸中川*。山用函数求号若丽敦r二/U）编足万程网工/幻）=0.同厮了/（*是方 程*4）=。所迪定的电函数一求号时，只如将力,程网人”= 。申的r棍柞舒帕丽题，曲边对“求导,最后狡蜕出丁 =4*，W 的祥于即可

23、商箱求学法先将方程两边版对故利用对敷性质裾津除比佗加M,方基化作 果除.可利用席的数求导的方法来求导+-股用于多T因子连果 除，升方，果方或形如心严这样的函触反函数事导但函数% =虱什在院，刈上产格单利且值城为沁），若a = 手仔）在3,d）人可导且武b）#Q,则其反函数f =/U）在（* 的上可导且/口）=河=甲【NQI<2.1 -4 常用最本求导公式陋致兴土） 在物处的 左臂数设函数T =0/在和的某一左邻城如-如看J内的定义，若lim今上:A蛆存在，则徐之即* =在与处的左导靓. M M5月也函数y - /（*） / 到 处的右导 教设, =/（-在之至,右釉城软a 知+ 5）卜.

24、有定只，若lim外也上竽二上0J存在则称之为 不f5）在打 检的向寻数尸. 3,.K与 lirnE4 &)/X叼)Av函数正门 在（fl,4） 内可导若函数/（G在5，的内每一点处均 可寻函数N雷） 在日" 上可异若函数义*）在<（>»）内可导+且在精 处在右导数存在,在h处左导数存在麦2-2可导遹数的性质及导融的几何意义(*y = Oi£cHtft)(ansMSBJE)' = - 7±J-;wr =（皿皿:公,i: /Jtin?)P 餐 eoaSp1 + cmxK t 三 Ains«),=/;1(laaf) * =

25、 seeH；nm±)' = - csd*i(arcifiiii)"之 ;1'/1 - i1D '二胪In%(a > 0,a(In I x I y (1* I I 1/ = i(a > opa yt 1)§ 2.2 高阶导数与微分备对S普由Mflg陋双内看守/备migMsgfiTWTa2.2.1 主要内容及理解记忆方法定义a了M在点的整个邻域内有定叉.若JM/（在十处的皑地为/（上十工）-Jlr）明表示为；餐-*加i，&>,苴中再使号并夺美而与国无关5II怖：八公在工效，微:井部的的纸件部分八、A*为¥=忙

26、姓的微分-氾件AyuA8格机理嚼拉讦定山皿讹函数？=/“）满足：（1心4h迷绛*外在£门/】内可导则至少存在个便得/UJ-总白楣rG（用也由表为Wg）-危）+，稀-a）Xi-g-,也'（汴；上=dx）可浊与可导型至展i微分的四鼎运算函数在工处可康团4在#处可号.且叼=/7*海工（1） 刎补4/=d抵±必（2） d（u-v）=皿1岷+，“沁玳上今="巴丁3工,”制配合函数的重分c-册饿分的蹊式不变性若=。幻,业=.制心均可别虹介函数了=川公也回我一旦其救命船=尸5）加=尸£g小小，袤32-3旗分的性质本章知识网络定义定义左、右导数E导数存在的充分必

27、要条件几何意义可导与连续的关系导致定义（左、右导数）基本公式四则运算复合函数求导法隐函数求导法导数与微分对数求导法高阶导数鬣导数求导方法定义微分轲导与可微的关系I微分的基本性质及求法l第三章中值定理与导数的应用囊工3-1微分中值定理如黑一年续曲式除上-端点外.福点.处均有切线【非凿K的，并目曲线网端点的蚁中标桐【司.则储线E定行.也，苴加统思水平的柯西定理hy）曲翩弁:女的工）满忆（I）钳明&承在Q】内可停<_式±）/Q*W值JR而-/“）/（fl飒蝌曲蛙I.除了端夕械有雌国理由州件上珞有一点G倏切蜷平行于峨慨W同上，R是州筑由菩数方程n毛f.b蛤山推坨若正6在山.加上

28、连健小科公内吁导，井推论中区间hi强接格朗n/pj)-QjE(&,幻|则弁口=常数”为。，+8."“中值一心以及（«B定现的推检2若A4.屋«）在:d,人士.连城TQ*方内W后）.中（04推论淤出产（工）=1go，工WQJk则？与）三展hJ*G三E中£均一十的做_立等.推企仍然芯成立3.2洛必达法则与函数的单调性卜翊陛逐心/要47W室吟电注A3.2.1主要内容及理解记忆方法奥地布件鼬性口圭0设“）人口，/.）.在。的某去心邻城.现3】内连续=lipD=0（3）/r*;,AQ在（3鲂.可早,且gJ（®）tn0）u皿-=*=为甫圈敕或ir汽

29、*,.尸4ItfiL-T=-工RL#J-g|S.)=-k注;当U=±%有类似定理三熨没H）外工）、屋工）在G的泉去心邻城U（%8）内逐,且-1加*.写）二尸-4才一营S（2八2好）花小«5占上田争,且/#0（3）|讪号=H*为有原鼓或土内下L4gr及1rRQ,1LH3,"7r=11IU士病L曜屋ST)l.g(工J注：当&-上«时，有美似定理表3.2-J洛电达法则不定,黑串两化过程0«,0O一、。m=；S&.0-二OD>gno=1>10石no一国111R-R=-I=o1Ou0-&=0fl-口TM0E*/_

30、87;M>_«-件口=ie®rIfd=#-ma=4"=卢a*J.2-2其他类型不定式转化为冷或三型襄3.3-3就数的增盘性判别法定理设隔靓*=/5）在3/内引导,井且，为工）>（X<OxEiar的，励T=爪工）在。工，的内严济雌两逆增f整减）定用之量函敕*二代/狙n上苴缘归%&）内可由井且/%工）>Ot<Gh丘G/）.期=/r/亦明知卜严格单注豳珀遇*0注门）以上两定理埼可推广无聊区间U）注意用定理的苦弱，利时君要讨论端点的一定要考虑作端点处的连嫌忤，例如在用单荆忤证明不等式时唔*加燮野吟曲阕如今4雪*出*®5弧第*

31、理*哈的牺号的也加屏*诙曲§33函数的极值以及最大值和最小值司Em理赠方甫由明加嗡曜村宣$片醇崎献1通力n明中前却3.3.1主要内容及理解记忆方法33-1极值、极值点定X朴克说明股r丹力在我的莫个郭威内有定义若花知的某个去心邻城内但有/#）<K3'躺薄八飞）为照数尸=卡力的蚊大血门"称为很大值点f外若在的的某个去心邻域内怛白外A八十3居称八叼为陶败T=/XQ的极小IS,叼称为砸小倒点（1）粮大族导槌小道螳称板值，悔大贬点与扳小值点统称板值点（2J糖值处个局部橇忠.其定义中的耶域究苴有学大黄美曙要一而用依（最大值.最小他）是一个费律概念，是刈于整个民间而言的表3

32、.3之极值判刑法判划定理补充说阻G）芸"%）=，四魅町X函数丑工）的一个驻点守敷为。的总不势耍设函数只外在益处可相并且汽用在。处取一定就是被值点.何条杵用楹废.则/'（»）=0.如近工）-算3,和=JG）楸脩的必亶熊件调明了：相值一定发生在融点成导致不存在的点处例别定理朴光说明城的拈丑公存叼的黑个如域3aMl内连坡.在去心邻地讥演,船内可导第一（1）若当股一自.*M%时./%A0,而死分当工*V刊+才时JYG<0,则八内）为条件粮大值（2）若当*h-占<1vn时J，（*<0hAf当*<*v顼+a时>o,制式和、为放小值改函数在小的忧个邻

33、唬次孙,苜）内可第二存,岂/=0,，F%）存在充分CO若飞工3<口,则Hh为极太出条件（2） 若/一.）,口，则汽配）为极小值（3） 若/"加、=必小能确定33-3求函融极值的一帔叁舞第一中:聃定毒数的定义域第二步:求导.由于'（上）-口得出驻点，笄列出导致不存在的点第二步:用攒值存在的充分条件判别以上点是否确实.为根植点,若是，求时魄健注；当转焉点导数不存在的点较多时，列袤用扉一充分条件判别比控葡捷.*3.3-4求闭区间0"上函效/U）的餐值的一般步舞35一%;求导得m,在所讨论区旬行修）求出厂打口的海：H,句3工第二作r在h,G内，求的/气力不存在的点力加

34、工载争!计算出小动产,/（、）力）一瓜，甘及港口）出出第四步：比较第三步中计算出的面数值，最.大海即为最大值.最小的朗有最小值而的蜜崎FQ通阪崎6线第出kWF祇密闪第空词f哂词朝双才以业§ 3.4 曲线的凹凸性拐点.渐近线以及函数作图理的曲理1鼻牯对鹏JMTW中.工或呼父*崖e?j3.4.1 主要内容及理解记忆方法衰3.4-1曲缝的凹凸性的定义定又几何意叉例图没雨数/TG在区问/上连疑.如果对J上任意两点才2且建I.工2恒有M<苦曲线上任一弦的中点位于曲域上方,期J/1xj*/1#./i小？）/（Jj）#/（#£）2周戳/（。在J上的图磨是向上）凹的f或下凸的）曲筑为

35、凹的（向下凸）d一-产-读函数犬*）在区间T上述微，如果对上任意两点工1r*B刊H上短有人巧力N町j_$_A4）着曲我上任一葭的中点位于曲境下方.朝曲蛾为凸的,/（一）;!）2则称#.M）在j上的图形是凸的（向上凸）-oHu常I.豌S3X2-34;一曲线凹凸性列别定理设式*）在区间”一连续1在区间;内二阶可挣承|挣，*（.>>Q#W，,则汽工）在上上的图静是叫的（2）£/-（.»）vn.x£勉式力在I匕的肥胫是凸的（其中石示去掉的标点后用到的TT区同）表3.443拐点的定又、性质及判别法定义性质判别法设/（工）在我的某个邻域U（如，的内连续.若曲线F=

36、网工）在点（知,4知»的两侧P1凸性正好相反，则称点咤.巴句内为曲线丁一人外的一个拐点著叼为曲魏y=f（t）的拐点，井存在.则广沁）-0设人4在叼的郭城以知津1内建毅,在去心邻械£人,幻内二肝可乳若气公布有的左、右邻域时-乱布，和&.工+占）内符弓相反，眠（卬.丑如力为曲线丫=RQ的捌点由;由以上性质可见，拐点只能发生在二阶导数为。或二阶导致不存在的点处一表£4：4曲线的渐近线水平渐近嫌若L”/(k)-AifeJi<nf(x)=八或hmAi)=八，电L»"0£T三H不4t(«'y-A为曲端y=ft.4的

37、条水平渐近绿若Irm/(±)-'或Jim/i)=r»或IlliJTk)f%则垂直滞近线'f”雇LgH-H>为曲线J*=/（h）的一条垂直讶近缓若lim且更-u,BelA)-ax'=b故存在.刷青y：斜新近型【"ssrC工|»QD=ril十后是曲戡3r=/I工）的等近或（也可耨Hf0况为*-+s或*A_K,结诙不变费3.4-5确定曲纥丁=丹*1的凹白性、拐点的一触步第_第一）：崎定函数#Q的连续区间第二步：求出二防导做了气工）,解出=0的根以段二的导数不存在的戏:第匚毋：由式上点勺，,小相连续区间力咸若干子区间.列表讨论的符号

38、第四步:根循/为工）的符号，判相凹凸性区间，以及拐点费34-5函数作图的一般步骤第步:求出函数的定义屋,井考察晶效的寄,属性.周期性第二步:求出了'Q>J*f*）t并达:一步求出/YG=口,/“力一。以及，YG，/,口不存在的点箫三步:以上思将定区区间分成若产子区河，州表时论的杵号，进而痛定了口）的单漏区间.凹凸区间、槌值以及拐点第四步:求出Y=胃工的渐近线第五小：计算fl个特殊的点的函数值，礴出圉形01空*中求*羹*警喷/瞥闷装冏旧罐*堂打汪*电电遍曜鼻堂留於理§3,5微分学在经济中的应用碎看的叫?二is词|17/逑京葡物用注理7»?*3睁方带理*苗崎谒颐甫

39、加年力必数3.5,1主要内容及理解记忆方法表35-】地际函徵的概念及常见诙际函敌的经济意义定义就学及醛济解胖边设7=/（口在区间/内可导,剌称-0"g际导痴就/'（*）为函数的也解fUs)-KQ3函函数J'G在和W处的值由此武牛出经济学中li种边际量数'（知）航为辿抵（函数）伯的经济意义仃。Cr0-CrC-1)边诋曲成本而歌为Cr=其O1匚“八1）r工式仍际中0为产量，牛产。个单位产品因此。小。）可近似地理常为生产成时的边际成本函数为：。个单位后增加的那个单位产量本drf。)q-dQ所花的成本或生产U个单位产品时最后一个的阈本取3£“八1）-即）边设

40、总收拨函教为附-场）.其片.(。rRt(Q&(Q-1)际中。为产盘，期钳碎0个单位产品因此.小£6诃近似他理解为笊收时的边际收益为：玲。个单位产品后再辅售的印个疝d齿（。）*=<10单曲产品所褐的敝英.或梢年第Q个单位产品的收益if设总利濯函,数为*=冠。）.其中Q71.1QJm武。+)-武0)际为产量，则期管。个单位产品的的*(Q-H卬)-虱Q-1、利边斥利润为闪此，小（»可近假地理解为镇润_*dQ当第0*1或9个单位产郎的利润#3.5-2弹性的概念及常见谭性的舞群患又定义教学史晚济解祥丽教的弹性设陈数T=/（”在区间/内出号，JCC/Z=门$*&=

41、）pK曜）p则称%，氏华学寿子为函数4幻在#旌的弹忤门1色迪乒一曼"）'_y_'平均函敬CO%人金需求的格旭性设需求函数为an2HW,其中P为商品的饰格，期需求对价格的弹性乐AD而如方T6D7Fe&0至，下nrjiD*4产即方yE游因此,需求弹性的轻济意义是：当伯格擢高（期中）先时t需求母梅改变电>粥he耳番）SA.5-3总收船、边宰收益与耨索於格弹性的关案疏M而嬴的二其中产力梆将r斯鼎收工为:ftr=则尸件逸际收益：取=Fi*-当tw=-1时，忌收住最大本章知识网络中1驻点的定义值定单调性与极值极值的必要条件判别极值的两个充分条件理1单调性的判判法及凹

42、凸性建义导判别法教凹色性及作用W拐点的定义的渐近线应、函数作图用利用中值定理 利用函数的单调性证明系等式的方法.由舄徜 利用最值 L利用凹凸性f连续函数的等点存在定理方程粮的讨论鬻言性利利椒的个数卜存在性卜函数单词性,证明恒等式（利用拉格朗口定理的重要推论）.不定式的极限L7PH警局f嗣fy虫.赞一的逐安的§ 4J 不定积分6誓立援司P融TfF餐要修警*F，Tw®x普峰单赞Xfe4,1.1主要内容及理解记忆方法*4,1 - I原函效的概念及性质 jo 41 + c(2) jl da = x + C+ C(口-1)(4) J -d* = In I x I C 才(5) i a

43、4df =+ C (a、0,0/1)b(6) fds = e* + C(11) |mc* , tanzdi = 9ecx + C(12) Jesei * colidi = - cgcz + C(13) , <干:=arc&in, + C =-arccosx + C J / 1 E，r dx(14) -z = arc tan x + C = - arcvulx + GJ IX*!*|"tanxdx = - In 1 bs# 1 + Cfcsi耳d苒=In I edn# I + C茬对区间上每一点%均有F3 三式4 或 dXM = HH）dM,则秫 门士）为函敷人口在区间I

44、 L的一个晚南费 _ _FI若/（口在区间I上府皑函致Fxj,则它有尢分多个战曲触小日这人帝 if事中原拓就可表扉力口4* C,比中为任意前敬若丹外农区间1上连续.则/5在区间I上书"际柏敷.注意，质等用鼓 在其定义区间内避埃.从而一定存原函数S4,I -2不定积分的鞋意及基本性质量7=咒4在区间I上有定义.我们称汽4在区阿1上的屈曲数的全体为H小在1上跑不定成分,圮作J/t幻的一法逮:是A4的 4原脸数,则i）ds h r） + C罗尔定理中值定理（拉格朗H定理两个重要推的柯西定理U珞必达法则（用千求'（J*f0*t*-b.b。型金pVdjH式里)或1/(*)必=/(i)d

45、x，?<Gd£=双6+C或pF(i)=F(i)+Cj妒#）S=汁汽幻金仆d0为常数）J（土式工）1&*=（Ax）da£上JxGNh基本性质44-5常用积分方法力法电都内容溪傩分秣i第一换元法）若=fu)+LM拳(*)1P8(*)d*=1/中f=F赋幻-C换元能1第二换元区）设*=MG为电荷u导函欲仃平飞1）、0.如果+c则J/（i）ds-F.9-i（s）+C二一号br2（dc/,ifPrdiTj淳一可T。一装FT?其中第二个积分可用1l2i-31,=2(L1)1.(小一?尸+焦F萨明求再小结本聿主要感船T拿电积分的恭奉才法；基本公式法、凄微分法、接元法、令啷积

46、分法双双有理国数的积分才湛，除了熟练掌握这些方法外，还有几点请读者注意：U）不定积分知原函数是两小不网的梅盒,前者是集合，后者是其中的一伊元素（2）所用方法不，-怦.即算得到碣铸果可能拶或上不一样，但实质是一样的.（表达式之间相差一个常熟）.（3）并St U. = U(ro = E4具在U续导致，则 a| £h/Hh 三 - ifl/dli或"d 盘=up - f rd u分部程分法关于分部积分的井稀（I）当假粗歪眼为耳用数（或/项式）乘曝三角函效或指致函鞅 时，令.部函数：成帝呸式J为u（2）当被祖函教为邪克数:或第甲式J乘以对数函数（的方帝】或反 三箱函St时，令对兼函

47、数或反三角组数为出（3）当俄法函数是指数函数来以二角西敷时，般是建立循环式.注:用分麟积分让的加55L本章知识网络弑本概念原函数不定积分非斯宥初"数的茶定糖分或原函费均是沏等函数.如嚣，/小dr,n：rdr,cT（U+sin/,msJ/华等的麻色均不JL初等曲数.从:而其不定枳分的热法用初等曲就表示，因此，习福上说"犯不出来7*U易案ndt = tn -卜:du 中 J rdu 要比！ ud。,摘中基本性质基本积分分式澳地分法（第一摭元法）（）«-/,令X=厚*由t或=&«wi给定其分式函数向青其中Q为园次多面式,Q可以分解为：Q（霁）=（.3-

48、寸*-bix1-+fi+号产'.乂，+ra+j）141（Pz44qV0,",r1-4iv（ha+JL-»在上21+*加=jj）不定租分换元法（第二换元法）(2)Va1+*t.,争/hauuit或#=的(3)g1-&，.令*-<jsiec(或霖="EV启现函毂积分在分部根分法ndF专珥函数的根分其他方法一第五章定积分及其应用§ 5,1 定积分的概念,性质及计算方法崎f方侬1.立修誓，整修整，堂修堂曾?知总如例两*才甘*妙毋争4mA争*督*F修督”雷其中4,瓦，陨，蔺,凡，录为骨数，可用特定系数法求得一因此要求其分式有理赌数的不定枳分，

49、只灌求下列四押曾单分式的不定积分：设函数F在区间。"1上由定义.用分点a - i（j < rL < ij-L < «R_, V a =8幡区间叫氏分成n个小 区但L令X表示一切小区间长度&r.-工 -r；_（ （I七£ w rt）中的撞大的一个.(1)业=iLfiIj»|+CJJE一口J不匕布=士(TTF7+C心.”尸丛1c内二二”等fr产'(c-豹(1*附4Q2J(41+a2)12/.包.(i3+了5同麴解决5.IJ主要内容及理解记忆方法泰工1-1定积分的定义与几何意义5JL何速文Cl）当/U）a0（r«r*

50、D.JUJbq心表示由曲线f=八4与宜税万=4.H.&以及F=口围成的曲边梯磨的面程障”一酷地，|/hHh表承曲螳T=我心与宜缓工。，工=&n及工帏胭成理'="皿猛工蛆£E&-£】作HlMd.£>：身&对一若当九一口时.不的忠桂知分葭同【&既及不论如何选联后g的极限均在我,且与区同。，£，的划分，后的取微无又，即Flimtf=岛；=t.璃称此版而J为函数T=f*、在这间明用1.葩定和甘，井记柞；F=质胎山的平血西股的面程的代数和，上半平E的回视取逐；卜半平面的面树取杀表5J_2函域的可积条件

51、一必要条伸绘猫效人工)在区间人&1可租，则。J在C&M上行界底"一定，即用区间1:的由弄国曲不一定可根.例如.秋利克嚷南般片11.土为由理数存与.=KM为无理瓢,在0J卜不可根充金条件|"若在5"上旌续，则小在j&卜河和下若门上)为在%村上至多石有眼力间断点的有界函数.同网工>在.2l.t.餐5.3定根分的性质踞性性乐(1)若正力在心"上可视d为信业，则班上)布5打上的可积,拜UJ若*展£)在1；上均可视加汽工+小工)在叫打匕也口!椒井且j/(a)±-ds=7(ji)dji±x(xJx分段地也设

52、#(h1疝I吨.6上可枳,且可弋CH3削不工)在.明屋和小人k也可粗，并且j八=J/(x)d-r+J/ts保成性质度推金设。工)在明匕上切根井II.*比)与0.，巨！(*.&.则Jf(x)dx»0.推诧1,世。.十#)&"/_!_可租'拜且人上),力工3HW38L则Lg(工Id*车/(rJd».推论2淡"Q的:"让可视:蜩5。1在5引1.也可料升且.1/(再)IdaJaJ裾游降3.设人由在%占上建维4分O.h£J,扪井且人再：#0.则>o祐也定理设M9*分剧为/雷)在匚吗&J上的藤太也与JS小值,

53、则柿E日).jfxdxe£jV(6-c»)积分(第,中值定理如果雨敕八上>在1*&上连续，则至少存在一个f丘匹打.帙湾/(xMx=jXFNh-fl>视分中向公式其也性质Idx=&-明表5,1-d变上限积分与牛顿一革布尼茨公式变上瞅枳分的定义傥N在&*上可投,则徐血m)=J/(j)dt,丘la,b为/(aJ在幻1的变湎租分变上限积分的诧版若函数注4在区间明扪上任旗.则唯上限积分明力=J/(f)df在明g1二可导.并且bg)=£/t?h3ijr=/(x)biefd.ti推电i.如甲近4在区L连结.则落散毋tk)hj/O)木为/U)在八国上的喊隔效推诜丸侵网公连续一Mh