专题67费马点中三线段模型与最值问题(解析版)

1、专题67费马点中三线段模型与最值问题【专题说明】费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点.主要分为两种情况：(1)当三角形三个内角都小于120.的三角形,通常将某三角形绕点旋转60度,从而将“不等三爪图中三条线段转化在同一条直线上,利用两点之间线段最短解决问Mo(2)当三角形有一个内角大于120.时,费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧：旋转60.构造等边三角形?将“不等三爪图''中三条线段转化至同一直线上分利用两点之间线段最短求解问题【模型展示】问题：在,矮.内找一点尸,使得E4+尸3+PC最小.【分析】在之前的最值问题中,我们解决的依据有：两点之

2、间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等.(1)如图,分别以ZU5C中的,.、乂C为边,作等边ZU3.、等边工(:£(2)连接8、BE,即有一组手拉手全等：AADgAABE.(3)记C.、8E交点为P,点尸即为费马点.(到这一步其实就可以了)(4)以8c为边作等边8CF,连接.4F,必过点P,WZR4B=ZBPC=ZCPA=120°.在图三的模型里有结论：(1)/BPD=60.；(2)连接IP,HP平分NDPE.有这两个结论便足以说明NPIB=N8PC=NCX4=12O.原来在“手拉手全等就已经见过了呀,只是相逢何必曾相识！【精典

3、例题】1、如图,四边形ABCD是菱形,AB=4,且二ABC=：ABE=60.,G为对角线BD(不含B点)上任意一点,将二ABG绕点B逆时针旋转60.得到二EBF,当AG-BG+CG取最小值时EF的长()3C.3【答案】D【详解】解：如图,H、,于飞二将二ABG绕点B逆时针旋转60.得到二EBF,二BE=AB=BC,BF=BG,EF=AG,二二BFG是等边三角形.二BF=BG=FG,.二AG+BG-CG=FE-GF+CG.根据“两点之间线段最短,二当G点位于BD,CE的交点处时,AG+BG+CG的值最小,即等于EC的长,过E点作EFZBC交CB的延长线于F,ZZEBF=180o4200=60%二

4、BC=4,二BF=2,EF=?O,在Rt二EFC中,ZEF2+FC2=EC二EC=4"二二CBE=120.,二二BEF=30.,ZZEBF=ZABG=30°,二EF=BF=FG,ZEF=-CE=.应选：D.2、如图,将A43C绕点A逆时针旋转60.得到A.石,.石与8C交于点.,可推出结论：PA+PC=PE问题解决：如图,在&WNG中,MN=6,NM=75.,MG=4&点.是内一点,那么点.到MNG三个顶点的距离和的最小值是【答案】2月【详解】如图,将二MOG绕点M逆时针旋转60.,得到二MPQ,显然二MOP为等边三角形.二,OM+OG=OP+PQ,二点O到

5、三顶点的距离为：ON+OM+OG=ON+OP+PQ,二当点N、0、P、Q在同一条直线上时,有ON+OM+OG最小,此时,二NMQ=750+60°=135,过Q作QAZNM交NM的延长线于A,那么二MAQ=90.,二二AMQ=1800-ZNMQ=45°,4、如图,二速.中,二A4C=3O.且,8=/C,尸是底边上的高田上一点.假设JP+3RC尸的最小值为2点,那么BC=.【答案】«-正【详解】如图将二ABP绕点A顺时针旋转60.得到二AMG.连接PG,CM.二AB=AC,AHZBC,二二BAP=CCAP.二PA=PA,ZZBAPZZCAP(SAS),二PC=PB,二

6、MG=PB,AG=AP,二GAP=60.,二二GAP是等边三角形,二PA=PG,二PA+PB+PC=CP+PG+GM,二当M,G,P,C共线时,PA+PB+PC的值最小,最小值为线段CM的长,二AP+BP+CP的最小值为2啦,二CM二2忘,二二BAM=60°,二BAC=30.,二二MAC=90.二AM=AC=2,作BN二AC于N.那么BN=AB=1,AN=6,CN=2-VJ,二BC=4bM+cM=+(2-后=瓜-y/2故答案为逐一夜.5、如图,四边形ABCD是正方形,匚ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60.得到BN,连接EN、AM、CM

7、.二求证：OAMBjZENB：二二当M点在何处时,AM+CM的值最小；二当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;二当AM+BM+CM的最小值为JJ+1时,求正方形的边长.【答案】(1)二AXIB二二ENB,证实略.(2)二当M点落在BD的中点时,AM+CM的值最小.二连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,图略(3)收【解析】(总分值13分)解：二二二ABE是等边三角形,二BA=BE,二ABE=60.二二MBN=60,二ZMBN-二ABN=ZABE-二ABN.即二BMA=：NBE.又二MB=NB,匚二ANIB二匚ENB(SAS)5分二二当M点落在BD的

8、中点时,AM+CM的值最小7分二如图,连接CE,当M点位于BDOCE的交点处时,AM+BM4-CM的值最小9分理由如卜.：连接MN.由二知,二AMB二二ENB,二AM=EN.二二MBN=60°,MB=NB,二二BMN是等边三角形.ZBM=NIN.ZAM+BM+CM=EN+MN+CM10分根据“两点之间线段最短,得EN+MN+CM=EC最短二当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长.11分二过E点作EFZBC交CB的延长线于F,二二EBF=900-60°=30.x设正方形的边长为X,那么BF=±x,EF=-.22在Rt二EFC中,ZE

9、F2+FC2=EC2>|2+曰_x+x尸=佰+1,12分解得,x=V2舍去负值.二正方形的边长为忘13分6、在正方形ABCD中,点E为对角线AC不含点A上任意一点,AB=2四；1如图1,将二ADE绕点D逆时针旋转90.得到二DCF,连接EF：二把图形补充完整无需写画法：匚求所2的取值范围:2如图2,求BE+AE+DE的最小值.图1.图2.【答案】1二补图见解析：二8KEE2K16；2243+2【详解】1二如图二DCF即为所求：二二四边形ABCD是正方形,ZBC=AB=2V2-二B=90°,ZDAE=ZADC=45%二AC=QAB?+BC?=>/2AB=4,二二ADE绕点D逆时针旋转90.得到二DCF,ZZDCF=ZDAE=45%AE=CF,二ZECF=ZACD+二DCF=90.,设AE=CF=x,EP=y,那么EC=4-x,二丫=(4-x)2+x2=2x8x4-160(0<x<4).即y=2(x-2)2+8,二2>0,二x=2时,y有最小值,最小值为8,当x=4时,y最大值=16,Z8<EF2<16.(2)如图中,将二ABE绕点A顺时针旋转60.得到二AFG,连接EG,DF.作FH二AD于H.由旋转的性质可知,二AEG是等边三角形,二AE=EG,二