二次函数与三角形专题训练

1、二次函数与三角形专题练习1. (2021遵义)如图,抛物线y=ax2+bx+c(awQ的图象经过原点O,交x轴于点A,其顶点B的坐标为(3,-).(1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标；在抛物线上求点P,使Spqa=2Saob;(3)在抛物线上是否存在点Q,使4AQQ与AOB相似如果存在,请求出Q点的坐标；如果不存在,请说明理由.2. (2021资阳)抛物线产沙十班皿的顶点在直线y=x+3上,过点F(-2,2)的直线交该抛物线于点M、N两点(点M在点N的左边),MA,x轴于点A,NB,x轴于点B.(1)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m的代数式表示),再求m的值；(2)设点N的横坐标为

2、a,试用含a的代数式表示点N的纵坐标,并说明NF=NB;(3)假设射线NM交x轴于点巳且PAPB=求点M的坐标.3. (2021湛江)如图,在平面直角坐标系中,直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).动点M从点O出发.沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动,同时动点N从点A出发,沿AB向终点B以每秒?个单位的速度运动.当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设动点M、N运动的时间为t秒(t>0).(1)当t=3秒时.直接写出点N的坐标,并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；(2)在此运动的过程中,4MNA的面积是

3、否存在最大值假设存在,请求出最大值；假设不存在,请说明理由；(3)当t为何值时,4MNA是一个等腰三角形4. (2021云南)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2交x轴于点P,交y轴于点A.抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(-1,0),并与直线相交于A、B两点.(1)求抛物线的解析式(关系式)；(2)过点A作ACLAB交x轴于点C,求点C的坐标；(3)除点C外,在坐标轴上是否存在点M,使得4MAB是直角三角形假设存在,请求出点M的坐标；假设不存在,请说明理由.4、一,5. (2021义乌币)如图1,直线y=kx与抛物线y=一互交于点A(3,6).(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的

4、长度；(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值如果是,求出这个定值；如果不是,说明理由；(3)如图2,假设点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重合),点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足/BAE=/BED=/AOD.继续探究：m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个6. (2021扬州)抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函

5、数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点,当APAC的周长最小时,求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M,使MAC为等腰三角形假设存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标；假设不存在,请说明理由.7. (2021陕西)如果一条抛物线y=ax2+bx+c(aw.与x轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的抛物线三角形.(1)抛物线三角形一一定是三角形:(2)假设抛物线y=-x2+bx(b>0)的抛物线三角形是等腰直角三角形,求b的值；(3)如图,4OAB是抛物线y=-x2+b'X鼠>.)的抛物线三角形,是否存在以原点.为对称中央的矩形A

6、BCD假设存在,求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；假设不存在,说明8. (2021南通)如图,经过点A(0,4)的抛物线y/jx2+bx+c与x轴相交于B(2,0),C两点,O为坐标原点.(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线y=|x2+bx+c向上平移个单位长度,再向左平移m(m>0)个单位长度得到新抛物线,假设新抛物线的顶点P在4ABC内,求m的取值范围；(3)设点M在y轴上,/OMB+/OAB=/ACB,求AM的长.9. (2021临沂)如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点.顺时针旋转120°至OB的位置.(1)求点B的坐标；(2)求经过点A、O、B的抛物线的

7、解析式；(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点巳使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形假设存在,求点P的坐标；假设不存在,说明理由.10. (2021凉山州)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点,并与x轴交于另一点C(点C点A的右侧),点P是抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)假设点P在第二象限内,过点P作PD,轴于D,交AB于点E.当点P运动到什么位置时,线段PE最长此时PE等于多少(3)如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q,与直线AB交于点N,点M为OA的中点,那么是否存在这样的直线

8、1,使得MON是等腰三角形假设存在,请求出点Q的坐标；假设不存在,请说明理由.11. (2021乐山)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,-n),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.实数m、n(mvn)分别是方程x2-2x-3=0的两根.(1)求抛物线的解析式；(2)假设点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧),连接OD、BD.当4OPC为等腰三角形时,求点P的坐标；求ABOD面积的最大值,并写出此时点D的坐标.12. (2021嘉兴)在平面直角坐标系xOy中,点P是抛物线

9、：y=x2上的动点(点在第一象限内).连接OP,过点.作OP的垂线交抛物线于另一点Q.连接PQ,交y轴于点M.作PA,x轴于点A,QB,x轴于点B.设点P的横坐标为m.(1)如图1,当m二时, 求线段OP的长和tan/POM的值； 在y轴上找一点C,使4OCQ是以OQ为腰的等腰三角形,求点C的坐标；(2)如图2,连接AM、BM,分别与OP、OQ相交于点D、E.用含m的代数式表示点Q的坐标；求证：四边形ODME是矩形.国1图213. (2021吉林)问题情境如图,在x轴上有两点A(m,0),B(n,0)(n>m>0).分别过点A,点B作x轴的垂线,交抛物线y=x2于点C、点D,直线O

10、C交直线BD于点E,直线OD交直线AC于点F,点E、点F的纵坐标分别记为yE,yF.特例探究填空：当m=1,n=2时,yE=,yF=；当m=3,n=5时,yE=,y.归纳证实对任意m,n(n>m>0),猜测yE与yF的大小关系,并证实你的猜测.拓展应用(1)假设将抛物线y=x2改为抛物线y=ax2(a>0),其他条件不变,请直接写出yE与yF的大小关系；(2)连接EF,AE.当S四边形ofe63S/xofe时,直接写出m与n的关系及四边形OFEA的形状.14. (2021黄冈)如图,抛物线的方程Ci:y=-(x+2)(x-m)(m>0)与x轴相交IT于点B、C,与y轴相

11、交于点E,且点B在点C的左侧.(1)假设抛物线Ci过点M(2,2),求实数m的值；(2)在(1)的条件下,求4BCE的面积；(3)在(1)条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使BH+EH最小,并求出点H的坐标；(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与4BCE相似假设存在,求m的值；假设不存在,请说明理由.15. (2021呼和浩特)如图,抛物线y=ax2+bx+c(av0)与双曲线相交于点A,B,且抛物线经过坐标原点,点A的坐标为(-2,2),点B在第四象限内,过点B作直线BC/x轴,点C为直线BC与抛物线的另一交点,直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴

12、的距离的4倍,记抛物线顶点为E.(1)求双曲线和抛物线的解析式；(2)计算4ABC与4ABE的面积；(3)在抛物线上是否存在点D,使4ABD的面积等于4ABE的面积的8倍假设存在,请求出点D的坐标；假设不存在,请说明理由.16. (2021衡阳)如下图,抛物线的顶点为坐标原点O,矩形ABCD的顶点A,D在抛物线上,且AD平行x轴,交y轴于点F,AB的中点E在x轴上,B点的坐标为(2,1),点P(a,b)在抛物线上运动.(点P异于点O)(1)求此抛物线的解析式.(2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R,求证：PF=PR是否存在点P,使得4PFR为等边三角形假设存在,求出点P的坐标；假设不存在

13、,请说明理由；延长PF交抛物线于另一点Q,过Q作BC所在直线的垂线,垂足为S,试判断4RSF的形状.17. (2021河南)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A、B点重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,彳PD±AB于点D.(1)求a、b及sin/ACP的值；(2)设点P的横坐标为m.用含有m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值；连接PB,线段PC把4PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,直接写出m的值,使这两个三角形的面积之比为9:10

14、假设存在,直接写出m的值；假设不存在,说明理由.18.(2021广元)如图,在矩形_,_._4.ABCD中,AO=3,tan/ACB二.以O为坐标原点,OC为x轴,OA为y轴建立平面直角坐标系,设D、E分别是线段ACOC上的动点,它们同时出发,点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动,点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动.设运动时间为t(秒)(1)求直线AC的解析式；(2)用含t的代数式表示点D的坐标；(3)在t为何值时,ODE为直角三角形(4)在什么条件下,以RtODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线并请选择一种情况,求出所确定的抛物线的解析式.0R19.(2021广州)如图,抛物线y=-彳/-彳/台与x轴交于A、84B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求点A、B的坐标；(2)设D为抛物线的对称轴上的任意一点,当4ACD的面积等于4ACB的面积时,求点D的坐标；(3)假设直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.20.(2021广安)如图,在平面直角坐标