专题14隐圆—动点到定点之定长的轨迹类问题探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究

1、专题十四：隐圆动点到定点之定长的轨迹类问题探究2cm的木棒EF紧贴着矩形的边EF的中点P在运动过程中所专题导例如图,在矩形ABCD中,AB=2cm,BC=4cm,现有一根长为即两个端点始终落在矩形的边上,按逆时针方向滑动一周,那么木棒围成的图形的面积为A.(8-ti)cm2B.4cm22C.(3+兀)cm方法剖析在一个平面内,线段AB绕它固定的一个端点A旋转一周,另一个端点B所形成的图形叫做圆,如下图,从依据此定义,我们来解决一类定点+定长的动态类问题.应用几何性质：三角形的三边关系：两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;两点间线段最短；连接直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短；定

2、圆中的所有弦中,直径最长.方法：见动点遇定点一知定长一转到圆一定圆心一现圆形导例解析：连接BP,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BP=±EF,然后判断出点2P在运动过程中所围成的图形的面积为长方形的面积减去四个扇形的面积,列式计算即可得解.导例答案解：如图,.P是EF的中点,.BP=-EF=/>2=1(cm),AB=2,点P在运动过程中所围成的图形的面积为长方形的面积减去四个扇形的面积,：又四个扇形的面积正好等于一个相同半径的圆的面积,4X2兀?1=8兀(cm2).应选：A.典例剖析类型一：隐圆之动点定长最短距离问题例1.如图,在RtAABC中,/C=6,BC=8,

3、点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将ACEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,那么点P到边AB距离的最小值是.分析：4CEF沿直线EF翻折时,点F为定点,=CF=PF,PF为定线,即动点P到定点F的距离始终不变,即点P在以F为圆心,PF长为半径的圆上运动.如此一来此题就转化为圆上一点到直线的最短距离问题.类型二：隐圆之动点定长路径轨迹问题2.如图,OO的半径为2,AB,CD是互相垂直的两条直径,点P是.O上任意一点P与A,B,C,D不重合,过点P作PMLAB于点M,PNLCD于点N,点Q是MN的中点,当点P沿着圆周转过45.时,点Q走过的路径长为.A.2B.2.5C.3D.3.

4、5【分析】根据OP的长度不变,始终等于半径,那么根据矩形的性质可得OQ=1,再由走过的角度代入弧长公式即可.专题突破1 .如图,边长为北的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为阴的圆上,顶点C、D在圆内,将正方形ABCD沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动.当点C第一次落在圆上时,点C运动的路径长为.2 .如图,.C的半径为2,圆外一点O满足OC=3.5,点P为.C上一动点,经过点O的直线l上有两点A、B,且OA=OB,/APB=90°,l不经过点C,那么AB的最小值为3 .如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E在边AD上,且AE:ED=1:2.动点P从点A出发,沿AB运动到点

5、B停止.过点E作EFXPE交射线BC于点F.设点M是线段EF的中点,那么在点P运动的整个过程中,点M的运动路径长为.4 .如图,在边长为2的菱形ABCD中,ZA=60°,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点,将AMN沿MN所在直线翻折得到AA'MN,连接AC,那么AC长度的最小值是5 .2021年十堰市如图,正方形ABCD和RtAAEF,AB=5,AE=AF=4,连接BF,DE,假设AAEF6 .如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=3,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点,将AAMN沿MN所在直线翻折得到AA'MN,连接A'C.在MN上存在一动点P.连

6、接A'P、CP,那么那'PC周长的最小值是.7 .如图,是一块含30°(即/CAB=30°)角的三角板和一个量角器拼在一起,三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN恰好重合,其量角器最外缘的读数是从N点开始(即N点的读数为O),现有射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到CB位置,在旋转过程中,射线CP与量角器的半圆弧交于E.(1)当旋转7.5秒时,连接BE,试说明：BE=CE;(2)填空：当射线CP经过那BC的外心时,点E处的读数是.当射线CP经过4ABC的内心时,点E处的读数是;设旋转x秒后,E点出的读数为y度,那么y与x的函数式是

7、y=8 .如图,等边那BC中,AB=6,点D在BC上,BD=4,点E从点C出发,以每秒1个单位长度的速度沿CA方向向点A运动,4CDE关于DE的轴对称图形为4FDE.(1)当t为何值时,点F在线段AC上.(2)当0Vt<4时,求/AEF与/BDF的数量关系；(3)当点B、E、F三点共线时,求证：点F为线段BE的中点.BDC9 .问题情境：如图1,P是.O外的一点,直线PO分别交.O于点A、B,那么PA是点P到.O上的点的最短距离.(1)探究：如图2,在.O上任取一点C(不为点A、B重合),连接PC、OC.试证实：PAVPC.(2)直接运用：如图3,在Rt9BC中,ZACB=90°

8、;,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于D,P是CD上的一个动点,连接AP,那么AP的最小值是(3)构造运用：如图4,在边长为2的菱形ABCD中,/A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将AAMN沿MN所在的直线翻折得到那MN,连接A'C,请求出AB长度的最小值.解：由折叠知A'M=AM,又M是AD的中点,可得MA=MA'=MD,故点A在以AD为直径的圆上.(请继续完成解题过程)(4)综合应用：(下面两小题请选择其中一道完成)如图5,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.假设正方

9、形的边长为2,那么线段DH长度的最小值是.如图6,平面直角坐标系中,分别以点A(-2,3),B(3,4)为圆心以1、2为半径作.A、OB,M、N分别是.A、OB上的动点,P为x轴上的动点,那么PM+PN的最小值等于.专题十四：隐圆动点到定点之定长的轨迹类问题探究例1.如图,延长FP交AB于M,当FPXAB时,点P到AB的距离最小.AFFM_AEBC./A=/A,/AMF=/C=90,AFMAABC,=二口1.CF=2,AC=6,BC=8,z.AF=4,AB='aC2BC2=10.FM=3.2.1-PF=CF=2,PM=1.2.点P到边AB距离的最小值是1.2.例2.解：PM,AB于点M

10、,PNXCD于点N,四边形ONPM是矩形,又点Q为MN的中点,点Q为OP的中点,又OP=2,那么OQ=1,点Q走过的路径长=45、兀乂1=工ISO4故答案为：2EJ.4专题突破1 .解:如下图:设圆心为O,连接AO,BO,AC,AE,.AB=&,AO=BO=Jj,AB=AO=BO,.AOB是等边三角形, ./AOB=/OAB=60°同理：AFAO是等边三角形,/FAB=2ZOAB=120°, ./EAC=120°-90°=30,/GFE=/FAD=120°-90°=30°, .ad=ab=6,AC=J近2+收2=2&

11、#39;当点c第一次落在圆上时,点c运动的路径长为二Y卫冗180180362 .解：连接OP,PC,OC,.OP圮CPC=3.5-2=1.5,当点O,P,C三点共线时,OP最小,最小值为1.5, OA=OB,/APB=90°,AB=2OP,当O,P,C三点共线时,AB有最小值为20P=3,3.解：如图,当P与A重合时,点F与K重合,此时点M在H处,当点P与B重合时,点F与G重合,点M在N处,点M的运动轨迹是线段HN.在RtAAEB中,AE=2,AB=4,be=E2+AB,=2传 aebaebg,.BE_AE =,BGBE.BG=2-X2m=10,2 BK=AE=2,KG=BG-BK=

12、8,HN=KG=4,2,点M的运动路径的长为4.故答案为4.4.解：如下图：:MA是定彳1,AC长度取最小彳1时,即A在MC上时,过点M作MFXDC于点F,.在边长为2的菱形ABCD中,/A=60°,M为AD中点, -2MD=AD=CD=2,ZFDM=60°, ./FMD=30°,FD=JdMD=_k,22FM=DMXcos30°=2MC='''斤 .AC=MC-MA1.故答案为：.-1.,AF=4,当那EF绕点A旋转时,点F在以A为圆心,4为半径的圆上,当BF为此圆的切线时,/ABF最大,即BF±AF,-42在RtAA

13、BF中,BF=3,.ZEAF=90°,./BAF+ZBAH=90°,/DAH+/BAH=90°,/DAH=/BAF,在那DH和祥BF中,ZAHD=NAFB,ZMH=£B叫AD=AS,ADHAABF(AAS),DH=BF=3,Saade=)AERH='X3X4=6.故答案为6.6.解：分两步:连接AP,那么AP=AP',.A'PC周长=A'P+PC+A'C=AP+PC+A'C,.A'P+PC*C,当A、P、C三点共线时,AP+PC有最小值,是AC的长,所以AC与MN的交点就是点P,由勾股定理得：AC=

14、«2十产照,连接CM,.AC第M-AM, 当M、A'、C三点共线时,AC有最小值,此时,:M是AD的中点,AM=DM=1.5, .MC=：.二由折叠得：AM=AM=1.5, .AC=MC-AM=-1V17-1.5,.A'PC周长的最小值是：寸行-二+讥后,故答案为：217-二+3时.22BC7、(1)证实：连接BE,如下图：.射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转,当旋转7.5秒时,/ACE=7.5>2°=ZABE=15°又./CAB=30°,ZCBA=60°,/ACB=90°,/CBE=

15、75°,ZBCE=90°-15=75°,即：/CBE=/BCE=75°BE=CE.AO;(2)解：当射线CP经过AABC的外心时,CP经过AB的中央且此时有：CO.ZOCA=ZCAB=30°,/AOE=60°点E处的读数是120°.当射线CP经过AABC的内心时,即CP为/ACB的角平分线,圆周角/BCE=x90=45°,圆心角为90°,点E处的读数是90°.设旋转x秒后,E点出的度数为v,由题意得:y与x的函数式是：y=180-4x(0vx<90.C8.解：1ABC是等边三角形CDE关于

16、DE的轴对称图形为FDE,DF=DC,EF=EC,且点F在AC上,/C=60°,.DCF是等边三角形,CD=CF=AB-BD=2,CE=1,t=1s;1(2)如图1,当0vtwi时,却 .ODE关于DE的轴对称图形为FDE,F=Z0=60°,/FDE=/CDE,/CED=/FED, /C+/CDE+/CED=180°,./C+/F+/CDE+ZEDF+ZCED+ZFED=360°, /CDF+180°+/AEF=360°-120°.1.180°-ZBDF+180°+/AEF=240°, ./BD

17、F-ZAEF=120°如图2,当1vt<4时,图2 CDE关于DE的轴对称图形为FDE,F=ZC=60°,/FDE=/CDE,ZCED=ZFED, ./FDC+ZC+/F+/CEF=360°,.1.180°-/BDF+120°+180°-/AEF=360°, ./BDF+/AEF=120°(3)如图3,过点D作DGEF于点G,过点E作EH,CD于点H,.CDE关于DE的轴对称图形为FDEDF=DC=2,/EFD=/C=60°,EF=EC, .GDXEF,/EFD=60° .FG=1,DG=

18、bFG=E,BD2=BG2+DG2, 16=3+(BF+1)2,-bf=<L3-1bg=A,EHXBC,/0=60°.CH=号,EH=6HC=EC,/GBD=/EBH,/BGD=/BHE=90°.,.BGDABHE,.DG5H=,故答案为：Vs-1；(3)解：如图4,由折叠知A'M=AM,又M是AD的中点,可得MA=MA'=MD,故点A在以AD为直径的圆上,由模型可知,当点A'在BM上时,AB长度取得最小值,边长为2的菱形ABCD中,/A=60°,M是AD边的中点,BM=2=故A'B的最小值为：6-1;(4)解：如图5:在正方形ABCD中,AB=AD=CD,/BAD=/CDA,/ADG=/CDG,在那BE和ADCF中,AB=CD/BAD二NCDA,AEFn.ABEADCF(SAS),/1=/2,O/1/在那DG和ACDG中,AD=CD/ftDG=/CDG,DG=DG .ADGQCDG(SAS),/2=/3,Z1=Z3, ./BAH+Z3=/BAD=90°,./1+/BAH=90°, .ZAHB