《完全平方公式》(第1课时)示范公开课教学设计【北师大版七年级数学下册】

1、第一章整式的乘除L6完全平方公式1教学设计一、教学目标1 .掌握完全平方公式,能利用完全平方公式进行运算；2 .理解公式的推导过程,了解公式的几何背景.二、教学重点及难点重点：弄清完全平方公式的结构特点,能用自己的语言说明公式及其特点并会应用：难点：熟练用完全平方公式进行运算.三、教学准备多媒体课件四、相关资源相关图片五、教学过程【问题情境】列出以下代数式吗？1两数和的平方：+工22两数差的平方；你能计算出他们的结果吗？提示：4+匕2=,+力4+.=.2+2而+；a-b2=ab'ab=a22ab+b.3根据乘方的定义,我们知道：a2=aa,那么a+bF应该写成什么样的形式呢？.+/?2

2、的运算结果有什么规律？今天我们来探究这一问题.设计意国：通过比照复习旧知识,引出新知识点.【探究新知】探究一、完全平方公式活动L计算以下各式,你能发现什么规律?(1) (+l=(+l)(p+l)=:(2) (m+2)2=；(-11=(-1)(-1)=：(4) (m-2)2=.学生讨论,师生共同归纳,得出结果：(1)(/?+1)2=(/?+1)(/?+1)=/?2+2/?+1：(5) +2=(m+2)(？+2)=m2+4m+4:(6) (-=(/?-l)(p-l)=p2-2/7+1；(7) (m-2)2=(tm-2)(m-2)=m24m+4.分析计算结果,寻找规律：结果中有两个数的平方和,而2P

3、=2-1,4?=2,2,恰好是两个数乘积的2倍：(1)与(3),(2)与(4)之间只差一个符号.活动2.计算推广：计算(“+力2=:(一.)2=.学生独立完成得到结果：(a+b')2=Ca+b)(a+b)=a2+2ab+b；(a-b)2=(ah')(ab')=a22ab+b.总结具有上述形式的多项式相乘,可以直接写出运算结果,得到完全平方公式：=a2+2ab+h2；Ca-b)2=a2-2ab+b2.即：两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.活动3.引导学生观察公式的左右边,进一步挖掘公式的结构特征公式左边是一个二项式的完全平方.公式的右边

4、是一个二次三项式,分别是二项式中每一项的平方及两项乘积的2倍(首平方,尾平方,乘积的两倍放中央,中间符号同前方).(1) (x+6)2=()2+2x6x+()2；(2) (2m+n)2=(2m)2+()+n2.答案：x,6；2x2"?.设计意图：通过计算得出完全平方公式,多层面多方位考察完全平方公式,加深理解探究二、几何解析你能根据图1和图2的面积说明完全平方公式吗？图1大正方形的边长为“+,面积就是“+>,同时,大正方形可以分成图中四个局部,它们的面积分别为也就,b因此,整个面积为/+皿+皿+/=/+为.+从,即说明+b2=a2+2ab+h2.类似地可由图2说明a-.2=/_

5、2ab+h2.设计意图：通过学生动手计算、讨论、交流,推导出完全平方公式,培养学生的代数推理水平,并从几何角度对公式进行解释,培养学生多方位思考问题的习惯,提升学生的合作交流意识和创新精神.【典型例题】例L用完全平方公式计算：(1) (2x-3)2；(2)(4x+5y)2:(3)(mn-ti)2分析：找准与公式中与“,对应因式,代入公式计算.解：*)2=(2»2-2)+(-3)2二4/-+9(2) (4x+5y)2=(4x)2-2(4.r)(5y)+(5y)2=16-40+25y2(3) (mn-it)2=(nvi)2-2mna+a2=m2n2-2mna+a2例2.运用完全平方公式计

6、算：(1) (4/7+n)2：(2)(y-)2.2解：(1)(4"?+n)2=(4m)2+2-(4?)-n+n2=16m2+Smn+n2：(2) (y-)2=y2-2->»-+(-)2=y2-y+-.-2'22''4设计意图：通过将算式中的各项与公式里的明力进行对照,进一步体会字母明力的含义,加深对字母含义广泛性的理解.例3.如果36.x24-(】+1)工y+25.V?是一个完全平方式,求小的值.分析：先根据两平方项确定出这两个数,再根据完全平方公式确定,的值.解：36x2+0+l)xy+25y2=(6x)2+0+l)xy+(5y)2,(?+l

7、)xy=±26x5y,】+1=±60,机=59或一61.设计意图：认清完全平方式的特点：两数的平方和加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式；注意积的2倍的符号,防止漏解.).CB.(a+3b)2=a2+9b2D.G+9)Cl9)=-9例4.(1)以下等式能成立的是(A.(t/-/?)2=a2-ab+b2C.(“+妨2=.2+为乐分(2)Q+3b)2-(3"6)2计算的结果是().CA,8(a-b)2C.8乂-8/D.8u2-8/72(3)在括号内选入适当的代数式使等式()=25/-5包+1),2成立.人-5x+-v2,D.-5%y22J4A.5x-yB.5

8、x+yC.rt(4)-与口乂与9+外?)运算的结果是().BA.-25.v4-16y4C.25-16/B.-25x4+40o2-16rD.25a4-40x2v2+16v2设计意图：完全平方公式的灵活运用.四、课堂练习1 .(1)计算3+万)2-(“一)2,其结果为()AA.4ahB.labC.2cD.2/(2)如果W+2ax+l是完全平方公式,那么的值为(A.1B.-1C.±1D.0(3)/一2心+1等于()AA.(岫2-1尸B.(ab2+1)2C.(a2h2-1)2D.(a2b-)2(4) 2P-/一),2等于()dA.(x-y)2B.(-x-y)2C.-(x+y)D.-(x-y)

9、?2.(1)(3x+2y)2-(3x-2y)2=24-(2) (342-2a+1)(3/+-1)=9t/4+2t?+1(3) ()-24/d+()=(-4c2)29,J,16c4,3u2设计意图：提升学生灵活运用完全平方公式的水平,体会公式在解决有些计算问题时的巧妙和简洁.(3) 用完全平方公式计算：(5-加2：(4) (3m-4n)2；(-3a+“解:(1)(5-“)2=2510“+"2：(一3?一4)2=9,+24】+16n2：(5) (34+%)2=9426a+/A4,下表为杨辉三角系数表,它的作用是指导读者按规律写出形如(a+b)"S为正整数)展开式的系数,请你仔细

10、观察下表中的规律,填出(“+力)6展开式中所缺的系数.(n+b=a+b,(a+b)2=a2+2ab+b29(a+方尸="3+3a2b+3而2+炉,那么(.+)6="6+&/5+15/抉+苏3+15d"+6护+/A解析：由(+b)+b,(4+噌2=*+%必+科(4+6)3=,+3°2.+3帅2+63,可得(a+b)的各项展开式的系数除首尾两项都是1外,其余各项系数都等于(a+b)r的相邻两个系数的和,由此可得(.+方)4的各项系数依次为1、4、6、4、1："+$的各项系数依次为1、5、10、10、5、1,因此“+66的各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1.故填20.设计意图：结合教材上的读一读,让学生明确对于规律探究题,读懂题意并根据所给的式子寻找规律,是快速解题的关键.六、课堂小结1 .完全平方公式和平方差公式不同：1形式不同.2结果不同：完全平方公式的结果是三项,即a±b2=a2+2ab+b平方差公式的结果是两项,即“+幼af=f2.2 .解题过程中要