中考数学平行四边形-经典压轴题含详细答案

1、中考数学平行四边形-经典压轴题含详细答案一、平行四边形1.在图1中,正方形ABCD的边长为a,等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b,且边AD和AE在同一直线上.操作例如当2bva时,如图1,在BA上选取点G,使BG=b,连结FG和CG,裁掉4FAG和4CGB并分别拼接到4FEH和4CHD的位置构成四边形FGCH思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将FAG绕点F逆时针旋转90.到4FEH的位置,易知EH与AD在同一直线上.连结CH,由剪拼方法可得DH=BG,故CHgCGB,从而又可将4CGB绕点C顺时针旋转90°到4CHD的位置.这样,对于剪拼得到的四边形FGCH如图1,过点F作

2、FMLAE于点M图略,利用SAS公理可判断HFMCHD,易得FH=HC=GC=FG/FHC=90.进而根据正方形的判定方法,可以判断出四边形FGCH是正方形.实践探究1正方形FGCH的面积是；用含a,b的式子表示2类比图1的剪拼方法,请你就图2图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图.图2图*图联想拓展小明通过探究后发现：当bWa时,此类图形都能剪拼成正方形,且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移.当b>a时如图5,能否剪拼成一个正方形？假设能,请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；假设不能,简要说明理由.A【答案】(1)a2+b2;(2)见解析；联想拓展：能剪拼

3、成正方形.见解析.【解析】分析：实践探究：根据正方形FGCH的面积=BG2+BC2进而得出答案；应采用类比的方法,注意无论等腰直角三角形的大小如何变化,BG永远等于等腰直角三角形斜边的一半.注意当b=a时,也可直接沿正方形的对角线分割.详解：实践探究：正方形的面积是：BG2+BC2=a2+b2；剪拼方法如图2-图4；联想拓展：能,运用类比方法作图时,应根据范例抓住作图的关键：作的线段的长度与某条线段的比值永远相等,旋转的三角形,连接的点都应是相同的.2.如图,在RHABC中,ZB=90°,AC=60cm,/A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动

4、,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(0vtW15.过点D作DF,BC于点F,连接DE,EF.(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能,求出相应的t值,如果不能,说明理由;(3)当t为何值时,4DEF为直角三角形？请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)能,t=10；(3)t=15或12.2【解析】【分析】(1)利用t表示出CD以及AE的长,然后在直角4CDF中,利用直角三角形的性质求得DF的长,即可证实；(2)易证四边形AEFD是平行四边形,当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,据此即可列

5、方程求得t的值；(3)4DEF为直角三角形,分/EDF=90和/DEF=90两种情况讨论.【详解】解：(1)证实：二.在RtABC中,/C=90/A=30°,AB=1AC=1X60=30cm22.CD=4t,AE=2t,又在RtCDF中,/C=30,.DF=1CD=2t,DF=AE2能,1. DF/AB,DF=AE四边形AEFD是平行四边形,当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,即60-4t=2t,解得：t=10,当t=10时,AEFD是菱形；(3)假设ADEF为直角三角形,有两种情况：如图1,/EDF=90°,DE/BC,A15那么AD=2AE,即604t=2X21解得：

6、t=一,2如图2,/DEF=90：DE±AC,那么AE=2AD,即2t2(604t),解得：t=12,综上所述,当t=15或12时,4DEF为直角三角形.23. (1)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O作直线EF±BD,交AD于点E,交BC于点F,连接BE、DF,且BE平分/ABD. 求证：四边形BFDE是菱形；直接写出/EBF的度数；(2)把(1)中菱形BFDE进行别离研究,如图,点G、I分别在BF、BE边上,且BG=BI,连接GD,H为GD的中点,连接FH并延长,交ED于点J,连接IJIH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系,并说明理

7、由；(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究,如图,当矩形ABCD满足AB=AD时,点E是对角线AC上一点,连接DE、ERDF,使4DEF是等腰直角三角形,DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.【答案】(1)详见解析；60°.(2)IH=QfH；(3)EG2=AG2+CE2.【解析】【分析】(1)由DOEBOF,推出E0=OF,OB=OD,推出四边形EBFD是平行四边形,再证实EB=ED即可. 先证实/ABD=2ZADB,推出/ADB=30°,延长即可解决问题.(2) IH=V3FH,只要证实IJF是等边三角形即可.(3)结论：EG2=A

8、G2+C色如图3中,将4ADG绕点D逆时针旋转90°得到ADCM,先证明DE84DEM,再证实ECM是直角三角形即可解决问题.【详解】(1)证实：如图1中, 四边形ABCD是矩形, .AD/BC,OB=OD,/EDO=/FBO,在DOE和BOF中,EDO=FBOOD=OBEOD=BOF.,.DOEABOF,EO=OF,1.OB=OD, 四边形EBFD是平行四边形,EF±BD,OB=OD,.EB=ED, 四边形EBFD是菱形.BE平分/ABD,/ABE=/EBD, .EB=ED,/EBD=/EDB,/ABD=2ZADB, /ABD+ZADB=90°,/ADB=30；

9、/ABD=60：/ABE=/EBO=/OBF=30°,/EBF=60°.2结论：ih=J3fh.理由：如图2中,延长BE至IJM,使得EM=EJ,连接MJ.Wl 四边形EBFD是菱形,/B=60;,-.EB=BF=ED,DE/BF,/JDH=/FGH,在DHJ和AGHF中,DHG=GHFDH=GH,JDH=FGH .DH乒GHF, .DJ=FG,J&HF,EJ=BG=EM=BI,.BE=IM=BF, /MEJ=/B=60；.MEJ是等边三角形,.-.MJ=EM=NI,ZM=ZB=60°在BIF和AMJI中,BI=MJB=M,BF=IM2 .BIFAMJI,

10、.IJ=IF,/BFI=/MIJ,HJ=HF,.-.IH±JF3 /BF+ZBIF=120:4 /MIJ+ZBIF=120；/JIF=60； .JIF是等边三角形,在RtIHF中,./IHF=90°,/IFH=60°,/FIH=30;.IH=T3FH.(3)结论：eG2=ag2+cE?.理由：如图3中,将4ADG绕点D逆时针旋转90°得到ADCM, /FA./DEF=90°, .AFED四点共圆,/EDF=/DAE=45°,/ADC=90； /ADF+ZEDC=45°, /ADF=/CDM, /CDM+ZCDE=45=/ED

11、G,在ADEM和DEG中,DE=DEEDG=EDM,DG=DM .DEGADEM,.GE=EM, /DCM=/DAG=/ACD=45；AG=CM,/ECM=90°EC2+CM2=EM2,.EG=EM,AG=CM,.GE2=AG2+C邑【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形,学会转化的思想思'考问题.4.如图,四边形ABCD是知形,AB1,BC2,点E是线段BC上一动点(不与B,C重合),点F是线段BA延长线上一动点,连接DE,EF,DF,EF交AD于点G.设B

12、Ex,AFy,y与x之间的函数关系如图所示.图图(i)求图中y与x的函数表达式；(2)求证：deDF；(3)是否存在x的值,使得4DEG是等腰三角形被口果存在,求出x的值;如果不存在,说明理由【答案】(1)y=-2x+4(0vxv2)；(2)见解析；(3)存在,x=：或5:或3【解析】【分析】(1)利用待定系数法可得y与x的函数表达式；(2)证实CDa4ADF,得/ADF=/CDE,可得结论；(3)分三种情况：假设DE=DG,贝U/DGE=/DEG,假设DE=EG,如图,作EH/CD,交AD于H,假设DG=EG,贝U/GDE=/GED,分别列方程计算可得结论.【详解】(1)设y=kx+b,由图

13、象得：当当x=0时,y=4,k代入得：b.y=-2x+4(0vxv2)；(2) BE=x,BC=2.CE=2-x,CE2x1CD1 AF42x2,AD2CECD一,AFAD 四边形ABCD是矩形,./C=/DAF=90°,.,.CDEAADF,/ADF=/CDE /ADF+/EDG=/CDB/EDG=90°, DEXDF；(3)假设存在x的值,使得ADEG是等腰三角形,假设DE=DG,贝U/DGE=/DEG,四边形ABCD是矩形,.AD/BC,ZB=90°,/DGE=/GEB,/DEG=/BEG,在4DEF和4BEF中,FDEBDEFBEF,EFEF.DEFABE

14、F(AA§,.DE=BE=x,CE=2-x,.在RtCDE中,由勾股定理得：1+(2-x)2=x2,5x=-；4假设DE=EG,如图,作EH/CD,交AD于H,闻岔).AD/BC,EH/CD,四边形CDHE是平行四边形,ZC=90°,四边形CDHE是矩形,-.EH=CD=1,DH=CE=2-x,EH±DGi,.-.HG=DH=2-x,.AG=2x-2,1.EH/CD,DC/AB,.EH/AF,.EHGAFAG,EHHGAFAG1 2x,42x2x25.5x5.5舍x1c,x2c3J)22假设DG=EG,贝U/GDE=/GED,1.AD/BC,/GDE=/DEC/G

15、ED=/DEC /C=/EDF=90;.,.CDEADFE, CEDECDDF'-/CDEAADF,DEDFCD1AD212,13-2-x=,x=,【点睛】 CECD此题是四边形的综合题,主要考查了待定系数法求一次函数的解析式,三角形相似和全等的性质和判定,矩形和平行四边形的性质和判定,勾股定理和逆定理等知识,运用相似三角形的性质是解决此题的关键.5.如图,在平面直角坐标系中,直线DE交x轴于点E(30,0),交y轴于点D(0,、140),直线AB:y=x+5交x轴于点A,交y轴于点B,交直线DE于点P,过点E作3EF,x轴交直线AB于点F,以EF为一边向右作正方形EFGH(1)求边E

16、F的长；(2)将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒配个单位的速度匀速平移,得到正方形EiFiGiHi,在平移过程中边FiGi始终与y轴垂直,设平移的时间为t秒(t>0).当点Fi移动到点B时,求t的值；当Gi,Hi两点中有一点移动到直线DE上时,请直接写出此时正方形EiFiGiHi与4APE重叠局部的面积.【答案】(i)EF=i5;(2)i0;i20;【解析】【分析】(i)根据点E(30,0),点D(0,40),求出直线DE的直线解析式y=-x+40,可3求出P点坐标,进而求出F点坐标即可；易求B(0,5),当点Fi移动到点B时,t=i0J70r75=i0；人MH4DMH'中,

17、EM3'F点移动到F'的距离是而t,F垂直x轴方向移动的距离是t,当点H运动到直线DE上时,在RtAF'NF中,-NF=i,EM=NG'=i5-F'N=i5-3t,在NF3t=4,S=1><(i2+5)Xii军；当点G运动到直线DE上时,在RtF'PK中,-PK=-248FK3PKt34一一_一PK=t-3,F'K=3t-9,在RtPKG中,=一,t=7,S=i5X(i5-7)=i20.KGi53t93(i)设直线DE的直线解析式y=kx+b,将点E(30,0),点D(0,40),30kb0b4040y=x+40,3直线AB与

18、直线DE的交点P(21,12),由题意知F(30,15),EF=15;(2)易求B(0,5), BF=10V10,当点F1移动到点B时,t=10ji6Ji0=10；当点H运动到直线DE上时,F点移动到F'的距离是圻0t,在Rt"'NF中,NFNF.FN=t,F'N=3t, .MH'=FN=t,EM=NG'=15-F'N=15-3t,在RtDMH'中,MH4,EM3t4-,153t3 t=4,.EM=3,MH'=4,1023145.S(12)1124当点G运动到直线DE上时,F点移动到F'的距离是501, .PF=

19、310, -PF'=后t-3后,在RtF'PK中,PK1-,FK3.PK=t-3,F'K=3t-9,PKt3在RtAPKG中,=KG153t9 .t=7, .S=15X(15-7)=120.【点睛】此题考查一次函数图象及性质,正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式,利用三角形的正切值求边的关系,利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系,准确确定阴影局部的面积是解题的关键.6.(1)(问题发现)如图1,在RtAABC中,AB=AC=2,ZBAC=90°,点D为BC的中点,以CD为一边作正方形CDEF点E恰好与点A重合,那么线段BE与AF的数量关系为(2)(拓

20、展研究)在(1)的条件下,如果正方形CDEF绕点C旋转,连接BE,CE,AF,线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证实；(3)(问题发现)当正方形CDEF旋转到B,E,F三点共线时候,直接写出线段AF的长.【答案】(1)BE=72aF;(2)无变化；(3)AF的长为6T或73+1.【解析】试题分析：1先利用等腰直角三角形的性质得出AD=J2,再得出BE=AB=2,即可得出结论；2先利用三角函数得出CA显,同理得出CF,夹角相等即可得出CB2CE2ACQ4BCE进而得出结论；3分两种情况计算,当点E在线段BF上时,如图2,先利用勾股定理求出EF=CF=AD=/2,BF=J6,即

21、可得出BE=76-J2,借助2得出的结论,当点E在线段BF的延长线上,同前一种情况一样即可得出结论.试题解析：1在RtAABC中,AB=AC=2根据勾股定理得,BC=J2AB=2点,点D为BC的中点,.AD=1BC=72,.四边形CDEF是正方形,AF=EF=AD=/2,.BE=AB=2,.BE=&AF,故答案为BE=,2AF;2无变化；如图2,在RtAABC中,AB=AC=2,/ABC=ZACB=45sin/ABC=CA,CB2在正方形CDEF中,/FEC=1/FED=45；2在RtCEF中,sinZFEC=CF巨CE2'CFCA一一,CECB /FCE4ACB=45/FCE

22、-/ACE=ZACB-/ACE,./FCA=ZECBBECB .ACDBCE=J2,BE=J2AFAFCA' 线段BE与AF的数量关系无变化；3当点E在线段AF上时,如图2,由1知,cf=ef=cd=/2,在RtBCF中,CF=2,BC=272,根据勾股定理得,BF=/6,BE=B1EF=/6-72,由2知,BE=72AF,.,.AF=73-1,当点E在线段BF的延长线上时,如图3,在RtAABC中,AB=AC=2,/ABC=ZACB=45,在正方形CDEF中,ZFEC=1ZFED=45,°2在RtCEF中,sin/FEC=CL巨CFCE2CEsinZABC=CA_1,CB2

23、'CACB,/FCE=/ACB=45/FCB+/ACB=ZFCB+/FCE/FCA=/ECBBECB_.ACFABCE=J2,BE=/1AF,AFCA由1知,CF=EF=CD=1,在RtBCF中,CF41,BC=271,根据勾股定理得,bf=J6,be=bf+ef=/6+J2,由2知,BE=J2aF,AF=J3+1.AF的长为J3T或J3+1.即：当正方形CDEF旋转到B,EF三点共线时候,线段7.在VABC中,ADBC于点D,点E为AC边的中点,过点A作AF/BC,交DE的延长线于点F,连接CF.1如图1,求证：四边形ADCF是矩形；2如图2,当ABAC时,取AB的中点G,连接DG、

24、EG,在不添加任何辅助线和字母的条件下,请直接写出图中所有的平行四边形不包括矩形ADCF.【答案】1证实见解析；2四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形.【解析】【分析】(1)由4AE图CEQ推出EF=DE又AE=EQ推出四边形ADCF是平行四边形,只要证明/ADQ=90,即可推出四边形ADQF是矩形.(2)四边形ABDF、四边形AGEE四边形GBDE四边形AGDE四边形GDQE都是平行四边形.【详解】1证实：:AF/BC,AFEEDQ,E是AC中点,AEEC,在VAEF和VQED中,AFEQDEAEFQED,AEEQVAEFVQED,EF

25、DE,AEEQ,四边形ADQF是平行四边形,ADBQ,ADQ900,四边形ADQF是矩形.2.线段DG、线段GE、线段DE都是VABQ的中位线,又AF/BQ,.AB/DE,DG/AQ,EG/BQ,四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDQE都是平行四边形.【点睛】考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识,正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键8.如图1,在正方形ABQD中,AD=6,点P是对角线BD上任意一点,连接PA,PQ过点P作PE±PQ交直线AB于E.(1) 求证：PQ=PE;(2) 延长AP交直线QD

26、于点F.如图2,假设点F是QD的中点,求4APE的面积；一.一216假设AAPEJ面积是,那么DF的长为25(3) 如图3,点E在边AB上,连接EQ交BD于点M,作点E关于BD的对称点Q,连接72PQ,MQ,过点P作PN/CD交EC于点N,连接QN,假设PQ=5,MN=2,那么MNQ的面积是AnAA片图J图1闱35【答案】(1)略；(2)8,4或9;(3)6【解析】【分析】(1)利用正方形每个角都是90°,对角线平分对角的性质,三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和,等角对等边等性质容易得证；(2)作出4ADP和4DFP的高,由面积法容易求出这个高的值.从而得到4PAE的底和高,并求

27、出面积.第2小问思路一样,通过面积法列出方程求解即可；(3)根据已经条件证出4MNQ是直角三角形,计算直角边乘积的一半可得其面积.【详解】(1)证实：二.点P在对角线BD上, .ADPACDF?,AP=CP/DAP=/DCP .PE±PC,/EPC=ZEPB吆BPC=90,° /PEA=ZEBP+ZEPB=45+90BPC=135-ZBPC, /PAE=90-ZDAP=90-/DCP/DCP=ZBPC-ZPDC=ZBPC-45,°/PAE=90-(°ZBPC-45)=135-ZBPC,/PEA=ZPAE,.PC=PE;(2)如图2,过点P分别作PH

28、77;AD,PGJ±CD垂足分别为H、G.延长GP交AB于点四边形ABCD是正方形,P在对角线上,四边形HPGD是正方形,.PH=PG,PM±AB,设PH=PG=a,.F是CD中点,AD=6,那么FD=3,Snadf=9,SnADF=SnADPc1一SnDFP=AD2PH-DF2PG,-a6-a2239,解得a=2,AM=HP=2,MP=MG-PG=6-2=4,又PA=PE,.AM=EM,AE=4,8,C1.Snape=EAMP2设HP=b,由可得AE=2b,MP=6-b,SnAPE=12b62216b25解得b=2.4或3.6,_1A_SnADF=SnADPSnDFP=-

29、AD2PH-DF2PG,6,116b-DFb-DF22当b=2.4时,DF=4;当b=3.6时,DF=9,即DF的长为4或9;(3)如图,E、Q关于BP对称,PN/CD,/1=/2,/2+/3=/BDC=45,°/1+Z4=45；/3=/4,易证PEMPQM,PNQZPNC,.1./5=/6,/7=/8,EM=QM,NQ=NC,/6+/7=90:.MNQ是直角三角形,设EM=a,NC=b列方程组7.2可得1ab=5,26SVMNQ6,【点睛】此题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形全等是解决问题的关键.要注意运用数形结合思想形的判定与性质等知识

30、；此题综合性强,有一定难度,熟练掌握正方形的性质,证实三角9.如图,在矩形ABCD中,点P从AB边的中点E出发,沿着EBC速运动,速度为每秒2个单位长度,到达点C后停止运动,点Q是AD上的点,AQ10,设paq的面积为y,点p运动的时间为t秒,y与t的函数关系如图所示.图中AB=,BC=_,图中m=(2)当t=1秒时,试判断以PQ为直径的圆是否与BC边相切？请说明理由：(3)点P在运动过程中,将矩形沿PQ所在直线折叠,那么t为何值时,折叠后顶点A的对应点A落在矩形的一边上.【答案】(1)8,18,20;(2)不相切,证实见解析;【解析】【分析】(1)由题意得出AB=2BEt=2时,BE=2X2

31、=4求出AB=2BE=8,AE=BE=4,t=11时,12t=22,得出BC=18,当t=0时,点P在E处,m=4AEQ的面积=AQXAE=2脚可；2(2)当t=1时,PE=2,得出AP=AE+PE=6由勾股定理求出PQ=2J34,设以PQ为直径的圆的圆心为O',作O'NXBC于N,延长NO'交AD于M,那么MN=AB=8,O'M/AB,MN=AB=8,由三角形中位线定理得出O'M=AP=3,求出O'N=MN-O'M=5圆O'的半径,2即可得出结论；(3)分三种情况：当点P在AB边上,A'落在BC边上时,作QF±

32、BC于F,那么QF=AB=8,BF=AQ=10,由折叠的性质得：PA'=PAA'Q=AQ=10,ZPA'Q=ZA=90°,由勾股定理求出A'F=JaQ2_QF2=6,得出A'B=BF-A'F=4,在RtA'BP中,BP=4-2t,PA'=AP=8-(4-2t)=4+2t,由勾股定理得出方程,解方程即可； 当点P在BC边上,A'落在BC边上时,由折叠的性质得：A'P=AP,证出ZAPQ=ZAQP,得出AP=AQ=A'P=10,在RtAABP中,由勾股定理求出BP=6,由BP=2t-4,得出2t-4=

33、6,解方程即可； 当点P在BC边上,A'落在CD边上时,由折叠的性质得：A'P=AP,A'Q=AQ=10,在RtADQA'中,DQ=AD-AQ=8,由勾股定理求出DA'=6,得出A'C=CD-DA'=2,在RtABP和RtAA'PC中,BP=2t-4,CP=BC-BP=22-2t由勾股定理得出方程,解方程即可.【详解】(1) .点P从AB边的中点E出发,速度为每秒2个单位长度,.AB=2BE,由图象得：t=2时,BE=2X2=4,.AB=2BE=8,AE=BE=4t=11时,2t=22,.BC=22-4=18,当t=0时,点P在E

34、处,m=4AEQ的面积=1AQXAE=1X10X4=2022故答案为8,18,20;(2)当t=1秒时,以PQ为直径的圆不与BC边相切,理由如下:当t=1时,PE=2,.AP=AE+PE=4+2=6四边形ABCD是矩形,/A=90,°贝UMN=AB=8,O'M/AB,MN=AB=8,1所示:.O'为PQ的中点,PQ=AQ2AP2102622.34, OM是APQ的中位线,1 .O'M=-AP=3,2 .O'N=MN-O'M=5v扃,以PQ为直径的圆不与BC边相切；(3)分三种情况：当点P在AB边上,A'落在BC边上时,作QF±

35、BC于F,如图2所0示：图2贝UQF=AB=8,BF=AQ=10, 四边形ABCD是矩形,/A=ZB=ZBCD=ZD=90；CD=AB=8AD=BC=18,由折叠的性质得：PA'=PAA'Q=AQ=10,ZPA'Q=ZA=90°, A'F=JAQ2QF2=6, .A'B=BF-A'F=4,在RtAA'BP中,BP=4-2t,PA'=AP=8-(4-2t)=4+2t,由勾股定理得：42+(4-2t)2=(4+2t)2,1解得：t二一；2当点P在BC边上,A'落在BC边上时,连接AA',如图3所示:由折叠的性

36、质得：A'P=AP,/APQ'=ZA'PQ,1. AD/BC,/AQP=ZA'PQ,/APQ=ZAQP, .AP=AQ=A'P=10,在RtABP中,由勾股定理得：BP=J10282=6,又BP=2t-4, -2t-4=6,解得：t=5;当点P在BC边上,A'落在CD边上时,连接由折叠的性质得：A'P=AP,A'Q=AQ=10,AP、A'P,如图4所示:在RtADQA'中,DQ=AD-AQ=8,由勾股定理得：DA'=wo282=6, .A'C=CD-DA'=2,在RtABP和RtAA'

37、;PC中,BP=2t-4,CP=BC-BP=18-(2t-4)=22-2t,由勾股定理得：AP2=82+(2t-4)2,A,P2=22+(22-2t)2, .82+(2t-4)2=22+(22-2t)2,-17解得：t二一；3综上所述,t为1或5或"时,折叠后顶点A的对应点A落在矩形的一边上.23【点睛】四边形综合题目,考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图象、直线与圆友好三角形的位置关系、三角形中位线定理、等腰三角形的判定、以及分类讨论等知识.10.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做性质：如果两个三角形是友好三角形,那么这两个三角形的面积相等.理解：如图,

38、在4ABC中,CD是AB边上的中线,那么4ACD和4BCD是友好三角形,并且SaacD=Sabcd.应用：如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BFAF与BE交于点O.1求证：4AOB和4AOE是友好三角形；2连接OD,假设4AOE和ADOE是友好三角形,求四边形CDOF的面积.探究：在ABC中,/A=30°,AB=4,点D在线段AB上,连接CD,AACDABCD>友好三角形,将4ACD沿CD所在直线翻折,得到CD假设CDfABC重合局部的面积等于ABC面积的4,请直接写出4ABC的面积.3CD£图图【答案】1见解析；212;探

39、究：2或2%3.【解析】ABFE是平试题分析：1利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得到四边形行四边形,然后根据平行四边形的性质证得OE=OB,即可证得4AOE和4AOB是友好三角形；2AAOEADOE>友好三角形,即可得到E是AD的中点,那么可以求得ABEABF的面积,根据S四边形CDOf=S矩形ABCh2S/ABF即可求解.探究：画出符合条件的两种情况：求出四边形A'DCBb平行四边形,求出BC和A'出/ACB=90,根据三角形面积公式求出即可；求出高CQ求出DC勺面积.即可求出ABC的面积.试题解析：1二.四边形ABCD是矩形,.AD/BC,.AE=BF,四

40、边形ABFE是平行四边形,.OE=OB,AOE和AOB是友好三角形.(2) .AOE和ADOE是友好三角形,IISAAOE=SDOEi,AE=ED=AD=3, AOB与AOE是友好三角形, SzAOB=SAOE, .AOEAFOB,Saaoe=Safob,Saaod=Saabf,1S四边形cdof=S矩形abcd-2Saabf=4X6-2X4X3=12探究：解：分为两种情况：如图1,1/Saacd=Sabcd>>112.AD=BD=AB,沿CD折叠A和A重合,111 .AD=A,DABX4=2II A'CDABC重合局部的面积等于ABC面积的工,11II1111 "

41、;Sadoc=Saabc=Sabdc=Sadc=Saadc .DO=OB,A'O=CO 四边形A'DCB平行四边形,BC=A'D=2过B作BMXACTM, .AB=4,/BAC=30,°II2八1 .BM=AB=2=BC即C和M重合,2 /ACB=90；由勾股定理得：AC='1AC=27=2-'1_一歹.ABC的面积是,XBCX如图2,-Saace=Sxbcd.1,AD=BD=AB,沿CD折叠A和A重合,1111,AD=A,D=B=X4=2IIA'CDABC重合局部的面积等于ABC面积的彳,11II1111Sadoc=Saabc=&qu

42、ot;Sabdc=,Sxadc=Saa'dc.DO=OA,BO=CO,四边形A'BDC平行四边形,.A'C=BD=2过C作CO!A'吁Q,.A'C=2/DA'C=BAC=30°1.CQ=7A,C=1Saabc=2Saadc=2Sa'dC2乂,即ABC的面积是2或21?DX1CQ=2XX1;=2考点：四边形综合题.11.如图,AB为.O的直径,点E在.O上,过点E的切线与AB的延长线交于点接BE,过点O作BE的平行线,交.于点F,交切线于点C,连接AC(1)求证：AC是.的切线；(2)连接EF,当/D=.时,四边形FOBE是菱形.

43、D,连【答案】(1)见解析；(2)30.【解析】【分析】(1)由等角的转换证实出OCgOCE,根据圆的位置关系证得AC是.的切线.(2)根据四边形FOBE是菱形,得到OF=OB=BF=EF得证OBE为等边三角形,而得出BOE60,根据三角形内角和即可求出答案.【详解】(1)证实：.CD与.相切于点E,OECD, CEO90,又.OCPBE,COEOEB,/OBE=/COA .OE=OB, OEBOBE,COECOA,y.,oc=ocoa=oe OCA0OCE(SAS,CAOCEO90,又AB为.O的直径, .AC为.O的切线；(2)解：二四边形FOBE是菱形,.OF=OB=BF=EF.OE=O

44、B=BEOBE为等边三角形,BOE60,而OECD,D30.故答案为30.【点睛】此题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题,熟练掌握圆的性质是此题的解题关Ir12.数学活动课上,老师给出如下问题：如图,将等腰直角三角形纸片沿斜边上的高AC剪开,得到等腰直角三角形4ABC与EFD,将4EFD的直角顶点在直线BC上平移,在平移的过程中,直线AC与直线DE交于点Q,让同学们探究线段BQ与AD的数量关系和位置关系.请你阅读下面交流信息,解决所提出的问题.展示交流：小敏：满足条件的图形如图甲所示图形,延长BQ与AD交于点H.我们可以证实BCQAACD,从而易得BQ=AD,BQXAD.小慧：根据图甲

45、,当点F在线段BC上时,我们可以验证小慧的说法是正确的.但当点F在线段CB的延长线上如图乙或线段CB的反向延长线上如图丙时,我对小慧说法的正确性表示疑心.1请你帮助小慧进行分析,小敏的结论在图乙、图丙中是否成立？请说明理由.选择图乙或图丙的一种情况说明即可.2小慧思考问题的方式中,蕴含的数学思想是.拓展延伸：根据你上面选择的图形,分别取AB、BDDQ、AQ的中点M、N、P、T,那么四边形MNPT是什么样的特殊四边形？请说明理由.【答案】成立；分类讨论思想；正方形.【解析】试题分析：利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出BQ=AD,BQXAD；利用条件分类得出,表达数学中的分类讨

46、论思想,拓展延伸：利用三角形中位线定理结合正方形的判定方法,首先得出四边形MNPT是平行四边形进而得出它是菱形,再求出一个内角是90.,即可得出答案.试题解析：1、成立,理由：如图乙：由题意可得：/FDE=/QDC=ZABC=ZBAC=45,贝UDC=QCAC=BCIM>ECNACD=NBE,.ADOBQC(SAS,.AD=BQ,DC=CQ/DAC=ZQBC,延长AD交BQ于点F,那么/ADC=ZBDF,/BFD=ZACD=90,AD±BQ;(2)、小慧思考问题的方式中,蕴含的数学思想是：分类讨论思想;拓展延伸：四边形MNPT是正方形,理由：取AB、BDDQ、AQ的中点M、N、

47、P、T,.MN/JlAD,T迎2AD,一2一2.MN上TP,四边形MNPT是平行四边形,NP-BQ,BQ=AD,NP=MN,平行四边形MNPT是菱形,又ADBQ,NP/BQ,MN/AD,./MNP=90,.四边形MNPT是正方形.EA考点：几何变换综合题13.倡导研究性学习方式,着力教材研究,习题研究,是学生跳出题海,提升学习水平和创新水平的有效途径.下面是一案例,请同学们认真阅读、研究,完成类比猜测的问题.习题如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BCCD上,/EAF=45,连接EF,那么EF=BE+DF说明理由.解答：.正方形ABCD中,AB=AD,/BAD=/ADC=ZB=90&#

48、176;,把ABE绕点A逆时针旋转90至ADE；点F、D、E在一条直线上./E'AF=905-45=/EAF,又AE'=A&F=AF.AEAAEF(SAS,EF=E'F=DE'+DF=BE+DF类比猜测：(1)请同学们研究：如图(2),在菱形ABCD中,点E、F分别在BGCD上,当ZBAD=120,°/EAF=60时,还有EF=BE+DF马？请说明理由.(2)在四边形ABCD中,点E、F分别在BCCD上,当AB=AD,/B+/D=180,1/EAF=-t/BAD时,EF=BE+DF马？请说明理由.D【答案】证实见解析.【解析】试题分析：1把AB

49、E绕点A逆时针旋转120.至AADE,如图2,连结E',F根据菱形和旋转的性质得到AE=AE,/EAF=/E'AF利用"SASE明4AE图AE'E得至UEF=E乎由于/ADE廿ADC=120,那么点F、D、E不共线,所以DE+DFEF,即由BE+DF>EF;2把ABE绕点A逆时针旋转/BAD的度数至AADE,如图3,根据旋转的性质得到AE'=AE/EAF=ZE'AF然后利用“SASE明AEHAE'F得到EF=EJ由于/ADE'4ADC=180知F、D、E共线,因此有EF=DE'+DF=BE+网前面的条件和结论可归纳

50、出结论.试题解析：1当/BAD=120,/EAF=60时,EF=BE+D环成立,EF<BE+DF理由如下：二.在菱形ABCD中,/BAD=120,ZEAF=60,.AB=AD,/1+/2=60；/B=/ADC=60,° 把4ABE绕点A逆时针旋转120SAADE；如图2,连结E',F /EAE'=1?0/1=/3,AE'=A由E'=B*ADE'0B=60；/2+/3=60； ./EAF=/E'AF在4AEF和AE'中AE=AET£EAF=.E'AFI"=AF.1.AEFAAE,RSAS,EF=E

51、；F ./ADE'4ADC=120即点F、D、E不共线, .DE'+DFEFBE+DF>EF;112当AB=AD,/B+/D=180,/EAF=/BAD时,EF=BE+D城立.理由如下：如图3,Ef .AB=AD, 把ABE绕点A逆时针旋转/BAD的度数至ADE；如图3, ./EAE'/BAD,/1=/3,AE'=AEE,=B*ADEB, /B+/D=180,° /ADE'4D=180,° 点F、D、E共线,1ZEAF=/BAD,11,2一./1+/2="/BAD,11/2+/3,/BAD,./EAF=/E'A

52、F在AAEF和4人E由AE=AETLEAF=tfTAF.1.AEFAAE,RSAS,EF=E:FEF=DE+DF=BE+DF归纳：在四边形ABCD中,点E、F分别在BCCD上,当AB=AD,/B+/D=180,a/EAF=/BAD时,EF=BE+DF考点：四边形综合题.14.：如图,四边形ABCD和四边形AECF者B是矩形,AE与BC交于点M,CF与AD交于点N.(1)求证：ABMCDN；(2)矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时,四边形AMCN是菱形,证实你的结论.【答案】(1)证实见解析；(2)当AB=AF时,四边形AMCN是菱形.证实见解析；【解析】试题分析：(1)由条件可得四边形AMCN是平行四边形,从而可得AM=CN,