《平行四边形》全章复习与巩固(提高)知识讲解

1、?平行四边形?全章复习与稳固(提升)【学习目标】1 .掌握平行四边形的性质定理和判定定理.2 .掌握三角形的中位线定理.3 .了解多边形的定义以及内角、外角、对角线等概念.掌握多边形的内角和与外角和公式4 .积累数学活动经验,开展推理水平.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD己作“口ABC?读作“平行四边形ABCD.要点诠释：平行四边形是中央对称图形,两条对角线的交点是它的对称中央要点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：(1)平行四边形的性质定

2、理中边的性质可以证实两边平行或两边相等；角的性质可以证实两角相等或两角互补；对角线的性质可以证实线段的相等关系或倍半关系.(2)由于平行四边形的性质内容较多,在使用时根据需要进行选择(3)利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题,在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.要点三、平行四边形的判定定理1 .两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2 .一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3 .两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4 .两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5 .对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：(1) 这些判定方法是学习本章的根底,必须牢固掌握,当几种方

3、法都能判定同一个行四边形时,应选择较简单的方法.(2)这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据,也可作为“画平行四边形的依据.要点四、平行线间的距离1 .两条平行线间的距离：(1)定义：两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度,是正值.2 .平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.要点五、三角形的中位线三角形的中位线1 .连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线2 .定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半3 点诠释：(1)三角形有三条中位线,每一条

4、与第三边都有相应的位置关系与数量关系.(2)三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个1小三角形的周长为原三角形周长的1,每个小三角形的面积为原三角形2,1面积的一.4(3)三角形的中位线不同于三角形的中线.要点六、多边形内角和、外角和n边形的内角和为(n2)180°(n>3).要点诠释：(1)内角和定理的应用：多边形的边数,求其内角和；多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等,都等于(n-2)180.n多边形的外角和为360°.n边形的外角和恒等于360°,它与边数的多少无关.【典型例题】类型一、平行四边形的性质与判定1、(

5、2021喇淀区二模)如图1,在ABC中,AB=AC/ABC=a,D是BC边上一点,以AD为边作ADE使AE=AD/DAE廿BAC=180.(1)直接写出/ADE的度数(用含“的式子表示)；(2)以AB,AE为边作平行四边形ABFE如图2,假设点F恰好落在DE上,求证：BD=CD如图3,假设点F恰好落在BC上,求证：BD=CF【思路点拨】1由在ABC中,AB=AC/ABC=a,可求得/BAC=180-2a,又由AE=ADZDAE+BAC=180,可求得/DAE=2a,继而求得/ADE的度数；2由四边形ABFE是平行四边形,易得/EDC=ABC=a,那么可得/ADCWADE廿EDC=90,证彳导A

6、DLBC又由AB=AC根据三线合一的性质,即可证得结论；由在ABC中,AB=AC/ABC=a,可得/B=ZC=a,四边形ABF比平行四边形,可得AE/BF,AE=BF即可证得：/EACWC=a,又由1可证得AD=CD又由AD=AE=BF证得结论.【答案与解析】解：1,.在4ABC中,AB=ACZABC=a,./BAC=180-2a, /DAE廿BAC=180, /DAE=2a,.AE=AD /ADE=90-a;2证实：二四边形ABFE平行四边形, .AB/EF. ./EDCWABC=a,由1知,/ADE=90a, /ADCWADE廿EDC=90, ADLBC .AB=AC .BD=CD证实：A

7、B=AC/ABC=a,/C=/B=a. 四边形ABF弱平行四边形, .AE/BF,AE=BF /EACWC=a,由1知,/DAE=2a, /DAC=a,/DACWC.AD=CD.AD=AE=RF.BF=CD.BD=CF.【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定.注意2中证得ADLBC是关键,2中证得AD=CM关键.举一反三：【变式】分别以口ABCD/CDAW90°的三边AB,CD,DA为斜边作等腰直角三角形,ABE,CDGADF.(1)如图1,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时,连接GF,EF.请判断GF与EF的关系并证实)；(2)如图2,当三个

8、等腰直角三角形都在该平行四边形内部时,连接GF,EF,(1)中结论还成立吗？假设成立,给出证实；假设不成立,说明理由.C注F围I【答案】解：(1)GF±EF,GF=EF成立； 四边形ABC比平行四边形,AB=CD/DAB+/ADC=180°,.ABE,ACDGADF都是等腰直角三角形,DG=CG=AE=BE,DF=AF,/CDG=/ADF=ZBAE=45°,/GDF=/GDCF/CD"/ADF=90°+ZCDA/EAF=360°-ZBAE-ZDAF-/BAD-270°-(180°-乙CDA=90°+ZCD

9、A ./FDG=/EAF, 在EAFAGDF中,DF=AFI一一ZFDG=/FAE,、DG=AE .EAFAGDI3(SAS,EF=FG/EFA=/DFG即/GF*/GFA=/EFA+/GFA /GFE=90°,GF±EF;(2) GF±EF,GF=EF成立；理由：.四边形ABC皿平行四边形,AB=CD/DA拼ZADC=180°, ABECDGADF都是等腰直角三角形,DG=CG=AE=BE,DF=AF,/CDG=/ADF=ZBAE=45°,/BA曰/FAA/EAF+/ADF+/FDC=180°, ./EAF+/CDF=45°

10、;, /CD斗/FDG=45°,/FDG=/EAF, 在£人5和4GDF中,DF=AF/FDG=/FAE,DG=AE EA阵GDF(SAS, .EF=FG/EFA=/DFG即/GFDF/GFA=/EFA+/GFA./GFE=90°,GF±EF.C2、如图,点D是ABC的边AB的延长线上一点,点F是边BC上的一个动点不与点B重合.以BDBF为邻边作平行四边形BDEF又A呸BE点P、E在直线AB的一一,/1_同侧,如果BD=_AB,那么PBC的面积与ABC面积之比为4【答案与解析】解：过点P作PH/BC交AB于H,连接CHPF,.AP二BE, 四边形APEB

11、是平行四边形,PE/AB,PE=AB, 四边形BDEF是平行四边形, .EF/BDEF=BD,即EF/AB, .P,E,F共线,设BD=a,BD=IaB,PE=AB=4a,4贝UPF=PEEF=3a, PH/BC SAHBC1. PF/AB四边形BFPH平行四边形,.BH=PF=3a,Sahbc:S；Aabc=BHAB=3a：4a=3:4,此题难度较【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法.大,注意准确作出辅助线,注意等高三角形面积的比等于其对应底的比.举一反三：【变式】ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,分别以ABAGBC为一边在BC边同侧作正ABD正4ACE

12、和正BCF求以A、EF、D四点为顶点围成的四边形的面积.ED点"点'四边形、在平行四边形ABCDK点Ai,A2,As,A4和G,G,G,G分别AB和CD的五等分B,B和D,D分别是BC和DA的三等分点,四边形A4B2GD的面积为1,那么平行A.2ABCD!积为B.35C.D.15ye.55【答案】证实：AB=3,AC=4,BC=5,./BAC=90°.ABDACEDABCF为正三角形,AB=BD=AD,AC=AE=CE,BC=BF=FC,/1+/FBA=/2+ZFBA=60°1=/2易证BA%BDFSAS,DF=AC=AE=4,ZBDF=90°同

13、理可证4BA黄FECAB=AD=EF=3四边形AEFD平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形DF/AE,DF±BD延长EA交BD于H点,AH,BD那么H为BD中点3,平行四边形AEFD的面积=DFXDH=4X-=6.2DGQQ.C工A.<B月A,A:A3AaB【思路点拨】可以设平行四边形ABC而面积是S,根据等分点的定义利用平行四边形ABCDA4B2GD的面积,从而得到两个四的面积减去四个角上的三角形的面积,就可表示出四边形边形面积的关系,即可求解.【答案】C;【解析】解：设平行四边形ABC而面积是S,设AB=5a,BC=3b.AB边上的高是3x,BC边上的高是5y.S

14、那么S=5a?3x=3b?5y.即ax=by=.1514一AAD与B2CC全等,B2O-BC=b,BC边上的图是_?5y=4y.352S那么aAAQ和AB2CC的面积是2by=.15S同理!2GD与4A4BB的面积是.15262ssS9S9S那么四边形A4B2CO的面积是S-26-26-=9S,即咨=1,151515151515.一5解得S=5.3【总结升华】考查平行四边形的性质和三角形面积计算,正确利用等分点的定义,得到两个四边形的面积的关系是解决此题的关键.类型二、三角形的中位线AE,垂足C4、如图,ABC的周长为26,点D,E都在边BC上,/ABC的平分线垂直于为Q/ACB的平分线垂直于

15、AD,垂足为P,假设BC=10,那么PQ的长为A.-B.-C.3D.4【答案】C;【解析】解：易证ABQEBQ,AB=BE,Q为AE中点,ACFADCP,AC=CDP为AD中点,八1 .PQ/DE,PQ=-DE,2 .AB+AC+BC=26,BC=10, .AB+AC=BE+CD=16=BD+DE+DE+EC=BC+DE,.DE=6,PQ=1DE=3.2【总结升华】此题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定,注意培养自己的敏感性,一般出现高、角平分线重合的情况,都需要找到等腰三角形.类型三、多边形内角和与外角和5、假设一个多边形的每个外角都等于600,那么它的内角和等于A.180°

16、;B,720°C.1080°D,540°【思路点拨】由一个多边形的每个外角都等于60°,根据n边形的外角和为3600计算出多边形的边数n,然后根据n边形的内角和定理计算即可.【答案】B；【解析】解：设多边形的边数为n,多边形的每个外角都等于60°,n=360+60°=6,这个多边形的内角和=62X180°=720°.【总结升华】此题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和=n-2?180°；也考查了n边形的外角和为360°.举一反三：【变式】2021秋？小金县校级期末一个多边形的每个内角都相等,

17、且一个外角比一个内角大60°,求这个多边形的每个内角的度数及边数.【答案】解：设内角是x,外角是y0,yx60那么得到一个方程组y,xy=180口x=60解得y=120而任何多边形的外角是360°,那么多边形中外角的个数是360+120=3,故这个多边形的每个内角的度数是60.,边数是三边形.C6、甲、乙两人想在正五边形ABCD西部找一点P,使得四边形ABP日平行四边形,其作法如下：甲连接BDCE两线段相交于P点,那么P即为所求乙先取CD的中点M,再以A为圆心,AB长为半径画弧,交AM于P点,那么P即为所求.对于甲、乙两人的作法,以下判断何者正确？A.两人皆正确B.两人皆错

18、误C.甲正确,乙错误D.甲错误,乙正确的度数,根据平行四【思路点拨】求出五边形的每个角的度数,求出/ABR/AER/BPE边形的判定判断即可.【答案】C;【解析】解：甲正确,乙错误,一,5-2180理由是：如图,二.正五边形的每个内角的度数是=108AB=BC=CD=DAE,/DEG=/DC21X(180°-108°)=36°,2同理/CBD=ZCDB=36°, ./ABR=/AEA108°-36°=72°,/BPE=360°108°-72°-72°=108°=/A, 四边形ABP弱平