2019普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷3,含解析)

1、2021年普通高等学校招生全国统一测试数学试题理全国卷3考前须知：1 .答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在做题卡上.2 .答复选择题时,选出每题答案后,用铅笔把做题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答复非选择题时,将答案写在做题卡上.写在本试卷上无效.3 .测试结束后,将本试卷和做题卡一并交回.一、选择题：此题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1 .集合A=x|x-1H.,E=1.2,那么APiH=A.B.C.：lJ:D.【答案】C【解析】分析：由题意先解出集合A,进而得到结果.详解：由集合A

2、得xml,所以故答案选C.点睛：此题主要考查交集的运算,属于根底题.2.A.-B.-：-C.JD.:-1.【答案】D【解析】分析：由复数的乘法运算展开即可.详解：应选D.点睛：此题主要考查复数的四那么运算,属于根底题.3.中国古建筑借助桦卯将木构件连接起来,构件的凸出局部叫桦头,凹进局部叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是桦头.假设如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,那么咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是AA.AB.BC.CD.D【解析】分析：观察图形可得.详解：观擦图形图可知,俯视图为故答案为A.点睛：此题主要考擦空间几何体的三视图,考查学生的空间想象水平,属于根底题.S7A.B

3、.C.99D.【解析】分析：由公式cos2a=1-工可得.、“2详斛：故答案为B.点睛：此题主要考查二倍角公式,属于根底题.25 .仔斗才的展开式中X,的系数为A.10B.20C.40D.80【解析】分析：写出然后可得结果详解：由题可得令10-3r=4,贝Ur二2所以应选C.点睛：此题主要考查二项式定理,属于根底题.6 .直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,E两点,点P在圆伏2产卜上,那么AABP面积的取值范围是A.B.|二C.1,二,.二|D.|丁,“【答案】A【解析】分析：先求出A,B两点坐标得到|AE|,再计算圆心到直线距离,得到点P到直线距离范围,由面积公式计算即可详解：:直线x

4、十丫十2=0分别与x轴,y轴交于两点3A(-2,0)B(0,-2),那么|AB|=22点P在圆x-2/1=上,圆心为2,0,那么圆心到直线距离d-|21-0+21故点P到直线x+y+2=0的距离力的范围为也3弱故答案选A.点睛：此题主要考查直线与圆,考查了点到直线的距离公式,三角形的面积公式,属于中档题.7 .函数y=-乂境-X,-2的图像大致为A.AB.BC.CD.D【答案】D【解析】分析：由特殊值排除即可详解：当x=0时,y=2,排除A,B.y=-卜2x=-2x(2x"1),当x£电5,时,y>.,排除C故正确答案选D.点睛：此题考查函数的图像,考查了特殊值排除法

5、,导数与函数图像的关系,属于中档题.10位成8 .某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的员中使用移动支付的人数,DX=N4,P(X=4)vP(X=0,那么=A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3【答案】B【解析】分析：判断出为二项分布,利用公式D(X)=np(l-0进行计算即可.D(X)=叩0-p)3P=0.4或p=66P(X-4)-Cl-p)6<P(X=6)=C而6.一p)上(1-p)a<p2,可知PQ3故答案选B.点睛：此题主要考查二项分布相关知识,属于中档题.父+h-p-9 .ABC的内角色,B.C的对边分别为a,b,c,假设A

6、BC的面积为,那么C=4A.B.C.D.46【答案】C【解析】分析：利用面积公式Sc=LbsinC和余弦定理/I-b"J=方hcoaC进行计算可得.Z-1q-+r_c"详解：由题可知24所以由余弦定理J十-J=2abcosC所以/CEgJi“C=4应选C.点睛：此题主要考查解三角形,考查了三角形的面积公式和余弦定理.10.设3一B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,AABC为等边三角形且其面积为为5,那么三棱锥D-ABC体积的最大值为A.B.C.屐!£D.【答案】B【解析】分析：作图,D为MO与球的交点,点M为三角形ABC的重心,判断出当DM_L平面ABC时

7、,三棱锥D-AB体积最大,然后进行计算可得.详解：如下图,点M为三角形ABC的重心,E为AC中点,当DMJ平面ABC时,三棱锥D-ABC1体积最大此时,点M为三角形ABC的重心-BM=：BE=邛RiaABC中,有ON=弧汇嬴=2aDM=OD+OM=4-2=6二.皿叱=/9有><6=18/应选B.点睛：此题主要考查三棱锥的外接球,考查了勾股定理,三角形的面积公式和三棱锥的体积公式,判断出当DMJ_平面ABC时,三棱锥D-AB体积最大很关键,由M为三角形ABC的重心,计算得到BM=产=2忑,再由勾股定理得到OM进而得到结果,属于较难题型.11.设一心是双曲线C:二-三=100,b>

8、;0的左、右焦点,.是坐标原点.过马作c的一条渐近线的十？垂线,垂足为P.假设|PFj=#|OE,那么C的离心率为A.B.2C.D.【答案】C【解析】分析：由双曲线性质得到PF=b,|PO|=日然后在RtyP.%和在RtPF1马中利用余弦定理可得.详解：由题可知PO|-a|pf/+|f1f3|2-|pf1|22|PF2|FjF2|在RlAPOF二中,在RtPF1%中,S0PFQ=£rb144c2-b22上=一=c=3联2b-2cc:y=小应选C.点睛：此题主要考查双曲线的相关知识,考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用,属于中档题.12.设wlq8aR3,b-logjO.3,那么A.：

9、i小QB.三二二,三十L-二,.C.：i卜:,：)：:D.卜：.-【答案】B【解析】分析：求出;=Iog0.3°2i=Iog0.32,得到!+2的范围.进而可得结果.详解：.,.二-1.-1AT1T3-=logO.3-=10go.3ab1 104；*一+1=JogO.3ab1 1aib+yi-<1,gpo<<abab又,abu0即abua十b<0应选B.点睛：此题主要考查对数的运算和不等式,属于中档题.二、填空题：此题共4小题,每题5分,共20分.13.向量a=",2),b=(2.-2),c=(1>U).假设ell(2a十b),贝U.【答案】2

10、【解析】分析：由两向量共线的坐标关系计算即可.详解：由题可得Jc/(2a卜6),c=(1J*4A-2=Q,即?；=一2故答案为X-i点睛：此题主要考查向量的坐标运算,以及两向量共线的坐标关系,属于根底题.14.曲线y=温十1金在点0.1处的切线的斜率为-2,那么a-【答案】【解析】分析：求导,利用导数的几何意义计算即可.详解：那么所以故答案为-3.点睛：此题主要考查导数的计算和导数的几何意义,属于根底题.词的零点个数为【解析】分析：求出的范围,再由函数值为零,得到6兀-的取值可得零点个数.67E由题可知3x+-=i3x+-=,或3x+-=-626262兀4兀7冗解得,或999故有3个零点.点睛

11、：此题主要考查三角函数的性质和函数的零点,属于根底题.k的直线与C交于四,E两点.假设16 .点M-l.1和抛物线C;/=4x,过C的焦点且斜率为ZAX1B=90贝Uk=.【答案】2【解析】分析：利用点差法进行计算即可.详解：设y-y：所以X-勺取AB中点yj分别过点A,B作准线x=-I的垂线,垂足分别为a1.B1由于,.111,二|MM=-(|AF|+|BF|)=t(|AA|i|BBf|)由于M为AB中点,所以MM平彳T于x轴由于M(-1,1)所以打1,那么门+¥广2即k=2故答案为2.点睛：此题主要考查直线与抛物线的位置关系,考查了抛物线的性质,设&事,丫),13(叼,心

12、),利用点差法得到yi-y24k=,取AB中点MR.,y.,分别过点A,B作准线x=-I的垂线,垂足分别为ab',由抛物线的%-修订+为性质得到孙=,AA'|+|EB1),进而得到斜率.三、解做题：共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17 .等比数列4中,曳%二4电.(1)求的通项公式；(2)记为为1%；的前口项和.假设%,63,求m.【答案】(1)4严或%=*T(2)m=6【解析】分析：(1)列出方程,解出q可得；(2)求出前n项和,解方程可得m>

13、;详解：(1)设居J的公比为4,由题设得%=十.由得q,=4q2,解得q=.(舍去),R=-或q=2.故%=(-2)"/或.(2)假设=(-2厂;那么Sr|J(".由1=63得匚2严=-廓,此方程没有正整数解.3假设为.+1,那么与=2"-l.由51n=6三得21n=64,解得m=6.点睛：此题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式,属于根底题.18.某工厂为提升生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比拟两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,min)绘制了如下茎叶图:第二

14、组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:第种生产方式第二种生产方式6556S97627012234569877654332814452)10090(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由;(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过in的工人数填入下面的列联表:超过m不超过mA种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%勺把握认为两种生产方式的效率有差异?0.0500.0L00.001同3.8416.63510.82B附：那么_.(ahb)(cd)(a+c)(b<d)【答案】(1)第二种生

15、产方式的效率更高.理由见解析(2)80(3)能【解析】分析：(1)计算两种生产方式的平均时间即可.(2)计算出中位数,再由茎叶图数据完成列联表.(3)由公式计算出再与6.635比拟可得结果.详解：(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下：(i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中,有75%勺工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%勺工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高(ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生

16、产方式的效率更高.(iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟,因此第二种生产方式的效率更高.(iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布,又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少,因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由,考生答出其中

17、任意一种或其他合理理由均可得分.79十即(2)由茎叶图知m=和.列联表如下：超过m不超过小A种生产方式155第二种生产方式515(3)由于K2=400.15-55=J,.>6635,所以有99%勺把握认为两种生产方式的效率有差异.20x20>20x20点睛：此题主要考查了茎叶图和独立性检验,考察学生的计算水平和分析问题的水平,贴近生活.19.如图,边长为2的正方形ABUD所在的平面与半圆弧g所在平面垂直,X!是g上异于C,D的点.(1)证实：平面AK4D1平面BMC；(2)当三棱锥ABC体积最大时,求面MAB与面期CD所成二面角的正弦值.【答案】(1)见解析【解析】分析：(1)先证

18、平面CMD得EC_LCM,再证CM1MD,进而完成证实.(2)先建立空间直角坐标系,然后判断出M的位置,求出平面MAB和平面M3的法向量,进而求得平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.详解：(1)由题设知,平面CMD_平面ABCD交线为CD由于BdCDBU平面ABCD所以Bd平面CMD攵BdDM由于M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMLCM又BCICMC,所以DML平面BMC而DM=平面AMDa平面AMD_平面BMC(2)以D为坐标原点,UA的方向为x轴正方向,建立如下图的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC体积最大时,M为心的中点.由题设得D(0,aS,A(2,0,0),BQ

19、20kC(02S,M(CM),AM=(-=(02=(2,0,0)设n=1XyZ是平面MAB勺法向量,那么m6=o,日/乐十¥一次=0.可取是平面MCD(勺法向量,因此y.t口.DA<5cos(n,DA)=-=,hllDAl5所以面MA由面MC而成二面角的正弦值是；5点睛：此题主要考查面面垂直的证实,利用线线垂直得到线面垂直,再得到面面垂直,第二问主要考查建立空间直角坐标系,利用空间向量求出二面角的平面角,考查数形结合,将几何问题转化为代数问题进行求解,考查学生的计算水平和空间想象水平,属于中档题.20.斜率为k的直线1与椭圆c：土十匚=1交于久,E两点,线段一AB的中点为43(

20、1)证实：kv-；2(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且由十危十施=.证实：IF、,而,|诧成等差数列,并求该数列的【答案】(1)k<-与、雨八雨(2)或2S28【解析】分析：(1)设而不求,利用点差法进行证实.(2)解出m,进而求出点P的坐标,得到|#|,再由两点间距离公式表示出|FA|JFB|,得到直：的方程,联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解.详解：(1)设息(与必能的,那么1十2_=二十%=43143"一上、一治两式相减,并由=卜得43X+x?y+y2由题设知=1.=TH,22k=-工4m由题设得0故kc-鼻.(2)由题意得F(1,设式内内,那么由(1)及题设得3

21、313又点P在C上,所以m=-,从而Pfl,-),|FP|=-.422于是'.同理LL,、,X,二,1.所以.故邛市|=|Fk|十世书|,即I两#七|万自成等差数列.设该数列的公差为d,那么21dLl|FB|-IFA|=-lx,-x±4x.-与年将in代入得k=-I.4117：卜、u.4所以l的方程为y=-x+L代入C的方程,并整理得47口故X电=2,xf2=一,代入解得|d|=.2828所以该数列的公差为3亚、3叵或"282K点睛：此题主要考杳直线与椭圆的位置关系,等差数列的性质,第一问利用点差法T设而不求可减小计算量,第二问由得到市+FM=0,求出山得到直线方程

22、很关键,考杳了函数与方程的思想,考察学生的计算水平,难度较大.21.函数氏x)=(2十x十ax")ln(l十x)-2x.(1)假设a=0,证实：当-IHxhO时,f(x)<0；当x>.时,f(x)A0；(2)假设x=.是Rxl的极大值点,求a.【答案】(1)见解析1(2)a=-O【解析】分析：(1)求导,利用函数单调性证实即可.f(x)(2)分类讨论a30和a亡0,构造函数h(x)=讨论h(x)的性质即可得到a的范围.2-X+ax.x详解：(1)当日=.时,Rx)=(2+衿皿1十x)-2x,f(x)=ln(lx).1,XjX1A设函数g(x)=f(x)=ln(l+x),贝

23、Ug(K_)-K(1+X)当-1VXH0时,或(x)0；当X.时,0.故当XA-I时,g(x)鼠=0,且仅当X=0时,g(x)=0,从而f(x)>0,且仅当x=.时,f(x)=0.所以f(x)在(-L十的单调递增.又f(=0,故当时,当x.时,f(x0.(2)(i)假设由(1)知,当xA.时,f(x)之(2+十x)-2*,0=f(0),这与x=.是(X)的极大值点矛盾.ffx)2K(ii)假设a父.,设函数h(x)r=ln(l+x)-2+x+ax由于当|x|min1,一时,2+x-ax2A0,故h(x)与f(x)符号相同.J|a|又h(0)=f(0)=0,故x=.是(x)的极大值点当且仅

24、当x=0是h(x)的极大值点.2(2+x+ax2)-2x(1+2ax)x3(a2x2+4ax+6a+1)(2+x-ax")(x+1)(ax+x+2),6a十1如果6a+1>0,那么当0<x<-4a11,-时,h(x)0,故x=0不是h(x)的极大值点.如果命十1U.,那么a2x3I4ax-+6aII=0存在根xi'(1,故当上?(修,且冈皿门口,1时,h(x)M0,所以x二.回不是hOO的极大值点.x(x=24)如果8十1=.,那么h'(x)=.那么当XE1,O)时,h&)>o；当xE(O,D时,h&)vo.所以X=0是M2(x-)(x-6x-12)2的极大值点,从而x=.是氏刘的极大值点点睛：此题考查函数与导数的综合应用,利用函数的单调性求出最值证实不等式,第二问分类讨论曰之.和av.,f(x)当:a式口时构造函数hg=;时关键,