2020高考数学----利用函数性质与图像比较大小

1、第42炼利用函数性质与图像比拟大小一、根底知识：(一)利用函数单调性比拟大小1、函数单调性的作用：f(x)在b,b】单调递增,那么Vxi,X2whblxex?.f(Xi)<f(X2)(在单调区间内,单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁)2、导数运算法那么：(f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)f(x)f(X)g(x)f(x)g(x)222<g(x)jg(x)3、常见描述单调性的形式(1)导致形式：f(x)>0=f(x)单调递增；f(x)<0=f(x)单调递减(2)定义形式："X1)_"、2)A0或(x1-x2)1f(x1f(x

2、2)a0：表示函数值的差x1-x2一与对应自变量的差同号,那么说明函数单调递增,假设异号那么说明函数单调递减4、技巧与方法：(1)此类问题往往条件比拟零散,不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么,也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点(2)在构造函数时要根据条件的特点进行猜测,例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整(3)在比拟大小时,通常可利用函数性质(对称性,周期性)将自变量放入至同一单调区间中进行比拟(二)数形结合比拟大小1、对称性与单调性：假设单调性与对称性,那么可通过作出草图观察得到诸

3、如“距轴越近,函数值越的结论,从而只需比拟自变量与坐标轴的距离,即可得到函数值的大小关系(1)假设f(x声于x=a轴对称,且(a,)单调增,那么图像可能以下三种情况,可发现一个共同点：自变量距离轴越近,其函数值越小(2)假设f(x声于x=2轴对称,且(a,)单调减,那么图像可能以下三种情况,可发现一个共同点：自变量距离轴越近,其函数值越大2、函数的交点：如果所比拟的自变量是一些方程的解,那么可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口,将其余函数的图像作在同一坐标系下,观察交点的位置即可判断出自变量的大小例1:对于R上可导的任意函数fx>A.f1f3：二2f2B.C.f1f3

4、2f2D.2-x右满足<0,那么必有fxf1f3<2f2f1f3-2f2三、例题精析：2-x思路：由<0可按各项符号判断出(2x)与f(x)异号,即x<2时,fx_.f(x)<0,x>2时,f(x)>0二f(x)在(口,2)单调递减,在(2,+g)上单调递增二f(xL=f(2),进而f(1)>f(2),f(3)>f(2),f(1)+f(3»2f(2)答案：C小炼有话说：相乘因式与零比拟大小时,可分别判断每一个因式的符号,再判断整个式子的符号.这样做可以简化表达式的运算.fX例2：定义域为R的奇函数f(x)的导函数为£(乂

5、),当乂#0时,f(x)+“A0,X41日)I、,一口假设a=f.,b=_2f(_21c=ln2f(ln2),那么以下关于a,b,c的大小关系正确的选项是()A.b>a>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>c>a思路：观察所给不等式,左侧呈现轮流求导的特点,所比拟大小的a,b,c的结构均为xf(x)fx的形式,故与不等式找到联系.当x>0时,f(x)+>0=>xf(x)+f(x)A0,即x(xf(x?a0,令g(x)=xf(x),由此可得g(x而(0,依)上单调递增.f(x)为奇函数,可判定出g(x)为偶函数,关于y轴对称.a

6、=g1I,b=g(-2),c=g(ln2),作图观察211114距离y轴近的函数值小,ln2与一可作差比拟大小：ln2=-(2ln2-1)=-ln->02222e进而可得：bca答案：D例3：函数f(x)在定义域R内可导,假设f(x)=f(2x),且当xw(Q,1)时,1(x1)f(x)<0设a=f(0),b=f|,c=f(3),那么a,b,c的大小关系是()A.abcB.bacC.bcaD.cab思路：由f(x)=f(2x)可判断出f(x匹于x=1轴对称,再由(x-1)f'(x)<0,可得xc1时,f'(x)>0,所以f(x)在(-00,1)单调递增,

7、由轴对称的特点可知：f(x)在(1,收)单调递减.作出草图可得：距离x=1越近的点,函数值越大.所以只需比拟自变量距离x=1的远近即可判断出b>a>c答案：B例4：f(x)是周期为2的偶函数,且在区间b,1】上是增函数,那么f(-5.5)f(-1)f(0)的大小关系是(A.f-5.5:f0：二f-1B.f-1:f-5.5:二f0C.f0:二f-5.5:二f-1D.f-1:二f0：f-5.5思路：f(x)的周期为2,所以可利用周期性将自变量放置同一个周期内：f(5.5)=f(0.5%而由f(xy禺函数及0,1单调递增,作图可知在区间-1,1中,距离y轴近的函数值小,所以有f0：f0.

8、5=f-5.5:二f-1答案：C小炼有话说：周期性的一大应用就是可在区间中找到与所给自变量相同函数值的点.从而代替原来的自变量.例5：函数f(x+1)为偶函数,当乂三(1,代)时,函数f(x)=sinxx,设1a=f-l(,b=f(3),c=f(0),那么a,b,c的大小关系为()I2JA.a:b:cB.c:a:bC.b:c:aD.b:a:c思路：此题依然是利用对称性与单调性比拟函数值大小,先分析f(x)的性质,由f(x+1)为偶函数可得：f(-x+1)=f(x+1),从而f(x)关于x=1轴对称,当xu(1,g),可计算f(x)=cosx1W0,所以f(x)在(1,2弹调递减,结合对称性可得

9、距离对称轴x=1越近,函数值1越大,所以f3：二ff0,2答案：D小炼有话说：此题的关键在于确定入手点是用函数的对称性单调性比拟大小,从而对f(x)=sinx-x的处理才会想到选出单调性而不是将自变量代入解析式.所以说题目中有的条件可以有多种用途,要根据所求及其他条件来选择一个比拟正确的方向.例6:函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(0,)上是增函数,令a=f'sini,b=f1cosl,c=f1tani,那么a,b,c大小关系为777较a,b,c自变量与y轴距离:=cos,5二tan7思路：由f(x)为偶函数且在(0,2评调递增可得距离y轴越近,函数值越小.所以需比2n,2n

10、tan=tan,贝U772二2二.22二二.2二.2二2二需比拟sin,cos,tan的大小,由于>,所以tan>1>sin>cos,77774777所以cab答案：cab小炼有话说：此题实质上是一道三角函数大小关系和函数性质比拟大小的综合题,只需分解成这两步分别处理即可.在比拟三角函数时,此题有这样两个亮点：一是“求同存异发现a,b,c涉及的角存在互补关系,进而利用诱导公式和绝对值运算将角统一,以便于比拟；二是利用好“桥梁,比拟的关键之处在与上这个角的选择,这个角是两条分界线,一条是正427:切值与1大小的分界线,而正余弦不大于1,所以的正切值最大；另一条是正余弦大小

11、7的分界线,aW10,I时,sinot<cosot;而aw1土,土I时,sina>cosa.,442,“-fafbfc例7：函数y=log2(x+1),且aAbcA0,那么,的大小关系是abc()A.B.C.D.fcfbfacbafafcfbacb思路：fxlog2x1此题具备同构特点y=-,但导数xxx1ln2-log2x1难于分析f(x)单调性,故无法比拟Ua,f色),f!cj的大小.换一个角度,可发现f(x)的图像可作,且f区具备几abcxfxfx"0何含乂,即=,即(x,f(x)与原点连线的斜率.所以作出f(x)的图像,aAb>CA0可得:xx-0可观察到图

12、像上的点横坐标越大,与原点连线的斜率越小,所以由fcfbfacba答案：B一.,一、.一,_,.一一一、?_例8：函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),假设f(x)满足：(x1)f'(x)f(x)>0,f(2x)=f(x)e2x,那么以下判断一定正确的选项是()A.f(1)<f(0)B,f(2)>ef(0)C.f(3)>e3f(0)d.f(4)<e3f(0)思路：联系选项分析条件(x1)f(x)f(x)>0：当x>1时,f(xf(x0,exfx-exfx2xeA0即'f(x)、x>0令F(x尸二F(x)在(1,依)单调递增,

13、而选项中f(1),f(0)均不在单增区间中,考虑利用f(2x)=f(x)e2x进行转换.首先要读懂f(2x)=f(x)e2/x说的是f(2x)与f(x)的关系,而2x与x刚好在x=1的两侧,所以到达一个将x=1左侧的点转到右侧的作用.在f(2-x)=f(x)e2"x中令f2x=2可得：f(0)=f(2)e=,可代入B,C选项进行比拟,C正确.而A,D两个选e项也可以代入进行验证.答案：C'小炼有话说：由于ex=ex,所以在求导时此项不发生变化,有可能在化简时隐藏起来.所以对于形如f(x)f'(x)>0,f(x)+f'(x)>0等轮流求导的式子可猜测

14、隐含ex项,进而结合选项进行变形例9：定义在.0,上的函数f(x),f'(x)为它的导函数,且恒有f(x)Mf'(x),tanx成,2立,那么(a.3f-.、2f-43B. f1<2f-sin16C. 72f16J0)f14JD.f-fJl)tJLV3f-f<f16J13思路：尽管发现fxf'xtanx存在轮流求导很难直接发现乘除关系.看选项不难发现规律:ffz届31；二f.2JIsin一4jisin一3,0)f(1)<2f,一sin1u(6Jf三96等,不等号两侧均为ysin1sin-6fx八,的形式,其导函数sinx'f(x)f(x)sin

15、x-cosxf(x)2sinx于是考虑构造条件中的不等式：sinx.fx：f'(x)tanx=fxf(x).sinfx-cosxfx0cosxf(x)sinx-cosxf(x).2sinxA0即f(x)、sinxfx0,y二sinxji在10,上单调递增,根据单调I2J性即可判断四个选项是否正确答案：D例10：设x1,",为均为实数,且3乂2,1x3=log3x2,、31=log2x3,那么Xi,x2,x3的大小关系为A.X1:x3:二x2B.x3:x2:x1C.x3:X1:x2D.思路：此题单从指对数方面,不便于比拟x1,x2,x3大小.进-步可发现Xi,X2,X3均可视为

16、两个函数的交点,且每一个等式的左侧为同一个函数y=,而右侧也都可作图,所以考虑33.1x2:X1:x3Xi,X2,X3的大小在同一个坐标系下作图,并观察交点的位置,进而判断出答案：A三、历年好题精选=2sin2X,那么以下大小关系一定正确的选项是1、2021,内江四模设函数fx在R上存在导数f'x,在0,+动上f'x<sin2x,且x/xwR,有f(x)+f(x)A.4二:二f3B.一：二f?4C.44n,<f13；D.InI4；:二f-二2、2021,福建假设定义在R上的函数fX满足f0=-1,其导函数fX满足x>k>1,那么以下结论中一定错误的选项是

17、A.,11f一:二一11B.f-C.kk-1D.3、2021,陕西文f(x)=lnx,0<a<b,假设p=f(JOb),qk-1k-1k-1k-11,r-2f(a)+f(bfl,那么以下关系式中正确的选项是A.q=r：pB.q二rpC.D.4、2021,天津定义在R上的函数f(x)=2Xh1(mwR)为偶函数,记a=f(l0go.53),b=f(log25),c=f(2m),那么a,b,c的大小关系为(A.a:二b:二cB.a:c:bC.c:二a:二bD.c:b:a5、2021,山东实数x,y满足ax<ay0<a<1,那么以下关系式恒成立的是A11A.x1y1B.

18、Inx21i>Iny21C.sinxsinyD.6、fx=logaxa>1的导函数是f(x),记A=f(a),B=f(a+1)f(a),C=f(a+1),那么(A.ABCB.ACBC.D.7、7E义在R上的可导函数f(X),遭XW(1,*Hc)时,f(X)+f(X)<Xf(X)恒成立,1a=f(2b=f(3),c=(J2+1)f(J2),那么a,b,c的大小关系为()A. c<a<bB.b<c<aC.a<c<bD.c<b<a8、(2021陕西省五校联考10)f(X)为R上的可导函数,且/XWR,均有f(x)>f(X>

19、那么有().2021-一一一-一一一2021-_A.ef(-2021)<f(0),f(2021)ef(0)20212021B. ef(-2021)<f(0),f(2021)<ef(0)C. e2021f(2021)af(0),f(2021)>e2021f(0)D. e2021f(-2021)f(0),f(2021)二e2021f(0)习题答案:1、答案：C1解析：由f(x)<sin2x可得：fx-sin2x<0Ifx+-cos2xI<021设g(x)=f(x)+-cos2x,那么g(x堆(0,+评倜递减2gxg：-x=fxf:;-xcos2x=2sin

20、xcos2x=1二g(x)=1_g(-x),可得g(x)关于',中央对称1-gg(x)在R上单调递减且f(x)=g(x-cos2x分别比拟四个选项,可知在C选项中：cos544n1188n)cos再由gig.3>g1-i可知g.6f(2、答案：C解析：构造函数g(x)=f(x)kx,那么g(x)=f(x)-k>0,即g(x)在R上为增函数,11g0二fk-1k7>-1,所以可得:由于k>1,所以>0,gk-1k-1fk-1k-1,C错误.其它选项那么无法判断对错3、答案：C解析：p=f、ab=Inab,q=fIab2=ln2,r=1lna22+lnb=lnVab,所以2p=r,由b>a>0可得Vab<32b,从而p=r<q4、答案：C解析：通过数形结合可知f(x)=2x时1为偶函数时m=0,即f(x)=2x1,作图可知距离y轴越近的点)其函数值越小.考虑0<10g0.53=log23<l