1.3正余弦定理的应用

1、1.3.1正、余弦定理的应用教学目标一、知识与技能：会求有关测量、向量问题的三角形问题二、过程与方法：自学加练习三、情感态度和价值观：体会阅读一汇总一练习加深的学习方法教学难点问题的转化教学重点注意事项教学流程一、复习：1、三角形的面积公式：S=absinC=bcsinA=casinB222abc2、正弦定理：=2R(其中R为外接圆的半径)sinAsinBsinCb2+c223、余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,变式cosA=2bc提出问题：正、余弦定理如何用？引入主题：正余弦定理的应用二、正余弦定理最常见的问题是测量问题和向量问题。看书P18-P19例1、例2、例3(10分钟)思考

2、1:测量问题的一般解决方法是什么？(将已知与所求量向一个三角形内集中，解三角形(例1)或解方程(例2)思考2:三角形中的向量问题的一般解决方法是什么？(作图，将量集中到某一三角形中，解三角形)思考3:解决测量、向量问题应注意什么问题？1、在不只有一个三角形的情况下，用正、余弦定理时，一定要注明在那个三角形中2、若结果不作要求，一般要的是精确值；结果有精确度要求时，中间运算过程要比结果的精确度高出一位3、应用题最后要书写答4、几个名词要清楚：(1)方位角：正北方向沿顺时针方向旋转到目标位置时的旋转角。(2)俯角：水平方向与向下的视线夹角(3)仰角：水平方向与向上的视线夹角(4)坡角：坡的斜面与地

3、面的成角(5)视角：看物体最边缘的视线夹角三、课上练习：教材P20-练习1(2),2(1),3,4,思考P21第8题四、作业：P21-习题2,3,4,5,6,7补充作业1、D、C、B三点在同一水平直线上，AB±BC,DC=a,从C、D两点测得点A的仰角为a、3(a<3，则A离地面B、D的距离为(用a、3的正余弦表不)A2、已知灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a(km),灯塔A在观测站C的北偏东20°,灯塔B在观测站C的南偏东40°,则灯塔B与A的距离为(km)3、有一广告气球，直径为6米，放在公司大楼上空，当行人仰望气球时，气球球心的仰角为30°

4、;,测得气球的视角为2°。若0的弧度数很小时，可取sin0-0o这样，估计气球的高度为米(结果取整数)4、甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向，两船相距a海里，乙船向正北方向行驶。若甲船是乙船速度的，3倍，则甲船采取方向行驶才能尽快追上乙船，此时甲船行驶了海里5、如图，要在山坡上A、B两处测量与地面垂直的塔CD的高，由A、B两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°,AB=40m,斜坡与水平面的成角为30°,求铁塔CD的高6、在点A测得一船初始位置B在A的北偏西ai度，1°分钟后在A正北，又1°分钟后到达A的北偏东a2度

5、，船的航向与速度都不变，船向为北偏东。度，求tan07*、如图所示，用两根绳子系住一重物，绳OA与天花板夹角。不变，当用力拉住绳OB,使OB由水平转向垂直的过程中，OB所受的拉力如何变化？第7题图B答案asin二sin-1、sin（l：,：）2、,3a3、864、北偏东300,逐a5、延长CA与水平线交于点E,设/CBE=450,/CAD=600-300=300,/CBD=150,/BCA=600-450=150=AB=AC=40,在三角形ACD中,AC=40,ZCDA=1200,由正弦定理:CDsin300答:4040=0=-CD=-3sin12003铁塔的高为竺J3米36、由已知BC=CD

6、=10,在三角形ABC中:BCACsin（I：1）;在三角形ACD中:CDACsin二：2sin（口-2）BC=CDsinsin.：>2sin（二：1）sin（二-2）sin二1sin-2sinccos11cos-sin：1sin-cos二2一cossin12分子分母都初以cositancos二1sin二1tanfcos12-sin12.tan0=2sin：1sin二2sin（：12）（0C1>0C2）7*、设/BOC=a,对点O进行受力分析有：Fcos炉Tacos0,Fsino+TAsin0=GGcos消去Ta得：F=-;0<a<金=«a+0<+0冗J

7、IJI当一<a+«+0即一-0<a<时,3TJ当。a+0即0a-0时，F随a的增大而增大；F随a增大而减小1.3.2正、余弦定理复习教学目标一、知识与技能：掌握正、余弦定理在三角形中的综合应用二、过程与方法：讲练结合法三、情感态度和价值观：体会解三角形的灵活方法教学重点三角形中边角关系混合应用教学难点灵活应用教学流程一、本章知识汇总：1、三角形中的边角关系：(1)两边之和大于第三边；(2)三角形内角和为1800;(3)三角形面积公式2、正、余弦定理二、典例与练习ABC的面积为一1一一S=absinC,需22,22上)22ab例1、三角形ABC的三边为a,b,c,设p

8、为半周长，求证三角形s=.p(p-a)(p-b)(p-c)分析：要证S=、p(p-a)(p-b)(p-c)=S=p(p-a)(p-b)(p-c),要将sinC转化为边证明：S=absinC=S2=b2c2sin2C=b2c2(1-cos2C)=b2c21-(:1通分化简一4a2b2-(a2+b2-c2)16用平方差公式(2ab-a2-b2+c2)(2ab+a2+b2-c2)=c2-(a-b)2(a+b)2-c21616=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c),16另一方面,p(p-a)(p-b)(p-c)=alW(alW-a)(4W-b)(abc.-c)1=(c-a+b)(c

9、+a-b)(a+b-c)(a+b+c)16所以,S2=p(p-a)(p-b)(p-c),S=Vp(p-a)(p-b)(p-c)练习:例2、任意一点,积最大？在三角形ABC中，求证：a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC)如图，半圆O的直径为2,A为直径延长线上的一点，OA=2,B为半圆上以AB为一边作等边三角形ABC.问:分析：四边形的面积由点B的位置唯一确定，而点NAOB唯一确定，因此可设NAOB=a,再用口B由的三点B在什么位置时，四边形OACB面角函数来表示四边形OACB的面积.解：设ZAOB=0.在AAOB中，由余弦定理，得2,22AB=12-212cos：-5

10、-4cos;.OAOBsin：-3AB于是，四边形OACB的面积为S=SAOB'S.ABC213=一21sin：5-4cos：2455k5n15.=sinu-73cos«+y/3=2sinlot一十一百.因为0<n,所以当a-=5 5时，ct=n,即ZAOB=冗时，四边形OACB的面积取大.6 6练习：MBC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，求最大角的余弦值；求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.（解：设三边a=k1,b=k,c=k+1,kN”且k>1,a2，b2-c2k-4.C为钝角，cosC=ac=<0,解得1<k&

11、lt;4,2ab2(k-1).kwNk=2或3,但k=2时不能构成三角形应舍去，1当k=3时，a=2,b=3,c=4,cosC=-一；4设夹C角的两边为x,y,x+y=4,=阮.):15.152八所以，S=xysinC=x(4-x)，=一x+4x),当x=2时，Smax44例3、在三角形ABC中，已知2J3absinC=a2+b2+c2,判断三角形的形状分析：将已知式子化成只含有角或边的形式，而且过程要体现化简，为此需要将式子右端化成ab的形式，才能约掉解：2V3absinC=a2+b2+c2=a2+b2+（a2+b2-2abcosC）02V3absinC+2abcosC=2(a2+b2)Ka

12、b=3sinC+cosCjiji或=2sin(C+-p2=sin(C+-p1jiji丸.sin(C+-)<1二sin(C)=1=C=.sin(C+)=1,即等号成立，从而6636a2b2=2ab：=a二b故三角形ABC是等边三角形练习：三角形ABC中，若cos2A=b上，判断三角形的形状（直角三角形）22c三、作业：教材P24-1,2,3,4,5,6,7补充习题1、三角形ABC中，b=遍,c=3,B=30°，贝Ua=3、如图，AB_LBC,CD=33,的长.D£C第3题4、如图，在四边形ABCD中，/BCD=13$,则BC=5、在二角形ABC中，b2-bc=2c2,a

13、6、已知MBC的两边b,c是方程周长是20cm，试求A及k的值7、三角形ABC中,sinA+cosA=8*、三角形ABCW足a2-a-2b-2c=0解答1、百或2向2、7或99283、11近4、8万日55、2ZACB=3°,ZBCD=75，/BDC=45,求AB月第4题B已知AD_LCD,AD=10,AB=14,/BDA=60,=J6,cosA=,则具面积为8x2-kx+40=0的两个根，的面积是10J3cm2,-,AC=2,AB=3,求tanA及三角形的面积S2；a+2b-2c+3=0；求二角形ABC的最大角2、等腰三角形的两边长为9,14,则底角的余弦值为6、b+c=k,bc=40,S=bcsinA=20sinA=10V3=sinA=A=三或2233a2=b2+c2-2bccosA=(20-k)2=(b+c)2-2bc-2bccosA=k2-80(1+cosA)A=时，cosA=1=k=13，此时方程为x2-13x+40=0有两个实数根32A=时，cosA=-=k=11,此时方程为x2-11x+40=0无实数解，舍去32总之，A=,k=137、sinA+cosA=丘sin(A+二1二二5二sin(A+)=0<A<%.<sin(A+)&l