(整理)数值分析计算方法超级总结

1、工程硕士?数值分析?总复习题2021年用由教材中的习题、例题和历届测试题选编而成,供教师讲解和学生复习用解答以下问题：D以下所取近似值有多少位有效数字注意根据什么？：.t一*a对e=2.718281828459045,取x=2.71828b数学家祖冲之取磊作为n的近似值.c经过四舍五入得出的近似值12345,-0.001,90.55000,它们的有效数字位数分别为位,位,位.2） 简述下名词a） 截断误差不超过60字b） 舍入误差不超过60字c算法数值稳定性不超过60字3试推导按定义或利用近似公式:计算x3时的相对误差约等于X的相对误差的3倍.4） 计算球体积V=暂nr3时,为使其相对误差不超

2、过0.3%,求半径r的相对误差的允许范围.5） 计算下式PX2(x-1)55738-：_-34(x7)4(x7)3(x7)2x7时,为了减少乘除法次数,通常采用彳f么算法？将算式加工成什么形式6递推公式y()=42Jn=10yn4-1,n=1,2,如果取y0=J2ft1.41=y；三位有效数字作近似计算,问计算到y10时误差为初始误差的多少倍？这个计算过程数值稳定吗？插值问题：1设函数fx在五个互异节点Xi,x2,x3,x4,x5上对应的函数值为f1,f2,f3,f4,f5,根据定理,必存在唯一的次数A的插值多项式Px,满足插值条件B.对此,为了构造Lagrange插值多项式Lx,由5个节点作

3、C个、次数均为D次的插值基函数li(x)=(E),从而得Lagrange插值多项式L(x)=(F),而插值余项R(x)=f(x)L(x)=(G).2)试用三种方法求过三个离散点：A(0,1)、B(1,2)、C(2,3)的插值多项式.x3)求函数f(x)=e在0,1上的近似一次插值多项式.4)由函数值表：x:123xe:0.367879441,0.135335283,0.049787068.21求e的近似值.nnxj5)利用插值方法推导工口-一ji=xi=0j=0,j：if4101826按最小二乘法拟合出一个形如S=a+bx2的经验公式四.数值求积：写出数值求积公式的一般形式,指出其特点,并说明

4、它对计算机的计算有什么意义？-j三.拟合问题：1) 对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是(A)和(B).2) 对同一个量的多个近似值,常取其算术平均作为该量的近似值,这种做法的意义是什么？3) 设有实验数据如下：x1.361.731.952.28f14.09416.84418.47520.963按最小二乘法求其拟合曲线.4) 某试验过程中函数f依赖于x的试验数据如下：xi：1234fi:0.81.51.82.02试按取小一乘法拟合出一个形如S=ax+bx的经验公式.5)设有实验数据如下：x12342)简述数值求积公式的“代数精度的概念bn3 )插值型求积公式(f(x)dx圣£

5、Akf(xk)中,每个系数可用公式Ak=k=0n(A)计算,它们之和AkAk=(B),其代数精度(C).k=0又Newton-Cotes公式的一般形式为(D),其主要特点是(E),其nCotes系数之和CC,)=(F),其代数精度(G);kz014 )考察数值求积公式(f(x)dx之Af(1)+A0f(0)+A1f(1),直接指出：它是什么类型的公式？为使其精度尽可能高,A,A0,A1应取什么确值？它是不是Gauss型公式？115 )求I=dx的近似值,试写出使用11个等分点函数值的求积01x3公式(要求只列出数值公式,不需要求出具体结果).26 )利用复化Simpson公式求积分I=jjdx

6、的近似值(只需列出算式),17 )利用现成函数表,分别用复化梯形公式Tn和复化Simpson公式Sn计算积分3,I=06i4-sin2:d:4-sin2;02.361.99810012二.361.99244733.361.98318254二.361.97053865二.361.95483866.361.9364917五.解线性代数方程组的直接法1)Gauss消去过程中引入选主元技巧的目的是以下中的哪一项或哪几项?A.提升计算速度；B.提升计算精度；C.简化计算公式;D.提升计算公式的数值稳定性；E.节省存储空间.2） 采用“列主元Gauss消去法解以下方程组：35xi547卜2=633封一包a

7、） 用"列主元Gauss消去过程将方程组约化成上三角方程组b） 用"回代过程依次列式计算出方程组的解.3） 设方程组-326-玉-410-70x2=7.5-15一,3一里现采用“列主元Gauss消去法求解,试答复:a所用列主元Gauss消去法包括哪两个过程？b要用几步消元？c每一步消元计算之前需做哪些工作用简短、准确的文字表达d现经第1步消元结果,上述方程组已被约化为一10-701xJ一71请你继续做消元计算,直至约化成上三角方程组.e对所得上三角方程组依次列式计算出方程组的解.六.解线性代数方程组的迭代法：1解线性代数方程组x=Bx+f的根本型迭代公式k1.kx=Bxf,

8、k=0,1,其中B称为彳f么？x0又称为什么？如果迭代序列xk有极限x*即迭代公式收敛,那么极限x是什么？2设解线性代数方程组Ax=b其中AWRn*非奇异,b#0的迭代公式为x(kd)=x(k)-(Ax(k)-b),k=0,1,那么其迭代矩阵是什么？此迭代公式对任意的初始向量x(0)收敛的充分必要条件是什么？又此迭代公式对任意的初始向量x(0)收敛的一个充分条件是什么？3)设线性方程组试构造解此方程组的Jacobi迭代公式和GS迭代公式；试问所作的两种迭代公式是否收敛,为什么？试用初值x(0)=(0,0)T计算GS迭代公式的前三个值.1-5xi-44 )设方程组'|1|11=|色-1也

9、8.试构造解此方程组的收敛的Jacobi迭代公式和收敛的Guass-Seidel迭代公式,并说明两者收敛的根据；求出这两种迭代的迭代矩阵.5 )设线性方程组1-0.5aAx=b,A=-0.52-0.5,x,bwR3-a-0.51_请按便于计算的收敛充分条件,求使J法和G附均收敛的a的取值范围.七.一元方程求根：1)写出求方程f(x)=x33x1=0在1,2中的近似根的一个收敛的不动点迭代公式,并证实其收敛性.2)方程xlnx=2(x>1)的有根区间3,4.试写出求该方程在3,4中的根的一个不动点迭代公式；证实所给出的迭代公式是收敛的.试设计其计算机算法.3)用Newton迭代法求方程f(

10、x)=x33x1=0在x0=2附近的根,试写其Newton迭代公式；并说明其收敛情况.4)试写出求近的Newton迭代公式,并说明其收敛情况.八.常微分方程初值问题1)常微分方程定解问题分为初值问题和(A)问题.初值问题是指由(B)和(C)两局部联立起来构成的问题.研究常微分方程初值问题时,通常针对基本形式(D)进行研究.设函数y(x)是某初值问题的解析解,那么该初值问题在Xn处的解为(E)而数值解(通常记)为(F),它们的关系是(G).假设记y(Xn4)是初值问题在点Xn书处的解,yn卡是由某数值方法得出的Xn书处的数值解,那么该数值方法在Xn书处的局部截断误差是指(H).r,2八一一公2)

11、设初值问题,y=-xy7,°<°.6J(0)=1试用Euler方法取h=0.2,求解上述初值问题的数值解.3)设初值问题yr=8-3yV(1)=21MxM2试用梯形方法求其解在两点x=1.2,1.4处的值y(1.2),y(1.4)的近似值./土y=y2+2x+1,0cx<14)设初值问题Jyy1y(0)=1试用改良的Euler方法,并取h=0.1,设计一个求解上述初值问题数值解的求解方案(或称计算机算法描述；不必求出解的具体数值).5)设初值问题,y=3y/(1+x),0<x<1M0)=1试用4阶经典R-K方法,并取h=0.1,设计一个求解上述初值问

12、题数值解的求解方案(或称计算机算法描述；不必求出解的具体数值).九、以下各小题任选其中已学过的小题作练习：1)设x=(0,2,3)T,求,31,32,3廿P(A).设a=J：2'|a|i,|aL,Halj34i2 )用较简捷的方法分别求以下的插值多项式H(x)和p(x),并写出其余项公式a) H(-1)=-1,H(0)=H(0)=0,H(1)-1b) p(0)=1,p(1)=p(1)=0,p(2)=23 )用插值方法求在x=0处与cosx相切,在x=n/2处与cosx相交的二次多项式p2(x),并推导插值余项的估计式为,、72,*cosx-p2(x)<x|x-|624)试用最小二

13、乘法原理求以下超定方程组的近似解：2x14x2=113x1-5x2x12x22x1x2x25)要计算函数y(x)=edt在x=0.2,0,4,0.6三处的近似值,0试用解初值问题的数值方法,设计其计算方案(要求采用二阶精度的计算公式),6)用追赶法解三对角方程组:21131I11I2VxJ忸1X3X4一210一*1)x拟用迭代法=x(k)：(Ax(k)-b),k=0,1,求解,试确定a的取值范围,使得上述迭代公式收敛8)对迭代函数(x)=x+'u(x2-5),试求使迭代公式Xk4=中(Xk),k=Q1,局部收敛于x*=<5的丸的取值范围.9)试给出求除法运算CA0的Newton迭代公式,使得迭代公式没有开方和10) 由迭代公式xk+=2+x二k=0,1,产生的序列xk对任何Xk2初值x0之1均二阶收敛于什么？解释