2019中考数学专题复习——一线三角三等角型

1、“一线三等角根本图形解决问题三角形相似在整个初中数学中有着重要的地位,在学习三角形相似形时,我们从复杂图形中别离出根本数学模型,对分析问题、解决问题有化繁为简的效果.在近几年的中考题中,经常可以看到“一线三等角的数学模型,所谓“一线三等角是指在一条直线上出现了三个角相等.一、知识梳理：2021年德州,(1)问题如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,/DPC=/A=/B=90,求证：AD-BC=AP-BP.(2)探究如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当/DPC=/A=/B=8时,上述结论是否依然成立？说明理由.(3)应用请利用(1)(2)获得的经验解决问题:如图3,ABD中,

2、AB=6,AD=BD=5,点P以每秒1个单位长度的速度,由点A出发,沿边AB向点B运动,且满足/CPD=/A.设点P的运动时间为t(秒),当以D为圆心,DC为半径的圆与AB相切时,求t的值.类似题练习：(2021年甘肃天水)ABCDEF是两个全等的等腰直角三角形,/BAChEDF=90,DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合,将DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图,当点Q在线段AC上,且AP=AQ寸,求证：BPECQE(2)如图,当点Q在线段CA的延长线上时,求证：BPa4CEQ并求当BP=2,CQ=9时BC的长.、【例题解析

3、】【例1】2021四川自贡阅读理解：如图1,在四边形ABCM边AB上任取一点E点E不与点A、点B重合,分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD勺边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD勺边AB上的强相似点.解决问题：1如图1,/A=ZB=ZDEC=55,试判断点E是否是四边形ABCM边AB上的相似点,并说明理由；2如图2,在矩形ABCD43,AB=5,BC=2且A,B,C,D四点均在正方形网格网格中每个小正方形的边长为1的格点即每个小正方形的顶点上,试在图2中画出矩形ABCD勺边AB上的一个强相

4、似点E;拓展探究：3如图3,将矩形ABCDgCM折叠,使点D落在AB边上的点E处.假设点E恰好是四边形ABCM勺边AB上的一个强相似点,试探究AB和BC的数量关系.1、矩形ABC邛,AB=3,AD=,点P是AB上的一个动点,且和点A,B不重合,过点P作PE垂直DP,交边BC于点E,设,PA=x,BE=y,求y关于x的函数关系式,范围.并写出x的取值E'B2、如图,正方形ABCD将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与的垂直平分线PQ上时,连接ON假设ON=8求MQ勺长.A重合,并将三角尺绕点旋转,当M点旋转到BCQ03.如图,在矩形ABC邛,AB=m砚大于0的常数,BC=8,E为线段BC上的动

5、点不与BC重合.连接DE,彳EFIDE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y,ADft(1)求y关于x的函数关系式(2)假设m=8求x为何值时,y有最大值,最大值是多少？一12(3)右y=,要使DEF为等腰三角形,m的值应为多少?m【例2】等边ABCi长为6,P为BC边上一点,/MPN60,且PMPN分别于边ABAC交于点E、F.(1)如图1,当点P为BC的三等分点,且PE±AB时,判断EPF的形状；(2)如图2,假设点P在BC边上运动,且保持PE!AB设BP=x,四边形AEP哂积的y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；(3)如图3,假设点P在BC边上运动,且/

6、MPNg点P旋转,当CF=AE=2时,求PE的长.图1图2图3分析过程：(1)EPF为等边三角形.(2)设BP=x,那么C之6-x.由题意可4BEP的面积为x2.4CFP的面积为13(6x)2.4ABC的面积为9内.82设四边形AEPF的面积为y.y=9石亭J6-x)2=-衿2+6国一9百.自变量x的取值范围为3<x<6.BP(3)可证EBWPCF.,CFBE、.设BP=x,CP那么x(6x)=8.解得为=4,x2=2.PE的长为4或2,3.【练习】.如图,在ABO,AB=AC=5cm,BC=8,点P为BC边上一动点(不与点B、C重合),过点P作射线PgAC于点M,使/APM/B;

7、(1)(2)(3)(4)求证：ABNAPCIM设BP=x,CMy.求y与x的函数解析式,并写出自变量的取值范围.当APM等腰三角形时,求PB的长.当点D是BC的中点时,试说明AD蕾什么三角形,并说明理由.P【例3】在AABC中,/C=90°,AC=4,BC=3,0是AB上的一点,且丝=2,点P是AC上的一个动点,AB5PQ10P交线段BC于点Q(不与点B,C重合),AP=2求CQ【练习】在直角三角形ABC中,ZC=90°,AB=BC,D是AB边上的一点,E是在AC边上的一个动点,(与A,C不重合),DF_LDE,DF与射线BC相交于点F.(1)、当点D是边AB的中点时,求证

8、：DE=DF(2)、当矩=m,求正的值DBDF【例4】如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),B(1.0),C(0,-3).(1)求抛物线的解析式；(2)假设点P为第三象限内抛物线上的一点,设PAC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标；(3)设抛物线的顶点为D,DEIx轴于点E,在y轴上是否存在点M使彳ADM直角三角形？假设存在,请直接写出点M的坐标；假设不存在,请说明理由.答案：(1)y=x2+2x-3;(2)S有最大值27,点P的坐标为(',-15)；824M的坐标为(0,3)或(0,-7)或(0,-1)或(0,-3).22课后作业：1.：如图,在ABC中,A

9、B=AC=5,BC=6,点DE_LAB,点E在边BC上.又点F在边AC上,且/DEF=/B.(1)求证：FC&AEB)E(2)当点D在线段AB上运动时,是否有可能使S*ce=4S占BD.如果有可能,那么求出BD的长.如果不可能请说明理由.2. 如图,在ABC,AB=AG=5,BG=6,P是BC上一点,且BP=2,将一个大小与/B相等的角的顶点放在P点,然后将这个角绕P点转动,使角的两边始终分别与ABAC相交,交点为HE.(1)求证BPD°CEP(2)是否存在这样的位置,PDb直角三角形？假设存在,求出在,说明理由.3. 如图,在ABC43,ABAG5,BC=6,P是BC上的一

10、个动点(与RC不重合),PE!AB与E,PF,BC交AC与F,设PC=x,记PE=y1,PF=y2(1)分别求yi、y2关于x的函数关系式(2)PEF能为直角三角形吗？假设能,求出CP的长,假设不能,4. 如图,在ABC43,AB=AC=5,BC=6,P是BC上的一个动点(与合),PELAB与E,PF±BC交ACWF,设PC=x,PEF的面(1)写出图中的相似三角形不必证实；(2)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围；(3)假设PEF为等腰三角形,求PC的长.BpC请说明理由.BPCB、C不重积为y5. 在等腰三角形ABC中,AB=BC=4,AC=6,D是AC的中点,E是BC上的

11、动点(不与B、C重合),连结DE,过点D作射线DF,使/EDF=2A,射线DF交射线EB于点F,交射线AB于点H.(1)求证：ACEDsAADH;设EC=x,BF=y.用含x的代数式表示BH;求y关于x的函数解析式,并写出x的定义域.6. 在梯形ABC丽,AD/BCA氏BC,且AD=5,AB=DC=2.1如图8,P为AD上的一点,满足/BPC=/A.求证；ABWDPC求AP的长.2如果点P在AD边上移动点P与点A、D不重合,且满足/线DC于点Q那么当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=v,求y关于xBP叁/A,PE交直线BC于点E,同时交直的函数解析式,并写出函数的定义域;当CE=1

12、时,写出AP的长不必写出解题过程.7.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.做CEy轴交函数图象上于点E.OB=1,OC=CE=2,直线l是抛物线的对称轴,D是抛物线的顶点.1求二次函数的解析式；2连接AD,线段OC是的点N关于直线l的对称点N'恰好在线段AD上,求点N的坐标；3探究：抛物线的对称轴上是否存在点T,使得线段TB绕点T逆时针旋转90.后,点B的对应点B恰好也落在此抛物线上？假设存在,求出点T的坐标；假设不存在,请说明理由.S答案：1.解：(1)AB=AC'./B=ZC/BED/DEf=/C+/EF090又NDEF=/B,/B

13、ED=/EFCFCEoEBD55(2).BD=x,BE=-x,EC=6x33S、FCEoEBD.FECECBD2)右SCE=4S在BD(6-|x)2,.18=4-x=116一36113,BD不存在2.解：(1)ABAC./B=ZC./DPCZDPE-ZEPC：/日/BDP./EPC=/BDP.AB5DCE(2)/DPE=/B#90假设/PDE=90,在RtABM口RtPDE中BHcos/AB阱cos/DP占一ABPDPDBDPEPEPC12PC=4BD=5假设/PED=90在RtAABhffnRtAPD计.cos/ABHcos/PEDBHPEABPD一_20一人,-PC=4BD=>5(舍

14、去)3一,一12综上所述,BD的长为5PDBDPEPC44243.解：(1)y1=(6x)=x+、555Y2(2)/FPE=/B¥90假设/PFE=90,在RtMB而RtPFE中BH.-.cosZABhtcosZFPEz-BH-ABPFPEy2y1假设/PE=90,在RtMB而RtPFE中/BH.cos/ABHcos/FPE=PF3ABPE5y13424x554.解：(1)PE中EPC(2)PC=x.PF44x,PE(6-x),EH351kPF232x275(3)当PE=PF时,当PE=EF时,424x416小、EP(6x)525一.1416s、32_、EHx(6-x)x(6-x)23257564x(0:二x<3)25EP笠PEBPC=BE=x,一.12PH=PF=x,cosZEPhtcosB,(6-x)5108x=432小、1 25(6一x)3当FE=PF时,PM=_EP=(6x),cos/FPMcosB,5x=22 545-x3综上所述,PC的长分别为x=9、竺8、24435.解：(1)AB=BC,ZA=ZCZCDE+/EDF=/A+/H又/EDF=/A,ZCDE=NHCED"&ADH-CECD(2)ACEDs&ADH,二一="ADAH.D