12-13(1)-12级-矩阵论试题与答案

1、参考答案-15分i、在心中的线性变换了将基a尸12,4=0变为基/尸-1,1.07尸3=3,1求线性变换7在基冈,.2,%下的表示矩阵42求向量J=1,2,37.及TR在基%,%下的坐标.解：1由4,®夕3=7%,.2,.3=%,%,%4知：人=4,%.3'夕2,2311-102-101-10、32一110-12-11-1-2A001-10、32,-1I.-111-121%2,那么X2=«,%,4-?=-110-12-1-2A3J-49,Z、>?!I丁?在基生,%下的坐标:y2=Ax2=-32Ul3>二15分4=3-111、-11>1求A的最小多项

2、式7%及'：dx(r)./、2求微分方程组?=Ax(t)dr的解.x(O)=(lJJ)T解：同一止4-23,A的最小多项式“4=4-22；设y(2)=w(A)g(2)+6/2+Z?,f(A)=teh,由/沙【广="=2=(1一2川(+teA,=aA+bI=e21-tiT0t、1-t0IT,U+2Q(2)x(t)=eAlx0=e2!1-2/J_2f,三15分设4=依107、.0.30.6；计算网,|明|矶;2判断矩阵事级数£屋是否收敛,假设收敛,求其和.解：同尸1.3,同x=09,网=圆砺:002由于M,=0.9vl,所以,矩阵事级数工人是收敛,且£不=(/

3、-A尸1(0.40.70J51,0.30.9；四15分己知A=010、1,b=11利用4的满秩分解求广义逆矩阵A*：2求无解方程组AX=0的最小二乘解以及极小范数最小二乘解.(ion解：A=011=01=BCoidU0MUojA+=C(CC)-i(88)78=L6解法方程组ArAX=Afb：-14-112120(A,AW%)=01211011-0112)0001210最小二乘解：X=k极小范数最小二乘解：Xz=A"=O1-21-2五10分设A是主对角元全为零的上三角矩阵,利用Jordan分解定理证实：存在正整数k,使得4人=.0证：因A的特征值全为零,所以存在可逆矩阵P,使得010,

4、其中Ji=/n7设,中Jordan块的最大阶数位k,那么有=0,i=l,2,？,从而,六(10分)设r为维欧式空间V中的线性变换,且对内积满足：Vx,yeK(7k,),)=(乂4),试证：丁在标准正交基%.2,%下的表示矩阵A=(%)“为反对称矩阵.证：由“名,%,a“)A得T«=即%+a2ia2+anianTa=aXja+a2ja2+-+anJan那么(74,%)=(劭+%+4声,a)=%(%7%)=(%,%+%+%)=%由(Tq,4)=-(%,T%)知：%=-4",即A=-A,所以,A为反对称矩阵.七(10分)设A是阶方阵,A的特征多项式为|十一4|=(/1一4),工0

5、,(1)证实矩阵A-(0-A)/是不可逆的；(2)证实A是可逆的,并求A(用A的多项式表示).证：(1)由同一A=(/),工0知：A的个特征值2=WO,乂=a且"A|=0,所以,卜汉一(力)/|=|(A-c")|="|AR|=0,从而,矩阵九4一(m4)/是不可逆的.(2)同=4么4=."W0,所以,A是可逆的.由Hamilton-Cayley定理知,f(A)=(A-aiy'=0即(A-aI)n=AGIA""_.+(7yle+=0故,A-1=-(一_01-CyA'i+CkA"-3-+(-1广匕.ci八(10分),设阶正规矩阵A的所有非零特征值为4,4,4,证实：A的正奇异值为5=|4|,i=l,2,八及UhAhU=证：由于正规矩