(整理)二导数与微分部分.

1、第二章导数与微分1、利用导数定义求函数极限如田.f(x+口)-f(x)/、如果f(x)存在ylim-=f(x)J口注意：分子中的“口和分母中的“口应一致,且符号也相同例1设f(x)在x0点可导,求以下极限limf(x0+2h)-f(x0-2h)h02h.cX7T一一一i.(2)设f(x)=limtsin-g(x+)-g(x),其中g(x)有二阶导数,求f(x)2、利用定义求函数的导数例2(1)设中(x)=f(a)(xa)+f(x)(xa)Tn1xsin-x(1)f(x)=0ln(1+x),求中(a)注意：函数5(x)仅在x=a处存在二阶导数,故求中(a)时不能直接利用求导公式.(2)设周期函数

2、f(x)的周期为5,f(x)可导,且limf-f(2-x)=1,求曲线y=f(x)在点xo2x(-3,f(-3)处的切线方程.(3)设F(x)=f(sin中(x),f/(0)=a,中(0)=0,中/(0)=b,求F/(0)3、求含有绝对值的函数和分段函数的导数f(x)xa分析：含有绝对值的函数可转化为分段函数y=JAx=a,、g(x)xay/=f/(x)当xay(x)=()a在x=a处可导,求y(x)中的待定系数&(x)xa函数y(x)=Ax=a,求ylx),并讨论y/(x)的连续性g(x)xa分析：(1)先求ylx)；(2)然后讨论ylx)在定义域内的连续性axbxc,x：0,_、,例5设f

3、(x)=问如何选取a,b,c才能使f(x)处处具有一阶连续导数,但在x=0ln(1x),x-0处却不存在二阶导数.6、利用导数求函数例6(1)设f(x)在(0,+8)内有定义,且f1)=a(0),又对Vx,y=(0户)有f(xy)=f(x)f(y)求f/(x)注意：有乘积的,一般令x、y互为倒数(2)设函数f(x)满足等式f(x+y)=f(x)+f(y)且f(0)存在,求f(x)1-f(x)f(y)注意：有和的,一般令x、y互为相反数；有差的,一般令x、y相等7求导例7f(x)=(x1)(x+2)(x+3)(x+100),求f/(1).8复合函数的求导.21sin-例8求导(1)y=ex；(2

4、)设y=1f(x)=lnx3,求业dx9求反函数的导数一rdy例9设x=ln(y+Jy-1),求一2dx10隐函数的求导例10求导(1)(cosx)y=(siny)x(2)设y=y(x)是由方程xy+ey=1所确定的隐函数,求y(0).11由参数方程所确定的函数的导数例11求导数dydxx=a(t-sint)y=a(1-cost)x=teteey=212对数求导法求函数的导数(1)对哥指函数y=f(x)g(x)两边取对数lny=g(x)lnf(x)(2)两边对x求导得：1,y/=g/(x)lnf(x)+gf/(x)yf(x)那么y/=f(x)g(x)g/(x)lnf(x)+g(x)f/(x)f

5、(x)例12求导(1)y=x/x；(2)y=(x2+sinx)c0sx多重函数的连乘除,多重根式内商的函数求导例13求导(1)y(x-1)(2x3).(3x-5)(x-2)尸55x2213抽象函数的求导例14求导(1)y=exf(x2+lnx)；(2)设丫=f(arcsinx),f/(x)=tanx,求生dx|1x3-214求高阶导数常见函数的高阶导数ax.(n)nax(3)(e)()=ae(4)(lnx)(n)n1(-1)一-1)!nX(5)(n)(sinx)=sin(x-)(6)(cosx)(n)=cos(x-)“、(1二(-1)nn!anax+b(ax+b)n*两个函数乘积的n阶导数公式

6、(uv)n!(n_k)(k)uVk!(n-k)!例15求高阶导数y(n)(2)(1)y=e2xcos2x(3)求f(x)=x2ln(1+x)在x=0的f(n)(0).练习1设f(x)在x0点可导,求以下极限f(x0-2.：x)-f(x0)x欣f(x曰一设厂曰2(1)设f(x)在(-,)上有定义,在x=a处可导,且y=f(a+bx)-f(a-bx),其中b=0,求y/(0)(2)设f(x)在U(0,a内有定义,假设有2f(x)=2f(0)-3x+g(x),g(x)叫,求f(0).设F(x)=xf(x)在x=1处可导,且f(1)=1,求f/(1)3(1)f(x)=x+2|,求f(x)的导数x1|x

7、月x-1求f(1),f(1).,x-1r42,(2)设f(x)=Jarctanx,nx1-rL422(1-cosx)八2,x0x设f(x)=00(4)g(x)在x=a连续,讨论f(x)=|x-a|g(x)在该点的可导性.(5)设f(x)=|x3-1|中(x),其中中(x)在x=1处连续,那么f(x)在x=1处可导的条件是什么一一、,1(6)设F(x)=minf1(x),f2(x),te义域为(0,2),其中f1(x)=x,f2(x)=,试在其te义域内求xf(x).4/、iey(x)=ax+bx：:：1,一、,一为可导函数,求a,bx1二一2sinxx5(1)f(x)=0ln(1+x)x:二0

8、x=0,求f/(x)并讨论f/(x)的连续性x0g(x)-e,(2)f(x)=x0x-0,.,一,一其中g(x)有二阶连续导致,且g(0)=1,g(0)=-1,x=0,求f(x);讨论f(x)在(3,y)内的连续性.6(1)设f(x)为连续函数,且f(0)存在,对Vx和y有f(x+y)=f(x)f(y)1-4f(x)f(y)证实对一切x,f(x)可微;1右f,(0)=-,求f(x)o一一一二t,、7f(t)=(tan-1)(tan4二t2-2)1H(tan,100二t100),求.(l)o8求导(1)ynjx+dx+vx(2)y=cos2(lnx)(3)y=sin(COsx)x9求导(1)si

9、n(xy)+ln(yx)=x(2)ln*；x2+y2=arctanyx设f(x)为可微函数,且y2f(x)+xf(y)=x2-dx10Lt/Ie=t-xey2lnt1求5=0dxt=e一一/,dfx11求导设f(x)可导,且f/(1)=2,求-1kdx(2)设y=f(e；一1),f/(x)=cosx2,求生|xwe1dx,、4(2)y=xcosx3x12求n阶导数(1)yx2-x-2设f(x)有任意阶导数,且f(x)=f2(x),求f(n)(x)(n2).历届高等数学竞赛真题1-x求y=7的n阶导数1xx2-1工/2、y=arccos-,求yx13、y=(1+x2)(1+x4)(1+x8)-(

10、1+x2),求y/|x4求电dx4、设lnJx2+y2=arctan,当x=1,y=0时,x5.(1)设函数f(x)可导,并且f(Xo)=5,那么当xt0时,该函数在点X0处微分dy是Ay的(A)A等价无穷小B同阶但不等价的无穷小C高阶无穷小D低阶无穷小a处不可导的充要条件是(C)(2)设函数f(x)在点x=a处可导,那么f(x)在点x=Af(a)=0,且f(a)=0Bf(a)#0,且f(a)=0Cf(a)=0,且f(a)#0Df(a)#0,且f(a)00(3)设函数f(x)与g(x)在开区间(a,b)内可导,考虑如下的两个命题：(1)假设f(x)g(x),f(x)g(x)；(2)右f(x)g

11、(x),那么f(x)g(x)o那么(B)A两个命题均正确C命题(1)正确,命题(2)不正确B两个命题均不正确D命题(1)不正确,命题(2)正确(4)设函数f(x)在x0的一个领域内有定义,那么在x0点处存在连续函数g(x)使f(x)-f(x0)=(xx0)g(x)是f(x)在点处可导的(C)A充分而非必要条件B必要而非充分条件C充分必要条件D既非充分,也非必要(5)设函数f(x)对任意x都满足f(x+1)=af(x),且f(0)=b,其中a,b均为非零常数,那么f(x)在x=1处()A不可导B可导,且f(1)=aC可导,且f(1)=bD可导,且f(1)=absecx6、设y=Jarctantd

12、t,求cscxdydx7、设fJdu-0t4一0(u1)2dud2ydx2x=12t2,8、(1)设函数y=y(x)由参数方程?y=1H21nteu.1)所确7,求du,1ud2ydx2x-91x=etsin2t.曲线广etsin,在点(0,1)处的法线方程为y=8cost(3)设函数y=y(x)由参数方程(乂二f(.江,所确定,其中f可导,且f(0)*0,求曳y=f(e3t-1),dx(5),、一x=t-sint设摆线方程为i,那么此曲线在t=处的法线方程为y-1-cost3(6)设函数y=y(x)由方程ex比cos(xy)=0所确定,那么dyx用19、(1)设函数f(x)在点的某邻域内具有

13、二阶导数,且limJ+x+f(x)J=e3.求f(0),f(0),f(0).(x)(2)设函数f(x)=一cosxxa,x-0,其中中(x)具有连续二阶导函数,且5(0)=1.确定x=0a的值,使f(x)在点x=0处可导,并求_.f(x).讨论f(x)在点x=0处的连续性.(0).(2)设y=x+xx,求y/x1,在x=1处可导,求a的范围x-1f(1)1-X(n)10、(1)设f(x)=arctan,求f1x11cos11、设a为实数,f(x)=(x1)ax-10-dn(1-xm)n一12、设f(x)=n,m,n是正整数,求dx、一-.、1997.-(1997)一、13、(1)设f(x)=xtanx,求f(