(学案)二次函数与一元二次方程、不等式

1、二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】(1)从函数观点看一元二次方程.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.(2)从函数观点看一元二次不等式.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.【学习重难点】二次函数与一元二次方程和不等式的关系.【学习过程】一、自主学习知识点：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系J>0二0J<0y=ax2+bx+C心0

2、的图象40P12x上ax2+bx+c=0a>0的根有两个不相等的实数根XI,X2(X1<X2)有两个相等的实数根、1=X2=bla没有实数根ax2+bx+c>0心0的解集xx<x,或X>%2谀2/Rax2+bx+c<0心0的解集x|xi<X<X20状元随笔一元二次不等式的解法:(1)图象法：一般地,当>0时,解形如.N+bx+cX)(>0)或qF+bx+cCO(«<0)的一元二次不等式,一般可分为三步:确定对应方程af+bx+cuO的解；画出对应函数yuaf+bx+c的图象简图；由图象得出不等式的解集.对于.<0

3、的一元二次不等式,可以直接采取类似.>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式,再求解.(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解,当pq时;假设(x一p)(Xq)>0,那么x>q或xp；假设(xp)(xq)<0,那么pxq.有口诀如下“大于取两边,小于取中间.教材解难：教材Pso思考能.可以从2个角度来看函数的角度：一元二次不等式ax2+bx+c>0表示二次函数丁=尔+历+.的函数值大于0,图象在x轴的上方；一元二次不等式./+历+00的解集即二次函数图象在x轴上方局部的自变量的取值范围.方程的角度：一元二次不等式af

4、+cX)的解集的端点值是一元二次方程/+及+c=0的根.根底自测：1 .以下不等式中是一元二次不等式的是()A. a2x2+2>QB. <3x-C. x+x77/<0D. a3-2x+1>0解析：选项A中,/=0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中,最高次数为三次；只有选项C符合.答案：C2 .不等式x(x+1)SO的解集为()A. -1,+oc)B. -1,0)C. (oc,1D. -1,0解析：解不等式得一烂0,应选D.答案：D3 .函数y=/1i的定义域为()yl76xxA. 7,1B. (-7,1)C. (oc,7U1,+co)D. (co,7)U(1,+co

5、)解析：由76丫一F>0,得x2+6x-7vo,即(x+7)(x-1)<0,所以一7Vx<1,应选B.答案：B4 .不等式1+2、+/0)的解集为.解析：不等式l+2x+xM0化为(x+1)2<0,解得x=-l.答案：一1二、素养提升题型一：解不含参数的一元二次不等式(教材P52例1、2、3)例1：(1)求不等式一5x+6>0的解集.(2)求不等式9-6;v+l>0的解集.(3)求不等式一f+及-BX)的解集.解析：(1)对于方程SSx+G：.,由于>0,所以它有两个实数根.解得xi=2,也=3.画出二次函数y=一5x+6的图象(图1),结合图象得不等

6、式婷-5、+6>0的解集为xx<2,或x>3.(2)对于方程9f6x+l=0,由于4=0,所以它有两个相等的实数根,解得xi=X2=；.画出二次函数>=9<-6x+1的图象(图2),结合图象得不等式9-6x+l>0的解集为(3)不等式可化为?-2、+3<0.由于=一8<0,所以方程/一%+3=0无实数根.画出二次函数二/一2、+3的图象(图3).结合图象得不等式f-2、+3<0的解集为.因此,原不等式的解集为.由于方程x25x+6=0的根是函数y=x2-5x+6的零点,所以先求出x2-5x+6=0的根,再根据函数图象得到x25x+6>

7、0的解集.教材反思我们以求解可化成af+bx+cX)(心0)形式的不等式为例,用框图表示其求解过程.将原不等式化成心2+<、>0(.>.)的形式(计算A=b2icu的值必>0方程a/+入.+=0有两个不相等的实数根,解得W、2(21<4)(»方程a.r2+岳,+r=0有两个相等的实数根.解得d<0方程+？+<-=0没有实数根原不等式的解集为原不等式的解集为X1或1>12>原不等式的解集为R跟踪练习1：解以下不等式：(1) ?-7x+12>0：(2) -?-2x+3>0；(3) ?-2x+l<0：(4) -2x2+

8、3x-2<0.解析：(1)由于=1>0,所以方程f7x+12=0有两个不等实根修=3,x2=4.再根据函数尸婷一7、+12的图象开口向上,可得不等式十一7、+12>0的解集是mV3或x>4.(2)不等式两边同乘一1,原不等式可化为S+ZxBgO.由于=16>0,所以方程S+2x3=0有两个不等实根xi=-3,刈=1.再根据函数y二小+左-3的图象开口向上,可得不等式一x22x+3N0的解集是x|3S烂1.3由于4=0,所以方程fZx+l：.有两个相等的实根阳=超=1.再根据函数-2x+l的图象开口向上,可得不等式fZx+lVO的解集为.4原不等式可化为才一3x+2

9、>0,因此二9-4x2x2=-7V0,所以方程2/一3工+2=0无实根,乂二次函数丁=才一3、+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R.H函数状元随笔化二次项系数为正一一>计算相应方程的判别式及两根XI,X2B一结果11图象题型二：三个“二次之间的关系例2：关于x的不等式a/+bx+c>0的解集为x|2VxV3,求关于x的不等式cr+bx+.<0的解集.解析：方法一：由不等式ax2+bx+cX的解集为x|2xV3可知,a<0,且2和3是方程beb5af+bx+cuO的两根,由根与系数的关系可知；;=一5,1=6.由4Vo知0,二=一,故不等aaco式cX+bx+

10、aVO,即x2+与x+>0,即x2解得或所以不等式cx2+bx-hccoo52"VO的解集为一8,fu&+8.方法二：由不等式af+bx+c>.的解集为x|2Vx<3可知,a<0,且2和3是方程a+bx+c=0的两根,所以qf+bx+cuG%2、-3=4/一5ax+6a=b=5,c=6o,故不等式cf+bx+.v.,即5ax+aV0=6ax；卜0,故原不等式的解集为一孙方法归纳：一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系,在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.1假设一元二次不等式的解集为区间的形式,那么区

11、间的端点值恰是对应一元二次方程的根,要注意解集的形式与二次项系数的联系.2假设一元二次不等式的解集为R或.,那么问题可转化为恒成立问题,此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的范围.跟踪练习2：一元二次不等式+力+广0的解集为x一宗制卜求不等式疗+"+1>0的解集.解析：由于S+px+qVO的解集为X异<4,所以xi=-g与X2=(是方程S+px+q=0的两个实数根,由根与系数的关系得解得41夕=一所以不等式qf+px+lX)即为一*+3+1>0,整理得x2-x-6<0,解得一2<xV3.即不等式qf+px+l>.的

12、解集为x|-2«3.状元随笔观察给定不等式的解集形式由根与系数的关系得p,q的方程组确定p,q的值一求不等式qx'+px+l>.的解集题型三：含参数的一元二次不等式的解法例3：解关于x的不等式2jr+ax+2>0.解析：对于方程2f+G+2=0,其判别式=/-16=(+4)(-4).留神4或.V4B寸,J>0,方程2A2+ax+2=0的两根为xi=；(aX2=；(a+yja.6).原不等式的解集为一°_1宗_16取弓a+R2-16；当.=4时,4=0,方程有两个相等实根,X1=X2=-1,原不等式的解集为-1.当a=-4时,4=0,方程有两个相等实

13、根,xi=x2=l,原不等式的解集为井加.当一4力<4时,J<0,方程无实根,原不等式的解集为R.状元随笔I二次项系数为2,=/_16不是一个完全平方式,故不能确定根的个数,因此需对判别式的符号进行讨论,确定根的个数.方法归纳：含参数一元二次不等式求解步骤1讨论二次项系数的符号,即相应二次函数图象的开口方向；2讨论判别式的符号,即相应二次函数图象与x轴交点的个数；3当时,讨论相应一元二次方程两根的大小；4最后根据系数中的参数取值范围,写出一元二次不等式的解集.跟踪练习3解关于x的不等式一+/、+3>.解析：原不等式可变形为xX7>0,那么方程xax/=0的两个根为x=a

14、,X2=a2,1当4<0时,有a<cr,x<a或x>a2,此时原不等式的解集为或x>a；2当0av1时,有a>cr,即x<ct或x>a,此时原不等式的解集为xx<a2或x>a；3当.>1时,有即或此时原不等式的解集为或XA/；4当.=0时;有#0;原不等式的解集为小WR且毋0;5当.=1时,有用1,此时原不等式的解集为x|x£R且#1；综上可知：当亦0或心1时,原不等式的解集为或x>a2；当0<<1时,原不等式的解集为xRv/或x>a；当.=0时,原不等式的解集为巾ER且灯0；当.=1时,原不等

15、式的解集为x|x£R且灯1.不等式左边分解画式tW旃碉西写'2的大小|一国出不等式的解窠题型四：一元二次不等式的实际应用经典例题例4：某工厂的固定本钱为3万元,该工厂每生产100台某产品的生产本钱为1万元,设生产该产品x百台,其总本钱为gx万元总本钱=固定本钱+生产本钱,并且销售收入厂x满足rx0.5x2+7x10.5,0<a<7»13.5,x>7.假定该产品产销平衡,根据上述统计规律求:1要使工厂有盈利,产品数量x应限制在什么范围?2工厂生产多少台产品时盈利最大?解析：1依题意得gx=x+3,设利润函数为/x,那么f(x)=r(x)g(x),所以

16、/(x)='0.5+6工一13.5,0<x<7,10.5x,x>7,要使工厂有盈利,那么有,(x)>0,由于/(x)>0+0<a<7,-0.5x2+6x-13.5>0fx>7,或/ll0.5-x>00<a<7,、卜>7,/0<x<7,或<=1Lx2-12a+27<0110.5-x>0l3<x<9x>7,或I那么3<x<7或7<x<10.5,即3lx<10.5.<x<10.5,所以要使工厂盈利,产品数量应限制在大于300台

17、小于1050台的范围内.(2)当3烂7时,/(x)=-0.5(x6)2+4.5,故当x=6时,/(x)有最大值4.5,而当x>7时,/(x)<10.5-7=3.5,所以当工厂生产600台产品时盈利最大.(1)求利润函数f(x)=解不等式f(x)>0=答复实际问题.(2)根据第(1)题所求范围,分类讨论求函数最值=答复实际问题.方法归纳：解不等式应用题的四步骤：(1)审：认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.(2)设：引进数学符号,用不等式表示不等关系.(3)求：解不等式.(4)答：答复实际问题.特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义.跟踪练习4：某农贸公司按每担

18、200元收购某农产品,并按每100元纳税10元(乂称征税率为10个白分点),方案可收购万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(*0)个百分点,预测收购量可增加2%个百分点.(1)写出税收歹(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后,不少于原方案税收的83.2%,试确定x的取值范围.解析：(1)降低税率后的税率为(10x)%,农产品的收购量为a(1+2.X%)万担,收购总金额为200a(l+2x%)依题意得,y=2Q0a(1+2a%)(10x)%=ja(100+2x)(10-x)(0<x<10).(2)原方案税收为200g收%=20(万元).依题

19、意得,可(100+2x)(10-x)N20ax83.2%,化简得小+40X一8430,-42<x<2.乂OVxVIO,：.0<x<2.：.x的取值范围是x|O烂2.状元随笔根据题意,列出各数量之间的关系表,如下:原方案降税后价格元/担200200税率10%(10-x)%(0<x<10)收购量万担aa(l+2x%)收购总金额万元200.200a(l+2x%)税收y万元2006/10%200.(l+2x%)(10-x)%三、学业达标-选择题1.不等式3f2x+l>0的解集为A.x1<x<jC. 0D. R解析：由于/=-22-4x3xl=-8&

20、lt;0,所以抛物线丁=3/一2工+1开口向上,与x轴无交点,故BfZx+lX恒成立,即不等式3x22、+1>0的解集为R.答案：D2.设那么关于x的不等式?一x+x>0的解集是A. x|%v或B. xjj<x<niC. xx<7或、>D.xm<x<n解析：不等式mx+x>0可化为x-Tnx+<0,方程x?x+=0的两根为xi=?,xi=n.由加+>0,得?>,那么不等式x?x+V.的解集是x|,应选B.答案：B3.不等式/+5、+(?>0的解集为：x那么.,c的值分别为(A. a=6,c1B. a=-6,c1C.

21、4=1,C=D. =1,c=6解析：由题意知,方程分+5工+.=0的两根为xi=；,也=；,由根与系数的关系得知+也=1.15113+2=?XrX2=3X2=解得a6,c=1.答案：B4 .假设不等式?+"1+与>0的解集为R,那么实数m的取值范围是()A. (2,+oo)B. (-oo,2)C. (oc,0)U(2,+co)D. (0,2)解析：由题意知原不等式对应方程的,0,即W2-4xlxy<0,即722/0,解得OV"7V2,故答案为D.答案：D(二)填空题5 .不等式(2x5)(x+3)V0的解集为.解析：方程(2x5)(x+3)=0的两根为xi=|,

22、X2=-3,函数尸-5)(x+3)的图象与x轴的交点坐标为(一3,0)和(|,0),所以不等式(2x5)(x+3)<0的解集为X3<A<y答案：h-3<a<|I16 .不等式汨y.的解集为解析：原不等式可以化为(2%1)(2%+1)<0,即(k泉一(一扑0,故原不等式的解集为.答案：x,7 .用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于600m2的矩形吗？假设“能,当长=m,宽=m时,所围成的矩形的面积最大.解析：设矩形一边的长为xm,那么另一边的长为(50x)m,0<x<50.由题意,得x(50-x)>600,B|1x2-50.y+600<0,解得204<30.所以,当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时,能围成一个面积大于600m2的矩形.用S表示矩形的面积,那么S=x(50x)=一(x-25)2+625(0<x<50).当x=25时,S取得最大值,此时50-=25,即当矩形的长、宽都为25m