同济-高等数学-第三版(62) 第二节 可分离变量方程

1、 求解微分方程的前提是方程必需有解，从微积分讨求解微分方程的前提是方程必需有解，从微积分讨论角度考虑，还希望方程的解能够由初等函数表示，那论角度考虑，还希望方程的解能够由初等函数表示，那些能由初等函数表示的解称为初等解些能由初等函数表示的解称为初等解(公式解公式解)。 遗憾的是，一般的微分方程未必有初等解，即便遗憾的是，一般的微分方程未必有初等解，即便对对最简单的一阶方程也是如此。最简单的一阶方程也是如此。 通过对各类微分方程的研究，通过对各类微分方程的研究，人们找到了一些方程，它们的解人们找到了一些方程，它们的解可由初等函数表示，这便是微可由初等函数表示，这便是微分方程求解要讨论的内容。分方

2、程求解要讨论的内容。 可由初等方法求解的微分方程一般有三类可由初等方法求解的微分方程一般有三类： 从运算角度讲，解微分方程就是设法消去方程中导从运算角度讲，解微分方程就是设法消去方程中导数记号，使其化为仅含未知函数数记号，使其化为仅含未知函数 y 及自变量及自变量 x 的式子。的式子。 由于积分运算是导数运算的逆运算，消去导数记号由于积分运算是导数运算的逆运算，消去导数记号最直接的方法就是积分。这种能够通过最直接的方法就是积分。这种能够通过积分运算消去方程中导数记号并求出积分运算消去方程中导数记号并求出通解的方程称为通解的方程称为可积型的方程可积型的方程。 可积型方程通常是一阶方程可积型方程通

3、常是一阶方程 F( x , ,y , ,y )= 0 中的某些特殊形式。中的某些特殊形式。 可降阶型方程指是一类高阶方程。高阶方程的求解可降阶型方程指是一类高阶方程。高阶方程的求解一般比一阶方程困难得多，所以对于高阶方程的讨论通一般比一阶方程困难得多，所以对于高阶方程的讨论通常不是直接考虑求其通解，而是考虑设法通过变量代换常不是直接考虑求其通解，而是考虑设法通过变量代换法将其转化为低阶方程再求解，这一过程称为降阶。法将其转化为低阶方程再求解，这一过程称为降阶。 并非任何高阶的方程都可降阶，并非任何高阶的方程都可降阶，只有当其满足一定条件时才有可能。只有当其满足一定条件时才有可能。这种可通过降阶

4、法化为低阶方程的这种可通过降阶法化为低阶方程的高阶方程称为高阶方程称为可降阶方程可降阶方程。 高阶方程的讨论就是研究哪些方高阶方程的讨论就是研究哪些方程可以降阶及如何进行降阶的方法。程可以降阶及如何进行降阶的方法。 若方程中所含未知函数及其导数都是一次的，称这若方程中所含未知函数及其导数都是一次的，称这类方程为线性微分方程。类方程为线性微分方程。 线性微分方程具有良好的代数性质，这些性质使得线性微分方程具有良好的代数性质，这些性质使得方程的解具有简单的结构，甚至可不必通过积分，只需方程的解具有简单的结构，甚至可不必通过积分，只需用代数方法便可求得其通解。用代数方法便可求得其通解。 正是由于这一

5、特点，使得讨论正是由于这一特点，使得讨论线性微分方程解的结构及求解的代线性微分方程解的结构及求解的代数方法成为研究微分方程求解的又数方法成为研究微分方程求解的又一条途径。一条途径。 求解微分方程的基础是一阶方程的求解。对可积型求解微分方程的基础是一阶方程的求解。对可积型方程，求解的方法就是设法通过积分消去方程中的导数方程，求解的方法就是设法通过积分消去方程中的导数记号记号 y为能够对未知函数的导数进行积分，一阶微分为能够对未知函数的导数进行积分，一阶微分方程方程 F( x , ,y , ,y )= 0 必需满足两个条件：必需满足两个条件： 导数必须是可解出的导数必须是可解出的 由方程由方程 F

6、( x , ,y , ,y )= 0 可解出导数可解出导数 y，即方程可化，即方程可化为如下形式：为如下形式： y = f( x , ,y ) 或或 P( x , ,y )d x + Q( x , ,y )d y = 0 . . 导数表达式中的二元函数必须是变量可分离的导数表达式中的二元函数必须是变量可分离的 由于不定积分计算只能对单变量函数进行，而由由于不定积分计算只能对单变量函数进行，而由一一阶阶方程方程 F( x , ,y , ,y )= 0 解出的导数解出的导数 y 一般是一般是 x 、y 的二的二元函数，即导数可解出的方程的一般形式为：元函数，即导数可解出的方程的一般形式为： y =

7、 f( x , ,y ) 或或 P( x , ,y )d x + Q( x , ,y )d y = 0 . . 只有当只有当 f( x , ,y )或或 P( x , ,y )、Q( x , ,y )可表为单变量可表为单变量函数或可分离变量时，才能对其进行积分，即它们必需函数或可分离变量时，才能对其进行积分，即它们必需可化为如下形式：可化为如下形式： f ( x , ,y )= h( x )/ / g( y )， P( x , ,y )= h1( x )/ / g1( y )， Q( x , ,y )= h2( x )/ /g2( y ). . 由上分析，对一阶方程由上分析，对一阶方程 F(

8、x , ,y , ,y )= 0 ，可直接由可直接由积分法求解的方程的一般形式积分法求解的方程的一般形式为：为： y = f( x , ,y )= h( x )/ / g( y ), , g( y ) 0， 或或 h1( x ) g1( y )d x + h2( x ) g2( y )d y = 0 ，其中其中 g1( y )、 h2( x ) 0 . . 一般地，若一阶方程可写成一般地，若一阶方程可写成 g( y )d y = f( x )d x 的形式，的形式，就称其为可分离变量方程就称其为可分离变量方程。将方将方程化为这一形式的步骤称为分离变量。程化为这一形式的步骤称为分离变量。 对于给

9、定的可分离变量方程对于给定的可分离变量方程 y = h( x )/ / g( y ), , g( y ) 0 ， 考虑方程的求解。考虑方程的求解。 分离变量有分离变量有 g( y )d y = f( x )d x . . 若若 f( x )、g( y )都是都是 I 上的连续函数上的连续函数，则它们的原则它们的原函数都存在。函数都存在。 设它们的原函数分别为设它们的原函数分别为 F( x )、G( y )，即有即有 f( x )d x = F( x )+ C 1， g( y )d y = G( y )+ C 2 . 在方程在方程 g( y )d y = f( x )d x 两边积分有两边积分有

10、 G( y )= g( y )d y = f( x )d x = F( x )+ C . 可以证明，由二元可以证明，由二元方程方程 U( x ,y )= G( y )- F( x )= C .所确定的隐函数所确定的隐函数 y = y( x )就是该可分离变量就是该可分离变量方程的解。方程的解。因此因此二元二元方程方程 U( x ,y )= G( y )- F( x )= C 又称为又称为该微分该微分方程一个隐式解。方程一个隐式解。 因为因为二元二元方程方程 G( y )- F( x )= C 含有一个任意常数含有一个任意常数, ,所以它又是所以它又是可分离变量可分离变量方程方程 g( y )d

11、 y = f( x )d x 的的隐式隐式通解。通解。 由上讨论可得如下结果：由上讨论可得如下结果： 在函数在函数 f( x ), , g( y )连续连续，且且 g( y ) 0 的条件下的条件下，可可分离变量方程分离变量方程 g( y )d y = f( x )d x 一定有解一定有解。 可分离变量方程的通解可直接由积分法求得，其通解可分离变量方程的通解可直接由积分法求得，其通解形式为形式为 G( y )= g( y )d y = f( x )d x = F( x )+ C . . 可分离变量方程是唯一可直接由积分方法求解的一可分离变量方程是唯一可直接由积分方法求解的一阶常微分方程形式阶常

12、微分方程形式。 判别给定方程是否为可分离变量方程判别给定方程是否为可分离变量方程 由方程由方程 F( x,y,y )= 0 解出导数解出导数 y = f( x,y )； 考察考察 f( x , ,y )是否可分离变量，即是否有是否可分离变量，即是否有 f( x , ,y )= h( x ) g( y ). 分离变量、积分求通解分离变量、积分求通解 将将可分离变量可分离变量方程写成标准形式方程写成标准形式 g( y )d y = f( x )d x , , 方程方程两边积分求通解两边积分求通解 G( y )= g( y )d y = f( x )d x = F( x )+ C . .例例：求方程

13、求方程 y - - x y = a( y 2 + + y )的通解。的通解。 由于微分方程并非总是可由于微分方程并非总是可解的，可解方程只是某些具有特定解的，可解方程只是某些具有特定形式的方程。因此，考虑微分方程形式的方程。因此，考虑微分方程的求解首先应注意判别其是属于某的求解首先应注意判别其是属于某种可解方程的形式或类型，再根据种可解方程的形式或类型，再根据方程类型采取相应解法。方程类型采取相应解法。 所谓判别方程类型通常就是观察或改写给定方程所谓判别方程类型通常就是观察或改写给定方程，使其符合某种可积方程的标准形式。使其符合某种可积方程的标准形式。 由给定方程由给定方程 y - - x y

14、 = a( y 2 + + y )解出导数，即对方解出导数，即对方程作恒等变形有程作恒等变形有 ( x + + a )y = y - - a y 2. 由此可看出给定方程为可分离变量方程。由此可看出给定方程为可分离变量方程。 分离变量有分离变量有 两边积分有两边积分有 211ddyxxayay. .211ddyxxayay , 其其中中 111dlnlnlnxxaCCxaxa, 2dd1d11yyayyayyyayay22lnlnlnln11yCCyayay , 由上计算求得由上计算求得 即有即有 记：记：C = C1C2，求得方程的通解为求得方程的通解为121lnln1yCxaCay ,12

15、1yC Cxaay , .1yC xaay例例：求方程求方程 x 2y d x =( 1- y 2 - x 2y 2 + x 2 )d y 满足初始条满足初始条件件 y( 0 )= 1 的特解的特解。 这是个微分方程初值问题，为求方程满足初始这是个微分方程初值问题，为求方程满足初始条件的特解应先求其通解条件的特解应先求其通解。 方程由对称形式方程由对称形式 P( x , ,y )d x + Q( x , ,y )d y = 0 给出给出, ,相应地考察相应地考察 d x , ,d y 的系数的系数函数可否分离变量。函数可否分离变量。由于由于 d x的系数的系数函数显然可分离变量，故关键考察函数

16、显然可分离变量，故关键考察 d y 的系数。的系数。 1 - y 2 - x 2y 2 + x 2 = ( 1- y 2 )- x 2( y 2 - -1 )=( 1- y 2 )( x 2 + +1 ), , 故给定方程为可分离变量方程。故给定方程为可分离变量方程。 将给定方程改写成将给定方程改写成 x 2y d x =( 1 - y 2)( x 2 + 1 )d y， 分离变量有分离变量有 由于微分方程计算目的是求方程通解，故对可分离由于微分方程计算目的是求方程通解，故对可分离变量方程，在可能情况下，可尽量采用凑微分法求解。变量方程，在可能情况下，可尽量采用凑微分法求解。 方程两边分别凑微

17、分有方程两边分别凑微分有 2221dd1yxxyyx. . 2221 11dddarctan111xxxxxxx , 22 111ddd ln2yyyyyyyy, 于是原微分方程等价于如下方程于是原微分方程等价于如下方程 由微分的性质有由微分的性质有 由可分离变量解的存在性讨论知，由可分离变量解的存在性讨论知，上式等价于原微分方程，且由于其上式等价于原微分方程，且由于其含有一个任意常数，因而它就含有一个任意常数，因而它就是方程的隐式通解。是方程的隐式通解。 2 1darctand ln2xxyy 2 1dd0arctanln2U x yxxyy, 2 1arctanln.2UxxyCx yy,

18、 将初始条件将初始条件 y( 0 )= 1 代入方程通解有代入方程通解有即有即有 0 - - arctan 0 = ln1 - -1/ /2 = C ，故解得方程满足初始故解得方程满足初始条件的特解为条件的特解为 2 011.arctanln0 12xyUCxxyy, 2* 11arctanln0.22xxyy例例：由物理学知道，物体冷却的速率与当时的物体温度由物理学知道，物体冷却的速率与当时的物体温度和周围环境温度之差成正比。今把和周围环境温度之差成正比。今把 100 C 的沸水注入的沸水注入杯中，放在室温为杯中，放在室温为 20 C 的环境中自然冷却，的环境中自然冷却，5 min 后后测得

19、水温为测得水温为 60 C . 求水温求水温 u( C )与时间与时间 t( min )之间之间的函数关系。的函数关系。 由于物理学定律所描述的是由于物理学定律所描述的是物体冷却速率与相物体冷却速率与相关因素的关系关因素的关系，因此直接建立，因此直接建立水温水温 u 与时间与时间 t 之间的函之间的函数关系是不便的。数关系是不便的。 为此考虑先为此考虑先建立建立水温水温冷却速率冷却速率与相关因素的微分方程与相关因素的微分方程，再通过求，再通过求解解微分方程导出所求微分方程导出所求函数关系式。函数关系式。 设经设经 t min 后后水温为水温为 u C，则水温变化速率为，则水温变化速率为 已知水

20、温冷却速度与温差成正比，设比例系数为已知水温冷却速度与温差成正比，设比例系数为 k( k 0 ). . 根据物理条件有根据物理条件有 且满足且满足 t = 0 时，时，u = 100，t = 5 时，时，u = 60 . . 容易看出，这是个可分离变量方程的初值问题。容易看出，这是个可分离变量方程的初值问题。 求出此初值问题的解便可求得求出此初值问题的解便可求得水温水温 u 与时间与时间 t 的函的函数关系式数关系式 u = u( t ). . ddut. . d20duk ut. . 分离变量有分离变量有 由于此由于此冷却过程的水温总不会低于冷却过程的水温总不会低于室温，即总有室温，即总有u

21、( t ) 20 . . 于是在于是在方程两边积分可求得其通解为方程两边积分可求得其通解为 ln( u - 20 )= - k t + C 1 . .即即 u - 20 = e - -k t + C1 . . 记记: : C = e C 1，则有，则有 u = 20 + C e - -k t . . 代入条件代入条件 u t = 0 = 100，解得，解得 C = 80， 代入条件代入条件 u t = 5 = 60，解得，解得 于是求得所求于是求得所求函数关系式为函数关系式为 dd20uk tu. . 151e2k. . 1512080e2ktuu t. . 例例：设降落伞从跳伞塔下落后，所受

22、空气阻力与速度成设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比正比( 比例系数为比例系数为 k, ,k 0 )，并设降落伞脱钩时并设降落伞脱钩时( t = 0 )的速度为零。的速度为零。求求降落伞下落速度降落伞下落速度与时间的函数关系。与时间的函数关系。 由物理学理论知，物体的运动由物理学理论知，物体的运动是由受外力作用引起的是由受外力作用引起的。为建立。为建立降落伞降落伞下落的速度下落的速度与时间的函数关系式，需先与时间的函数关系式，需先分析分析降落伞下落过程中的受力情况。降落伞下落过程中的受力情况。 降落伞下落过程中受到两个力的作降落伞下落过程中受到两个力的作用，一个是重力，一个是空气阻

23、力。用，一个是重力，一个是空气阻力。 因此其下落过程中所受外力为因此其下落过程中所受外力为 F = f1 - - f 2 = mg - - k v . .1fmg2fkv 设设降落伞下落速度为降落伞下落速度为 v( t )，由，由降落伞下落过程中降落伞下落过程中受力情况分析有受力情况分析有 F = f1 - - f 2 = mg - - k v . . 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律 于是可得函数于是可得函数 v( t )所满足的微分方程为所满足的微分方程为 且其满足条件且其满足条件 v t = 0 = 0 . . 容易看出，这是个可分离变量方程的初值问题。容易看出，这是个可分离变量方程的初

24、值问题。 求出此初值问题的解便可求得求出此初值问题的解便可求得降落伞下落速度降落伞下落速度与时与时间的函数关系间的函数关系 v = v( t ). . ddvFmamt. . ddvmmgkvt, , 分离变量有分离变量有 由于降落伞受合力由于降落伞受合力 F = mg - - k v 的作用而下落，故的作用而下落，故下落速度下落速度 v( t )方向与方向与 F 方向一致，即总有方向一致，即总有 mg - - k v 0 . . 于是在于是在方程两边积分有方程两边积分有 即即 代入初始条件代入初始条件 v t = 0 = 0，解得：解得：mg / /k . 于是求得于是求得降落伞下落速度降落

25、伞下落速度与时间的函数关系为与时间的函数关系为 d1dvtmgkvm. . 1 11ln+kt kCmtmgkvCmgkvekm. . 11eektkC tmmgvCCkk, . , . 其其中中 1e0ktmmgvtTk, . , . , 由于微分方程未必总有解，因此其求解问题的讨论由于微分方程未必总有解，因此其求解问题的讨论通常不是寻求方程的一般解法，而是注重考察可解方程通常不是寻求方程的一般解法，而是注重考察可解方程的类型和形式，再根据其形式建立相应解法。的类型和形式，再根据其形式建立相应解法。 可分离变量方程解的存在性及可可分离变量方程解的存在性及可解条件的一般性，使得一阶方程的解条件

26、的一般性，使得一阶方程的讨论有了一个基础平台，其它形讨论有了一个基础平台，其它形式的一阶方程可考虑通过变形将式的一阶方程可考虑通过变形将其转化为可分离变量方程求解。其转化为可分离变量方程求解。 具有如下形式的二元多项式称为二元齐次多项式：具有如下形式的二元多项式称为二元齐次多项式： f ( x , ,y )= a x 2 + b x y + c y 2 二元齐次多项式具有以下性质二元齐次多项式具有以下性质： 对于任意的参数对于任意的参数 tf ( t x , ,t y )= a( t x)2 + b( t x)( t y )+ c( t y )2 = t 2( a x 2 + b x y +

27、c y 2 )= t 2 f( x , ,y ) 若对于任意参数若对于任意参数 t ，二元函数二元函数 f( x , ,y )满足满足 f( t x , ,ty )= t n f( x , ,y )，则称则称 f( x , ,y )为为 n 次齐次函数次齐次函数。 特别地特别地，若对于任意参数若对于任意参数 t，二元函数二元函数 f( x, ,y )满满足足 f( t x , ,ty )= t 0 f ( x , ,y )，则称则称 f( x , ,y )为零次齐次函数为零次齐次函数。 零次齐次函数零次齐次函数具有以下性质：具有以下性质： 若若 f( x , ,y )为零次齐次函数，则为零次齐

28、次函数，则存在一元函数存在一元函数 ( u )或或 ( v )，使得使得 .xyffx yx yyx, , 或或 零次齐次函数上述性质指出：零次齐次函数上述性质指出： 二元零次齐次函数总可表为一元函二元零次齐次函数总可表为一元函数。数。 因为因为 f( t x , ,ty )= f( x , ,y )，取取 t = 1/ /x，则有则有f( x , ,y )= f( t x , ,ty ) 设一阶方程以导数式给出，即设一阶方程以导数式给出，即若若 f( x , ,y )为零次齐次函数，则称其为为零次齐次函数，则称其为齐次方程或零齐方程。齐次方程或零齐方程。 ddyfxyx, 由定义可知，对于对

29、称式一阶方程由定义可知，对于对称式一阶方程 P( x , ,y )d x + Q( x , ,y )d y = 0，若若 P( x , ,y ),Q( x , ,y )为为同次齐次函数，则该同次齐次函数，则该一阶方程一阶方程为为齐次方程。齐次方程。 因为将此对称式方程改写成导数式有因为将此对称式方程改写成导数式有由于由于 P( x , ,y ), ,Q( x , ,y )为为同次齐次函数，故有同次齐次函数，故有即此时即此时 f( x , ,y )是二元零次齐次函数，因而该是二元零次齐次函数，因而该对称式一对称式一阶方程是阶方程是齐次齐次方程。方程。 ddP x yyf x yxQ x y ,.

30、 . kkPt Ptx tyx yfftx tyx yQt Qtx tyx y , . . 由零次齐次函数的性质可知，由零次齐次函数的性质可知，f( x , ,y )可表为可表为于是，齐次方程总可写成如下形式：于是，齐次方程总可写成如下形式： 就导数式齐次方程形式就导数式齐次方程形式 考虑其求解。考虑其求解。 由于函数由于函数 ( y / /x )可看成是一元函数，故齐次方程可看成是一元函数，故齐次方程总可通过变量代换化为可分离变量方程求解。总可通过变量代换化为可分离变量方程求解。 xyffx yx yyx 或或, , , ddddyxyxyxyx 或或 . .ddyyxx 作代换作代换 u

31、= y/ /x，即，即 y = u x ，则有，则有 ( y/ /x )= ( u ). . 从而齐次方程化为从而齐次方程化为于是方程便化为了可分离变量方程。于是方程便化为了可分离变量方程。 对于此可分离变量方程形式，分离变量有对于此可分离变量方程形式，分离变量有 式子两边积分有式子两边积分有 ddddddyuxuuxxxx,dduuxux dduxuux , d1duxuxu , d1dlnlnlnuxxxCuxCu , 从而求得其通解为从而求得其通解为回代原变量回代原变量 u = y/ /x，求得原齐次方程通解为，求得原齐次方程通解为 若齐次方程为形如若齐次方程为形如 的形式，其代换过的形

32、式，其代换过程是类似的。通过作代换程是类似的。通过作代换 v = x/ /y，便可将方程化为关于，便可将方程化为关于x , ,v 的可分离变量方程。的可分离变量方程。 对由对称式齐次方程对由对称式齐次方程 P( x , ,y )d x + Q( x , ,y )d y = 0 , ,其求解过程也是类似的。其求解过程也是类似的。 d euuuxCu C ,. . yxCx ,. .ddxxyy d1dlnlnlnuxxxCuxCu ,例例：求方程求方程 的通解的通解。 求解微分方程首先应注意求解微分方程首先应注意判别方程类型。判别方程类型。 判别方程是否属于可解方程类判别方程是否属于可解方程类型

33、一般根据该类方程的标准形式。型一般根据该类方程的标准形式。 若方程不以标准形式给出，则若方程不以标准形式给出，则需注意通过直观先作大致判别，再需注意通过直观先作大致判别，再考虑将其化为相应的标准形式以确考虑将其化为相应的标准形式以确定方程类型。定方程类型。22ddddyyyxxyxx 本例方程本例方程 以导数式给出，注意以导数式给出，注意到方程的各项系数函数均为二次齐次多项式，因而可直到方程的各项系数函数均为二次齐次多项式，因而可直观地判断其为齐次方程。观地判断其为齐次方程。 由给定方程解出导数，将其写成齐次方程标准形式由给定方程解出导数，将其写成齐次方程标准形式22ddddyyyxxyxx

34、222d.d1yyyxxyxyxx 作代换作代换 u = y/ /x，即，即 y = u x，则有，则有代入方程得代入方程得 分离变量有分离变量有两边积分有两边积分有 u - - lnu= lnx+ C1 lnux= u - - C1 . . 回代原变量回代原变量 y = ux，求得原齐次方程通解为，求得原齐次方程通解为 lny = y/ /x - - C1，即即 y = e y/ /x - -C1 = e - -C1 e y/ /x . .记记: : C = e- -C1，则，则方程通解可写成方程通解可写成 2dd1uuuxxu, 11dd1uxxu,eyxyC. ddddyuuxxx,例例

35、：求方程求方程 的通解的通解。 求解微分方程首先应注意判求解微分方程首先应注意判别方程类型。别方程类型。 判别方程是否属于可解方程类型判别方程是否属于可解方程类型一般根据该类方程的标准形式。一般根据该类方程的标准形式。 若方程不以标准形式给出，则需若方程不以标准形式给出，则需注意通过直观先作大致判别，再考虑注意通过直观先作大致判别，再考虑将其化为相应标准式以确定方程类型。将其化为相应标准式以确定方程类型。 随着可解方程类型的增多及方程形式的愈加复杂随着可解方程类型的增多及方程形式的愈加复杂, ,根据直观判别会显得更为重要和适用。根据直观判别会显得更为重要和适用。222dd2yxxxyyyxy

36、本例方程以微分对称式给出本例方程以微分对称式给出 注意到等式两端分母均为二次齐次多项式，因而可注意到等式两端分母均为二次齐次多项式，因而可直观判断其为齐次方程。直观判断其为齐次方程。 222222d2d1yyyyxyxxxxxyyyyxx.222dd2yxxxyyyxy 作代换作代换 u = y/ /x，即，即 y = u x ，则有，则有 从而齐次方程化为从而齐次方程化为 整理得整理得 分离变量有分离变量有 ddddddyuxuuxxxx, 22222dd2dd11yyyxuuuxuxxxuuyyxx, 2222d232d11uuuu uuxuxuuuu , 221dd32uuxuuxuu

37、. 为计算积分，先对左端的有理式作分解为计算积分，先对左端的有理式作分解 比较等式两端分子求得比较等式两端分子求得 - - 1- - u + u 2 = Au u - - 1 + Bu u - - 2 + C u - - 2 u - - 1 , 令令: : u = 2 解得解得 A = - -3/ /2， 令令: : u = 1 解得解得 B = 1， 令令: : u = 0 解得解得 C = 1/ /2 . .22211212132uuuuABCuuuu uuu uu 1221.21Au uBu uC uuu uu 221dd32uuxuxu uu . 方程化为方程化为 两边积分得两边积分得

38、= ln x + + ln C . .即有即有 d31111d.2212xuxuuu1322311ln2ln1lnln222uuuuuu 31lnln2uCxu u 312uCxu u. .C. P. U. Math. Dept 杨访杨访 回代原变量回代原变量 u = y/ /x ，求得原齐次方程的通解为，求得原齐次方程的通解为 整理得整理得 ( y - x )2 = Cy( y - 2 x )3. . 312yxCxyyxx,例例：探照灯的聚光镜的镜面是一张旋转曲面，它的形状探照灯的聚光镜的镜面是一张旋转曲面，它的形状由由 xOy 坐标面上的一条曲线坐标面上的一条曲线 L 绕绕 x 轴旋转而

39、成。按聚光轴旋转而成。按聚光镜性能的要求，在其旋转轴镜性能的要求，在其旋转轴( x 轴轴 )上一点上一点 O 处发出的一处发出的一切光线，经它反射后都与旋转轴切光线，经它反射后都与旋转轴( x 轴轴 )平行，求曲线平行，求曲线 L的方程。的方程。 求曲线方程实际是求未知函数。求曲线方程实际是求未知函数。 为写出为写出未知函数的未知函数的关系式，需先建关系式，需先建立合适的坐标系并选择相应的变量。立合适的坐标系并选择相应的变量。 问题条件以几何形式给出，故可先问题条件以几何形式给出，故可先作相应图形直观分析。由条件取光源所作相应图形直观分析。由条件取光源所在点在点 O 为坐标原点建立为坐标原点建

40、立 xOy 坐标系。坐标系。OyxNLTS MAAOOM M x y,22OMxy 设设 O 点发出的某条光线经点发出的某条光线经 L 上一点上一点 M( x , ,y )反射后反射后是一条与是一条与 x 轴平行的直线轴平行的直线 MS，又设过点，又设过点 M 的切线的切线 AT的倾角为的倾角为 . . 于是于是求曲线求曲线 L 的方程归的方程归结为求结为求点点 M ( x , ,y )的坐标所的坐标所满足的满足的方程方程。 由根据光学反射定律有由根据光学反射定律有 OMA = SMT = . .从而得几何关系式从而得几何关系式 AO = OMOyxLSA T M 过点过点 M( x , ,y )作平行于作平行于 y轴的直线轴的直线 MP 交交 x 轴于轴于 P 点，点，则有则有 AO = AP - - OP = PM cot - - OP 由已导出的几何关系式由已导出的几何关系式 AO = OM 有有 .yxy 22.OMxy22yxxyy 22dd .yxxxyyxOyA T M x y,P 由于由于微分方程微分方程 两端两端 d x , ,d y前的系数函数均是前的系数函数均是 x , ,y 的一次齐次式，故该的一次齐次式，故该齐次齐次视视 y 为未